chiark - git - mdw - catacomb/blob - rho.c

   1 /* -*-c-*-
   2  *
   3  * $Id: rho.c,v 1.3 2001/06/16 12:56:38 mdw Exp $
   4  *
   5  * Pollard's rho algorithm for discrete logs
   6  *
   7  * (c) 2000 Straylight/Edgeware
   8  */
   9
  10 /*----- Licensing notice --------------------------------------------------*
  11  *
  12  * This file is part of Catacomb.
  13  *
  14  * Catacomb is free software; you can redistribute it and/or modify
  15  * it under the terms of the GNU Library General Public License as
  16  * published by the Free Software Foundation; either version 2 of the
  17  * License, or (at your option) any later version.
  18  *
  19  * Catacomb is distributed in the hope that it will be useful,
  20  * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  21  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  22  * GNU Library General Public License for more details.
  23  *
  24  * You should have received a copy of the GNU Library General Public
  25  * License along with Catacomb; if not, write to the Free
  26  * Software Foundation, Inc., 59 Temple Place - Suite 330, Boston,
  27  * MA 02111-1307, USA.
  28  */
  29
  30 /*----- Revision history --------------------------------------------------*
  31  *
  32  * $Log: rho.c,v $
  33  * Revision 1.3  2001/06/16 12:56:38  mdw
  34  * Fixes for interface change to @mpmont_expr@ and @mpmont_mexpr@.
  35  *
  36  * Revision 1.2  2000/10/08 12:11:22  mdw
  37  * Use @MP_EQ@ instead of @MP_CMP@.
  38  *
  39  * Revision 1.1  2000/07/09 21:32:30  mdw
  40  * Pollard's rho algorithm for computing discrete logs.
  41  *
  42  */
  43
  44 /*----- Header files ------------------------------------------------------*/
  45
  46 #include "fibrand.h"
  47 #include "mp.h"
  48 #include "mpmont.h"
  49 #include "mprand.h"
  50 #include "rho.h"
  51
  52 /*----- Main code ---------------------------------------------------------*/
  53
  54 /* --- @rho@ --- *
  55  *
  56  * Arguments:   @rho_ctx *cc@ = pointer to the context structure
  57  *              @void *x, *y@ = two (equal) base values (try 1)
  58  *              @mp *a, *b@ = logs of %$x$% (see below)
  59  *
  60  * Returns:     The discrete logarithm %$\log_g a$%, or null if the algorithm
  61  *              failed.  (This is unlikely, though possible.)
  62  *
  63  * Use:         Uses Pollard's rho algorithm to compute discrete logs in the
  64  *              group %$G$% generated by %$g$%.
  65  *
  66  *              The algorithm works by finding a cycle in a pseudo-random
  67  *              walk.  The function @ops->split@ should return an element
  68  *              from %$\{\,0, 1, 2\,\}$% according to its argument, in order
  69  *              to determine the walk.  At each step in the walk, we know a
  70  *              group element %$x \in G$% together with its representation as
  71  *              a product of powers of %$g$% and $%a$% (i.e., we know that
  72  *              %$x = g^\alpha a^\beta$% for some %$\alpha$%, %$\beta$%).
  73  *
  74  *              Locating a cycle gives us a collision
  75  *
  76  *                %$g^{\alpha} a^{\beta} = g^{\alpha'} a^{\beta'}$%
  77  *
  78  *              Taking logs of both sides (to base %$g$%) gives us that
  79  *
  80  *                %$\log a\equiv\frac{\alpha-\alpha'}{\beta'-\beta}\bmod{n}$%
  81  *
  82  *              Good initial values are %$x = y = 1$% (the multiplicative
  83  *              identity of %$G$%) and %$\alpha\equiv\beta\equiv0\bmod{n}$%.
  84  *              If that doesn't work then start choosing more `interesting'
  85  *              values.
  86  *
  87  *              Note that the algorithm requires minimal space but
  88  *              %$O(\sqrt{n})$% time.  Don't do this on large groups,
  89  *              particularly if you can find a decent factor base.
  90  *
  91  *              Finally, note that this function will free the input values
  92  *              when it's finished with them.  This probably isn't a great
  93  *              problem.
  94  */
  95
  96 static void step(rho_ctx *cc, void *x, mp **a, mp **b)
  97 {
  98   switch (cc->ops->split(x)) {
  99     case 0:
 100       cc->ops->mul(x, cc->g, cc->c);
 101       *a = mp_add(*a, *a, MP_ONE);
 102       if (MP_CMP(*a, >=, cc->n))
 103         *a = mp_sub(*a, *a, cc->n);
 104       break;
 105     case 1:
 106       cc->ops->sqr(x, cc->c);
 107       *a = mp_lsl(*a, *a, 1);
 108       if (MP_CMP(*a, >=, cc->n))
 109         *a = mp_sub(*a, *a, cc->n);
 110       *b = mp_lsl(*b, *b, 1);
 111       if (MP_CMP(*b, >=, cc->n))
 112         *b = mp_sub(*b, *b, cc->n);
 113       break;
 114     case 2:
 115       cc->ops->mul(x, cc->a, cc->c);
 116       *b = mp_add(*b, *b, MP_ONE);
 117       if (MP_CMP(*b, >=, cc->n))
 118         *b = mp_sub(*b, *b, cc->n);
 119       break;
 120   }
 121 }
 122
 123 mp *rho(rho_ctx *cc, void *x, void *y, mp *a, mp *b)
 124 {
 125   mp *aa = MP_COPY(a), *bb = MP_COPY(b);
 126   mp *g;
 127
 128   /* --- Grind through the random walk until we find a collision --- */
 129
 130   do {
 131     step(cc, x, &a, &b);
 132     step(cc, y, &aa, &bb);
 133     step(cc, y, &aa, &bb);
 134   } while (!cc->ops->eq(x, y));
 135   cc->ops->drop(x);
 136   cc->ops->drop(y);
 137
 138   /* --- Now sort out the mess --- */
 139
 140   aa = mp_sub(aa, a, aa);
 141   bb = mp_sub(bb, bb, b);
 142   g = MP_NEW;
 143   mp_gcd(&g, &bb, 0, bb, cc->n);
 144   if (!MP_EQ(g, MP_ONE)) {
 145     mp_drop(aa);
 146     aa = 0;
 147   } else {
 148     aa = mp_mul(aa, aa, bb);
 149     mp_div(0, &aa, aa, cc->n);
 150   }
 151
 152   /* --- Done --- */
 153
 154   mp_drop(bb);
 155   mp_drop(g);
 156   mp_drop(a);
 157   mp_drop(b);
 158   return (aa);
 159 }
 160
 161 /* --- @rho_prime@ --- *
 162  *
 163  * Arguments:   @mp *g@ = generator for the group
 164  *              @mp *a@ = value to find the logarithm of
 165  *              @mp *n@ = order of the group
 166  *              @mp *p@ = prime size of the underlying prime field
 167  *
 168  * Returns:     The discrete logarithm %$\log_g a$%.
 169  *
 170  * Use:         Computes discrete logarithms in a subgroup of a prime field.
 171  */
 172
 173 static void prime_sqr(void *x, void *c)
 174 {
 175   mp **p = x;
 176   mp *a = *p;
 177   a = mp_sqr(a, a);
 178   a = mpmont_reduce(c, a, a);
 179   *p = a;
 180 }
 181
 182 static void prime_mul(void *x, void *y, void *c)
 183 {
 184   mp **p = x;
 185   mp *a = *p;
 186   a = mpmont_mul(c, a, a, y);
 187   *p = a;
 188 }
 189
 190 static int prime_eq(void *x, void *y)
 191 {
 192   return (MP_EQ(*(mp **)x, *(mp **)y));
 193 }
 194
 195 static int prime_split(void *x)
 196 {
 197   /* --- Notes on the splitting function --- *
 198    *
 199    * The objective is to produce a simple pseudorandom mapping from the
 200    * underlying field \gf{p} to \{\,0, 1, 2\,\}$%.  This is further
 201    * constrained by the fact that we must not have %$1 \mapsto 1$% (since
 202    * otherwise the stepping function above will loop).
 203    *
 204    * The function we choose is very simple: we take the least significant
 205    * word from the integer, add one (to prevent the %$1 \mapsto 1$% property
 206    * described above) and reduce modulo 3.  This is slightly biased against
 207    * the result 2, but this doesn't appear to be relevant.
 208    */
 209
 210   return (((*(mp **)x)->v[0] + 1) % 3);
 211 }
 212
 213 static void prime_drop(void *x)
 214 {
 215   MP_DROP(*(mp **)x);
 216 }
 217
 218 static rho_ops prime_ops = {
 219   prime_sqr, prime_mul, prime_eq, prime_split, prime_drop
 220 };
 221
 222 mp *rho_prime(mp *g, mp *a, mp *n, mp *p)
 223 {
 224   rho_ctx cc;
 225   grand *r = 0;
 226   mpmont mm;
 227   mp *x, *y;
 228   mp *aa, *bb;
 229   mp *l;
 230
 231   /* --- Initialization --- */
 232
 233   mpmont_create(&mm, p);
 234   cc.ops = &prime_ops;
 235   cc.c = &mm;
 236   cc.n = n;
 237   cc.g = mpmont_mul(&mm, MP_NEW, g, mm.r2);
 238   cc.a = mpmont_mul(&mm, MP_NEW, a, mm.r2);
 239   x = MP_COPY(mm.r);
 240   y = MP_COPY(x);
 241   aa = bb = MP_ZERO;
 242
 243   /* --- The main loop --- */
 244
 245   while ((l = rho(&cc, &x, &y, aa, bb)) == 0) {
 246     mp_expfactor f[2];
 247
 248     if (!r)
 249       r = fibrand_create(0);
 250     aa = mprand_range(MP_NEW, n, r, 0);
 251     bb = mprand_range(MP_NEW, n, r, 0);
 252     f[0].base = cc.g; f[0].exp = aa;
 253     f[1].base = cc.a; f[1].exp = bb;
 254     x = mpmont_mexpr(&mm, MP_NEW, f, 2);
 255     y = MP_COPY(x);
 256   }
 257
 258   /* --- Throw everything away now --- */
 259
 260   if (r)
 261     r->ops->destroy(r);
 262   mp_drop(cc.g);
 263   mp_drop(cc.a);
 264   mpmont_destroy(&mm);
 265   return (l);
 266 }
 267
 268 /*----- Test rig ----------------------------------------------------------*/
 269
 270 #ifdef TEST_RIG
 271
 272 #include <stdio.h>
 273
 274 #include "dh.h"
 275
 276 int main(void)
 277 {
 278   dh_param dp;
 279   mp *x, *y;
 280   grand *r = fibrand_create(0);
 281   mpmont mm;
 282   mp *l;
 283   int ok;
 284
 285   fputs("rho: ", stdout);
 286   fflush(stdout);
 287
 288   dh_gen(&dp, 32, 256, 0, r, pgen_evspin, 0);
 289   x = mprand_range(MP_NEW, dp.q, r, 0);
 290   mpmont_create(&mm, dp.p);
 291   y = mpmont_exp(&mm, MP_NEW, dp.g, x);
 292   mpmont_destroy(&mm);
 293   l = rho_prime(dp.g, y, dp.q, dp.p);
 294   if (MP_EQ(x, l)) {
 295     fputs(". ok\n", stdout);
 296     ok = 1;
 297   } else {
 298     fputs("\n*** rho (discrete logs) failed\n", stdout);
 299     ok = 0;
 300   }
 301
 302   mp_drop(l);
 303   mp_drop(x);
 304   mp_drop(y);
 305   r->ops->destroy(r);
 306   dh_paramfree(&dp);
 307   assert(mparena_count(MPARENA_GLOBAL) == 0);
 308
 309   return (ok ? 0 : EXIT_FAILURE);
 310 }
 311
 312 #endif
 313
 314 /*----- That's all, folks -------------------------------------------------*/