article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \errorcontextlines=50
   3 \let\numberwithin=\notdef
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{mathabx}
   6 \usepackage{txfonts}
   7 \usepackage{amsfonts}
   8 \usepackage{mdwlist}
   9 %\usepackage{accents}
  10
  11 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  12 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  13 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
  14 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
  15
  16 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  17 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  18
  19 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  20 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  21 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  22 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  23
  24         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
  25         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
  26           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
  27         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
  28
  29 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
  30 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  31 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  32
  33 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  34 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  35 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  36
  37 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
  38 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
  39 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
  40
  41 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  42 %\newcommand{\hasparents}{{%
  43 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  44 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  45 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  46
  47 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  48 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  49 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
  50 \renewcommand{\land}{\wedge}
  51 \renewcommand{\lor}{\vee}
  52
  53 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  54 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  55
  56 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  57 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  58
  59 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
  60 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
  61 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
  62
  63 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
  64 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
  65
  66 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
  67 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
  68
  69 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
  70 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  71
  72 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  73 \newcommand{\bigforall}{%
  74   \mathop{\mathchoice%
  75     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  76     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  77     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  78     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  79 }
  80
  81 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
  82 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
  83
  84 \newcommand{\qed}{\square}
  85 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
  86 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
  87
  88 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
  89 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
  90
  91 \newcommand{\true}{t}
  92 \newcommand{\false}{f}
  93
  94 \begin{document}
  95
  96 \section{Notation}
  97
  98 \begin{basedescript}{
  99 \desclabelwidth{5em}
 100 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
 101 }
 102 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
 103 The parents of commit $C$ are exactly the set
 104 $\set X$.
 105
 106 \item[ $ C \ge D $ ]
 107 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
 108 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
 109 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
 110
 111 \item[ $ C \has D $ ]
 112 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
 113 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
 114 the user or reversion, rebasing or rewinding in
 115 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
 116 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
 117 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
 118 is not transitive.
 119
 120 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
 121 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
 122 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
 123 where the context requires a set, in which case the statement
 124 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
 125 None of these sets overlap.  Hence:
 126
 127 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
 128 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
 129 A function from commits to patches' sets $\p$.
 130
 131 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 132 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 133 i.e. all the ancestors of $C$
 134 which are in $\set P$.
 135
 136 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 137 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 138   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 139   E \neq A \land E \le A \} $
 140 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 141
 142 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 143 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 144 A partial function from commits to commits.
 145 See Unique Base, below.
 146
 147 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 148 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 149 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 150
 151 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 152 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 153 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 154
 155 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
 156 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
 157 patch.  If a Topbloke
 158 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
 159 the relevant Topbloke branches, we hope that
 160 if the user still cares about the Topbloke patch,
 161 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
 162
 163 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
 164 The contents of a git merge result:
 165
 166 $\displaystyle D \isin C \equiv
 167   \begin{cases}
 168     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
 169     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
 170     \text{otherwise} : & D \not\isin M
 171   \end{cases}
 172 $
 173
 174 \end{basedescript}
 175 \newpage
 176 \section{Invariants}
 177
 178 We maintain these each time we construct a new commit. \\
 179 \[ \eqn{No Replay:}{
 180   C \has D \implies C \ge D
 181 }\]
 182 \[\eqn{Unique Base:}{
 183  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 184 }\]
 185 \[\eqn{Tip Contents:}{
 186   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 187     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 188       (D \in \py \land D \le C) }
 189 }\]
 190 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 191   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 192 }\]
 193 \[\eqn{Coherence:}{
 194   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 195 }\]
 196 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
 197   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
 198 }\]
 199 \[\eqn{Foreign Contents:}{
 200   \bigforall_{C \text{ s.t. } \patchof{C} = \bot}
 201     D \le C \implies \patchof{D} = \bot
 202 }\]
 203
 204 \section{Some lemmas}
 205
 206 \[ \eqn{Alternative (overlapping) formulations defining
 207   $\mergeof{C}{L}{M}{R}$:}{
 208  D \isin C \equiv
 209   \begin{cases}
 210     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
 211     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
 212     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
 213     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
 214     \text{as above with L and R exchanged}
 215   \end{cases}
 216 }\]
 217 \proof{
 218   Truth table xxx
 219
 220   Original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
 221 }
 222
 223 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
 224   \bigforall_{C \in \py}
 225     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
 226       \Bigr]
 227 }\]
 228 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 229
 230 \proof{
 231 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 232 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 233 }
 234 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
 235   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 236   \begin{cases}
 237     D \in \py : & D \le C \\
 238     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 239   \end{cases}
 240 }\]
 241
 242 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
 243   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 244 }\]
 245 Ie, tip commits contain their own patch.
 246
 247 \proof{
 248 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 249 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 250   D \isin C \equiv D \le C $
 251 }
 252
 253 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
 254   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 255   D \le C \equiv
 256     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 257     \lor D = C
 258 }\]
 259 xxx proof tbd
 260
 261 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
 262   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 263   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 264 }\]
 265
 266 \proof{
 267 The implication from right to left is trivial because
 268 $ \pends() \subset \pancs() $.
 269 For the implication from left to right:
 270 by the definition of $\mathcal E$,
 271 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 272 $A \le M$ by the LHS directly,
 273 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 274 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 275 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 276 by the LHS.  And $A \le A''$.
 277 }
 278
 279 \[ \eqn{Calculation Of Ends:}{
 280   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 281     \pendsof{C}{\set P} =
 282       \begin{cases}
 283        C \in \p : & \{ C \}
 284       \\
 285        C \not\in \p : & \displaystyle
 286        \left\{ E \Big|
 287            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
 288                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
 289            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A}
 290                        E \neq B \land E \le B \Bigr]
 291        \right\}
 292       \end{cases}
 293 }\]
 294 xxx proof tbd
 295
 296 \[ \eqn{Totally Foreign Contents:}{
 297   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 298    \left[
 299     \patchof{C} = \bot \land
 300       \bigforall_{A \in \set A} \patchof{A} = \bot
 301    \right]
 302   \implies
 303    \left[
 304     D \le C
 305    \implies
 306     \patchof{D} = \bot
 307    \right]
 308 }\]
 309 \proof{
 310 Consider some $D \le C$.  If $D = C$, $\patchof{D} = \bot$ trivially.
 311 If $D \neq C$ then $D \le A$ where $A \in \set A$.  By Foreign
 312 Contents of $A$, $\patchof{D} = \bot$.
 313 }
 314
 315 \subsection{No Replay for Merge Results}
 316
 317 If we are constructing $C$, with,
 318 \gathbegin
 319   \mergeof{C}{L}{M}{R}
 320 \gathnext
 321   L \le C
 322 \gathnext
 323   R \le C
 324 \end{gather}
 325 No Replay is preserved.  \proofstarts
 326
 327 \subsubsection{For $D=C$:} $D \isin C, D \le C$.  OK.
 328
 329 \subsubsection{For $D \isin L \land D \isin R$:}
 330 $D \isin C$.  And $D \isin L \implies D \le L \implies D \le C$.  OK.
 331
 332 \subsubsection{For $D \neq C \land D \not\isin L \land D \not\isin R$:}
 333 $D \not\isin C$.  OK.
 334
 335 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 336  \land D \not\isin M$:}
 337 $D \isin C$.  Also $D \isin L \lor D \isin R$ so $D \le L \lor D \le
 338 R$ so $D \le C$.  OK.
 339
 340 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 341  \land D \isin M$:}
 342 $D \not\isin C$.  OK.
 343
 344 $\qed$
 345
 346 \section{Commit annotation}
 347
 348 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 349 \gathbegin
 350  \patchof{C}
 351 \gathnext
 352  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
 353 \gathnext
 354  \bigforall_{\pa{Q}}
 355    \text{ either } C \haspatch \pa{Q} \text{ or } C \nothaspatch \pa{Q}
 356 \gathnext
 357  \bigforall_{\pay{Q} \not\ni C} \pendsof{C}{\pay{Q}}
 358 \end{gather}
 359
 360 $\patchof{C}$, for each kind of Topbloke-generated commit, is stated
 361 in the summary in the section for that kind of commit.
 362
 363 Whether $\baseof{C}$ is required, and if so what the value is, is
 364 stated in the proof of Unique Base for each kind of commit.
 365
 366 $C \haspatch \pa{Q}$ or $\nothaspatch \pa{Q}$ is represented as the
 367 set $\{ \pa{Q} | C \haspatch \pa{Q} \}$.  Whether $C \haspatch \pa{Q}$
 368 is in stated
 369 (in terms of $I \haspatch \pa{Q}$ or $I \nothaspatch \pa{Q}$
 370 for the ingredients $I$),
 371 in the proof of Coherence for each kind of commit.
 372
 373 $\pendsof{C}{\pa{Q}^+}$ is computed, for all Topbloke-generated commits,
 374 using the lemma Calculation of Ends, above.
 375 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
 376 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
 377 would have to be updated.  The annotation is not needed in that case
 378 because $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 379
 380 \section{Simple commit}
 381
 382 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
 383 \begin{gather}
 384 \tag*{} C \hasparents \{ A \} \\
 385 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{A} \\
 386 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin A \lor D = C
 387 \end{gather}
 388 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
 389 Topbloke strips the metadata when exporting.
 390
 391 \subsection{No Replay}
 392 Trivial.
 393
 394 \subsection{Unique Base}
 395 If $A, C \in \py$ then by Calculation of Ends for
 396 $C, \py, C \not\in \py$:
 397 $\pendsof{C}{\pn} = \pendsof{A}{\pn}$ so
 398 $\baseof{C} = \baseof{A}$. $\qed$
 399
 400 \subsection{Tip Contents}
 401 We need to consider only $A, C \in \py$.  From Tip Contents for $A$:
 402 \[ D \isin A \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A ) \]
 403 Substitute into the contents of $C$:
 404 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A )
 405     \lor D = C \]
 406 Since $D = C \implies D \in \py$,
 407 and substituting in $\baseof{C}$, this gives:
 408 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 409     (D \in \py \land D \le A) \lor
 410     (D = C \land D \in \py) \]
 411 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 412    [ D \in \py \land ( D \le A \lor D = C ) ] \]
 413 So by Exact Ancestors:
 414 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
 415 ) \]
 416 $\qed$
 417
 418 \subsection{Base Acyclic}
 419
 420 Need to consider only $A, C \in \pn$.
 421
 422 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
 423
 424 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin A$, so by Base Acyclic for
 425 $A$, $D \isin C \implies D \not\in \py$.
 426
 427 $\qed$
 428
 429 \subsection{Coherence and patch inclusion}
 430
 431 Need to consider $D \in \py$
 432
 433 \subsubsection{For $A \haspatch P, D = C$:}
 434
 435 Ancestors of $C$:
 436 $ D \le C $.
 437
 438 Contents of $C$:
 439 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
 440
 441 \subsubsection{For $A \haspatch P, D \neq C$:}
 442 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le A $.
 443
 444 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin A \lor f $
 445 so $ D \isin C \equiv D \isin A $.
 446
 447 So:
 448 \[ A \haspatch P \implies C \haspatch P \]
 449
 450 \subsubsection{For $A \nothaspatch P$:}
 451
 452 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $A \in \py$.
 453 Thus $D \neq C$.
 454
 455 Now by contents of $A$, $D \notin A$, so $D \notin C$.
 456
 457 So:
 458 \[ A \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
 459 $\qed$
 460
 461 \subsection{Foreign inclusion:}
 462
 463 If $D = C$, trivial.  For $D \neq C$:
 464 $D \isin C \equiv D \isin A \equiv D \le A \equiv D \le C$.  $\qed$
 465
 466 \subsection{Foreign Contents:}
 467
 468 Only relevant if $\patchof{C} = \bot$, and in that case Totally
 469 Foreign Contents applies. $\qed$
 470
 471 \section{Create Base}
 472
 473 Given $L$, create a Topbloke base branch initial commit $B$.
 474 \gathbegin
 475  B \hasparents \{ L \}
 476 \gathnext
 477  \patchof{B} = \pan{B}
 478 \gathnext
 479  D \isin B \equiv D \isin L \lor D = B
 480 \end{gather}
 481
 482 \subsection{Conditions}
 483
 484 \[ \eqn{ Ingredients }{
 485  \patchof{L} = \pa{L} \lor \patchof{L} = \bot
 486 }\]
 487 \[ \eqn{ Non-recursion }{
 488  L \not\in \pa{B}
 489 }\]
 490
 491 \subsection{No Replay}
 492
 493 If $\patchof{L} = \pa{L}$, trivial by Base Acyclic for $L$.
 494
 495 If $\patchof{L} = \bot$, consider some $D \isin B$.  $D \neq B$.
 496 Thus $D \isin L$.  So by No Replay of $D$ in $L$, $D \le L$.
 497 Thus $D \le B$.
 498
 499 \subsection{Unique Base}
 500
 501 Not applicable. $\qed$
 502
 503 \subsection{Tip Contents}
 504
 505 Not applicable. $\qed$
 506
 507 \subsection{Base Acyclic}
 508
 509 Consider some $D \isin B$.  If $D = B$, $D \in \pn$, OK.
 510
 511 If $D \neq B$, $D \isin L$.  By No Replay of $D$ in $L$, $D \le L$.
 512 Thus by Foreign Contents of $L$, $\patchof{D} = \bot$.  OK.
 513
 514 $\qed$
 515
 516 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 517
 518 Consider some $D \in \p$.
 519 $B \not\in \py$ so $D \neq B$.  So $D \isin B \equiv D \isin L$.
 520
 521 Thus $L \haspatch \p \implies B \haspatch P$
 522 and $L \nothaspatch \p \implies B \nothaspatch P$.
 523
 524 $\qed$.
 525
 526 xxx unfinished
 527
 528 \section{Create Tip}
 529
 530 xxx tbd
 531
 532 \section{Anticommit}
 533
 534 Given $L$ and $\pr$ as represented by $R^+, R^-$.
 535 Construct $C$ which has $\pr$ removed.
 536 Used for removing a branch dependency.
 537 \gathbegin
 538  C \hasparents \{ L \}
 539 \gathnext
 540  \patchof{C} = \patchof{L}
 541 \gathnext
 542  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
 543 \end{gather}
 544
 545 \subsection{Conditions}
 546
 547 \[ \eqn{ Ingredients }{
 548 R^+ \in \pry \land R^- = \baseof{R^+}
 549 }\]
 550 \[ \eqn{ Into Base }{
 551  L \in \pn
 552 }\]
 553 \[ \eqn{ Unique Tip }{
 554  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
 555 }\]
 556 \[ \eqn{ Currently Included }{
 557  L \haspatch \pry
 558 }\]
 559
 560 \subsection{Ordering of ${L, R^+, R^-}$:}
 561
 562 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
 563 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$.
 564 $\qed$
 565
 566 (Note that $R^+ \not\le R^-$, i.e. the merge base
 567 is a descendant, not an ancestor, of the 2nd parent.)
 568
 569 \subsection{No Replay}
 570
 571 No Replay for Merge Results applies.  $\qed$
 572
 573 \subsection{Desired Contents}
 574
 575 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
 576 \proofstarts
 577
 578 \subsubsection{For $D = C$:}
 579
 580 Trivially $D \isin C$.  OK.
 581
 582 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
 583
 584 By No Replay $D \not\isin L$.  Also $D \not\le R^-$ hence
 585 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
 586
 587 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
 588
 589 By Currently Included, $D \isin L$.
 590
 591 By Tip Self Inpatch, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
 592 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.
 593 So $D \isin R^+$.
 594
 595 By Base Acyclic, $D \not\isin R^-$.
 596
 597 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
 598
 599 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
 600
 601 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 602
 603 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
 604
 605 $\qed$
 606
 607 \subsection{Unique Base}
 608
 609 Into Base means that $C \in \pn$, so Unique Base is not
 610 applicable. $\qed$
 611
 612 \subsection{Tip Contents}
 613
 614 Again, not applicable. $\qed$
 615
 616 \subsection{Base Acyclic}
 617
 618 By Base Acyclic for $L$, $D \isin L \implies D \not\in \py$.
 619 And by Into Base $C \not\in \py$.
 620 Now from Desired Contents, above, $D \isin C
 621 \implies D \isin L \lor D = C$, which thus
 622 $\implies D \not\in \py$.  $\qed$.
 623
 624 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 625
 626 Need to consider some $D \in \py$.  By Into Base, $D \neq C$.
 627
 628 \subsubsection{For $\p = \pr$:}
 629 By Desired Contents, above, $D \not\isin C$.
 630 So $C \nothaspatch \pr$.
 631
 632 \subsubsection{For $\p \neq \pr$:}
 633 By Desired Contents, $D \isin C \equiv D \isin L$
 634 (since $D \in \py$ so $D \not\in \pry$).
 635
 636 If $L \nothaspatch \p$, $D \not\isin L$ so $D \not\isin C$.
 637 So $L \nothaspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 638
 639 Whereas if $L \haspatch \p$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 640 so $L \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 641
 642 $\qed$
 643
 644 \subsection{Foreign Inclusion}
 645
 646 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq C$.
 647 So by Desired Contents $D \isin C \equiv D \isin L$.
 648 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 649
 650 And $D \le C \equiv D \le L$.
 651 Thus $D \isin C \equiv D \le C$.
 652
 653 $\qed$
 654
 655 \subsection{Foreign Contents}
 656
 657 Not applicable. $\qed$
 658
 659 \section{Merge}
 660
 661 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
 662 \gathbegin
 663  C \hasparents \{ L, R \}
 664 \gathnext
 665  \patchof{C} = \patchof{L}
 666 \gathnext
 667  \mergeof{C}{L}{M}{R}
 668 \end{gather}
 669 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
 670
 671 \subsection{Conditions}
 672 \[ \eqn{ Ingredients }{
 673  M \le L, M \le R
 674 }\]
 675 \[ \eqn{ Tip Merge }{
 676  L \in \py \implies
 677    \begin{cases}
 678       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
 679               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
 680       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
 681       \text{otherwise} : & \false
 682    \end{cases}
 683 }\]
 684 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
 685     L \in \pn
 686    \implies
 687     R \nothaspatch \p
 688 }\]
 689 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
 690     X \not\haspatch \p \land
 691     Y \haspatch \p \land
 692     M \haspatch \p
 693   \implies
 694     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
 695 }\]
 696 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
 697     X \not\haspatch \p \land
 698     Y \haspatch \p \land
 699     M \nothaspatch \p
 700    \implies \left[
 701     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
 702    \right]
 703 }\]
 704 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
 705     \patchof{L} = \bot \equiv \patchof{R} = \bot
 706 }\]
 707
 708 \subsection{Non-Topbloke merges}
 709
 710 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
 711 (Foreign Merges, above).
 712 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
 713 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
 714 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
 715
 716 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
 717 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
 718 Merge Ends condition applies.
 719
 720 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
 721 is therefore consistent with our scheme.
 722
 723 \subsection{No Replay}
 724
 725 No Replay for Merge Results applies.  $\qed$
 726
 727 \subsection{Unique Base}
 728
 729 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 730 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 731 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 732
 733 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 734 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 735 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 736
 737 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 738 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 739
 740 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 741
 742 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 743 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 744
 745 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 746 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 747 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 748 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 749 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 750
 751 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 752
 753 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
 754 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 755 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 756 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 757 That is, $\baseof{C} = R$.
 758
 759 $\qed$
 760
 761 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 762
 763 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 764 This involves considering $D \in \py$.
 765
 766 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 767 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 768 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch).  So $D \neq C$.
 769 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 770
 771 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 772 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 773 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 774
 775 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 776
 777 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 778  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 779 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 780
 781 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 782 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 783 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 784
 785 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 786 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 787 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 788 OK for $C \haspatch \p$.
 789
 790 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 791 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 792 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 793 OK for $C \haspatch \p$.
 794
 795 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 796
 797 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 798
 799 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 800 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 801
 802 \proofstarts
 803
 804 One of the Merge Ends conditions applies.
 805 Recall that we are considering $D \in \py$.
 806 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 807 We will show for each of
 808 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 809 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 810
 811 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
 812 Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
 813 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
 814 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 815
 816 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
 817 $D \le Y$ so $D \le C$.
 818 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 819
 820 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
 821 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 822 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 823 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 824 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 825
 826 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
 827 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 828 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 829 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 830
 831 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
 832 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 833
 834 $\qed$
 835
 836 \subsection{Base Acyclic}
 837
 838 This applies when $C \in \pn$.
 839 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 840
 841 Consider some $D \in \py$.
 842
 843 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 844 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 845
 846 $\qed$
 847
 848 \subsection{Tip Contents}
 849
 850 We need worry only about $C \in \py$.
 851 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 852 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 853 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 854
 855 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 856 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 857 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 858 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 859 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 860
 861 We will consider an arbitrary commit $D$
 862 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 863
 864 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 865 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 866 \le C$.  OK.
 867
 868 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 869
 870 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 871 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
 872 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
 873 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 874 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 875
 876 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 877
 878 $D \neq C$.
 879
 880 By Tip Contents
 881 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 882 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 883
 884 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 885 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 886 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 887 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 888
 889 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
 890 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 891 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 892
 893 $\qed$
 894
 895 \subsection{Foreign Inclusion}
 896
 897 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 898 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 899 $D \isin L \equiv D \le L$;
 900 $D \isin M \equiv D \le M$;
 901 $D \isin R \equiv D \le R$.
 902
 903 \subsubsection{For $D = C$:}
 904
 905 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 906
 907 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 908
 909 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 910 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 911
 912 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 913
 914 By $\merge$, $D \isin C$.
 915 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 916 OK.
 917
 918 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 919
 920 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 921 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 922 OK
 923
 924 $\qed$
 925
 926 \subsection{Foreign Contents}
 927
 928 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 929 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 930 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$
 931
 932 \end{document}