chiark - git - mdw - catacomb/blob - math/rho.c

   1 /* -*-c-*-
   2  *
   3  * Pollard's rho algorithm for discrete logs
   4  *
   5  * (c) 2000 Straylight/Edgeware
   6  */
   7
   8 /*----- Licensing notice --------------------------------------------------*
   9  *
  10  * This file is part of Catacomb.
  11  *
  12  * Catacomb is free software; you can redistribute it and/or modify
  13  * it under the terms of the GNU Library General Public License as
  14  * published by the Free Software Foundation; either version 2 of the
  15  * License, or (at your option) any later version.
  16  *
  17  * Catacomb is distributed in the hope that it will be useful,
  18  * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  19  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  20  * GNU Library General Public License for more details.
  21  *
  22  * You should have received a copy of the GNU Library General Public
  23  * License along with Catacomb; if not, write to the Free
  24  * Software Foundation, Inc., 59 Temple Place - Suite 330, Boston,
  25  * MA 02111-1307, USA.
  26  */
  27
  28 /*----- Header files ------------------------------------------------------*/
  29
  30 #include "fibrand.h"
  31 #include "mp.h"
  32 #include "mpmont.h"
  33 #include "mprand.h"
  34 #include "rho.h"
  35
  36 /*----- Main code ---------------------------------------------------------*/
  37
  38 /* --- @rho@ --- *
  39  *
  40  * Arguments:   @rho_ctx *cc@ = pointer to the context structure
  41  *              @void *x, *y@ = two (equal) base values (try 1)
  42  *              @mp *a, *b@ = logs of %$x$% (see below)
  43  *
  44  * Returns:     The discrete logarithm %$\log_g a$%, or null if the algorithm
  45  *              failed.  (This is unlikely, though possible.)
  46  *
  47  * Use:         Uses Pollard's rho algorithm to compute discrete logs in the
  48  *              group %$G$% generated by %$g$%.
  49  *
  50  *              The algorithm works by finding a cycle in a pseudo-random
  51  *              walk.  The function @ops->split@ should return an element
  52  *              from %$\{\,0, 1, 2\,\}$% according to its argument, in order
  53  *              to determine the walk.  At each step in the walk, we know a
  54  *              group element %$x \in G$% together with its representation as
  55  *              a product of powers of %$g$% and $%a$% (i.e., we know that
  56  *              %$x = g^\alpha a^\beta$% for some %$\alpha$%, %$\beta$%).
  57  *
  58  *              Locating a cycle gives us a collision
  59  *
  60  *                %$g^{\alpha} a^{\beta} = g^{\alpha'} a^{\beta'}$%
  61  *
  62  *              Taking logs of both sides (to base %$g$%) gives us that
  63  *
  64  *                %$\log a\equiv\frac{\alpha-\alpha'}{\beta'-\beta}\bmod{n}$%
  65  *
  66  *              Good initial values are %$x = y = 1$% (the multiplicative
  67  *              identity of %$G$%) and %$\alpha\equiv\beta\equiv0\bmod{n}$%.
  68  *              If that doesn't work then start choosing more `interesting'
  69  *              values.
  70  *
  71  *              Note that the algorithm requires minimal space but
  72  *              %$O(\sqrt{n})$% time.  Don't do this on large groups,
  73  *              particularly if you can find a decent factor base.
  74  *
  75  *              Finally, note that this function will free the input values
  76  *              when it's finished with them.  This probably isn't a great
  77  *              problem.
  78  */
  79
  80 static void step(rho_ctx *cc, void *x, mp **a, mp **b)
  81 {
  82   switch (cc->ops->split(x)) {
  83     case 0:
  84       cc->ops->mul(x, cc->g, cc->c);
  85       *a = mp_add(*a, *a, MP_ONE);
  86       if (MP_CMP(*a, >=, cc->n))
  87         *a = mp_sub(*a, *a, cc->n);
  88       break;
  89     case 1:
  90       cc->ops->sqr(x, cc->c);
  91       *a = mp_lsl(*a, *a, 1);
  92       if (MP_CMP(*a, >=, cc->n))
  93         *a = mp_sub(*a, *a, cc->n);
  94       *b = mp_lsl(*b, *b, 1);
  95       if (MP_CMP(*b, >=, cc->n))
  96         *b = mp_sub(*b, *b, cc->n);
  97       break;
  98     case 2:
  99       cc->ops->mul(x, cc->a, cc->c);
 100       *b = mp_add(*b, *b, MP_ONE);
 101       if (MP_CMP(*b, >=, cc->n))
 102         *b = mp_sub(*b, *b, cc->n);
 103       break;
 104   }
 105 }
 106
 107 mp *rho(rho_ctx *cc, void *x, void *y, mp *a, mp *b)
 108 {
 109   mp *aa = MP_COPY(a), *bb = MP_COPY(b);
 110   mp *g;
 111
 112   /* --- Grind through the random walk until we find a collision --- */
 113
 114   do {
 115     step(cc, x, &a, &b);
 116     step(cc, y, &aa, &bb);
 117     step(cc, y, &aa, &bb);
 118   } while (!cc->ops->eq(x, y));
 119   cc->ops->drop(x);
 120   cc->ops->drop(y);
 121
 122   /* --- Now sort out the mess --- */
 123
 124   aa = mp_sub(aa, a, aa);
 125   bb = mp_sub(bb, bb, b);
 126   g = MP_NEW;
 127   mp_gcd(&g, &bb, 0, bb, cc->n);
 128   if (!MP_EQ(g, MP_ONE)) {
 129     mp_drop(aa);
 130     aa = 0;
 131   } else {
 132     aa = mp_mul(aa, aa, bb);
 133     mp_div(0, &aa, aa, cc->n);
 134   }
 135
 136   /* --- Done --- */
 137
 138   mp_drop(bb);
 139   mp_drop(g);
 140   mp_drop(a);
 141   mp_drop(b);
 142   return (aa);
 143 }
 144
 145 /* --- @rho_prime@ --- *
 146  *
 147  * Arguments:   @mp *g@ = generator for the group
 148  *              @mp *a@ = value to find the logarithm of
 149  *              @mp *n@ = order of the group
 150  *              @mp *p@ = prime size of the underlying prime field
 151  *
 152  * Returns:     The discrete logarithm %$\log_g a$%.
 153  *
 154  * Use:         Computes discrete logarithms in a subgroup of a prime field.
 155  */
 156
 157 static void prime_sqr(void *x, void *c)
 158 {
 159   mp **p = x;
 160   mp *a = *p;
 161   a = mp_sqr(a, a);
 162   a = mpmont_reduce(c, a, a);
 163   *p = a;
 164 }
 165
 166 static void prime_mul(void *x, void *y, void *c)
 167 {
 168   mp **p = x;
 169   mp *a = *p;
 170   a = mpmont_mul(c, a, a, y);
 171   *p = a;
 172 }
 173
 174 static int prime_eq(void *x, void *y)
 175 {
 176   return (MP_EQ(*(mp **)x, *(mp **)y));
 177 }
 178
 179 static int prime_split(void *x)
 180 {
 181   /* --- Notes on the splitting function --- *
 182    *
 183    * The objective is to produce a simple pseudorandom mapping from the
 184    * underlying field \gf{p} to \{\,0, 1, 2\,\}$%.  This is further
 185    * constrained by the fact that we must not have %$1 \mapsto 1$% (since
 186    * otherwise the stepping function above will loop).
 187    *
 188    * The function we choose is very simple: we take the least significant
 189    * word from the integer, add one (to prevent the %$1 \mapsto 1$% property
 190    * described above) and reduce modulo 3.  This is slightly biased against
 191    * the result 2, but this doesn't appear to be relevant.
 192    */
 193
 194   return (((*(mp **)x)->v[0] + 1) % 3);
 195 }
 196
 197 static void prime_drop(void *x)
 198 {
 199   MP_DROP(*(mp **)x);
 200 }
 201
 202 static const rho_ops prime_ops = {
 203   prime_sqr, prime_mul, prime_eq, prime_split, prime_drop
 204 };
 205
 206 mp *rho_prime(mp *g, mp *a, mp *n, mp *p)
 207 {
 208   rho_ctx cc;
 209   grand *r = 0;
 210   mpmont mm;
 211   mp *x, *y;
 212   mp *aa, *bb;
 213   mp *l;
 214
 215   /* --- Initialization --- */
 216
 217   mpmont_create(&mm, p);
 218   cc.ops = &prime_ops;
 219   cc.c = &mm;
 220   cc.n = n;
 221   cc.g = mpmont_mul(&mm, MP_NEW, g, mm.r2);
 222   cc.a = mpmont_mul(&mm, MP_NEW, a, mm.r2);
 223   x = MP_COPY(mm.r);
 224   y = MP_COPY(x);
 225   aa = bb = MP_ZERO;
 226
 227   /* --- The main loop --- */
 228
 229   while ((l = rho(&cc, &x, &y, aa, bb)) == 0) {
 230     mp_expfactor f[2];
 231
 232     if (!r)
 233       r = fibrand_create(0);
 234     aa = mprand_range(MP_NEW, n, r, 0);
 235     bb = mprand_range(MP_NEW, n, r, 0);
 236     f[0].base = cc.g; f[0].exp = aa;
 237     f[1].base = cc.a; f[1].exp = bb;
 238     x = mpmont_mexpr(&mm, MP_NEW, f, 2);
 239     y = MP_COPY(x);
 240   }
 241
 242   /* --- Throw everything away now --- */
 243
 244   if (r)
 245     r->ops->destroy(r);
 246   mp_drop(cc.g);
 247   mp_drop(cc.a);
 248   mpmont_destroy(&mm);
 249   return (l);
 250 }
 251
 252 /*----- Test rig ----------------------------------------------------------*/
 253
 254 #ifdef TEST_RIG
 255
 256 #include <stdio.h>
 257
 258 #include "dh.h"
 259
 260 int main(void)
 261 {
 262   dh_param dp;
 263   mp *x, *y;
 264   grand *r = fibrand_create(0);
 265   mpmont mm;
 266   mp *l;
 267   int ok;
 268
 269   fputs("rho: ", stdout);
 270   fflush(stdout);
 271
 272   dh_gen(&dp, 32, 256, 0, r, pgen_evspin, 0);
 273   x = mprand_range(MP_NEW, dp.q, r, 0);
 274   mpmont_create(&mm, dp.p);
 275   y = mpmont_exp(&mm, MP_NEW, dp.g, x);
 276   mpmont_destroy(&mm);
 277   l = rho_prime(dp.g, y, dp.q, dp.p);
 278   if (MP_EQ(x, l)) {
 279     fputs(". ok\n", stdout);
 280     ok = 1;
 281   } else {
 282     fputs("\n*** rho (discrete logs) failed\n", stdout);
 283     ok = 0;
 284   }
 285
 286   mp_drop(l);
 287   mp_drop(x);
 288   mp_drop(y);
 289   r->ops->destroy(r);
 290   dh_paramfree(&dp);
 291   assert(mparena_count(MPARENA_GLOBAL) == 0);
 292
 293   return (ok ? 0 : EXIT_FAILURE);
 294 }
 295
 296 #endif
 297
 298 /*----- That's all, folks -------------------------------------------------*/