chiark - git - mdw - catacomb/blob - rho.c

   1 /* -*-c-*-
   2  *
   3  * $Id: rho.c,v 1.1 2000/07/09 21:32:30 mdw Exp $
   4  *
   5  * Pollard's rho algorithm for discrete logs
   6  *
   7  * (c) 2000 Straylight/Edgeware
   8  */
   9
  10 /*----- Licensing notice --------------------------------------------------*
  11  *
  12  * This file is part of Catacomb.
  13  *
  14  * Catacomb is free software; you can redistribute it and/or modify
  15  * it under the terms of the GNU Library General Public License as
  16  * published by the Free Software Foundation; either version 2 of the
  17  * License, or (at your option) any later version.
  18  *
  19  * Catacomb is distributed in the hope that it will be useful,
  20  * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  21  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  22  * GNU Library General Public License for more details.
  23  *
  24  * You should have received a copy of the GNU Library General Public
  25  * License along with Catacomb; if not, write to the Free
  26  * Software Foundation, Inc., 59 Temple Place - Suite 330, Boston,
  27  * MA 02111-1307, USA.
  28  */
  29
  30 /*----- Revision history --------------------------------------------------*
  31  *
  32  * $Log: rho.c,v $
  33  * Revision 1.1  2000/07/09 21:32:30  mdw
  34  * Pollard's rho algorithm for computing discrete logs.
  35  *
  36  */
  37
  38 /*----- Header files ------------------------------------------------------*/
  39
  40 #include "fibrand.h"
  41 #include "mp.h"
  42 #include "mpmont.h"
  43 #include "mprand.h"
  44 #include "rho.h"
  45
  46 /*----- Main code ---------------------------------------------------------*/
  47
  48 /* --- @rho@ --- *
  49  *
  50  * Arguments:   @rho_ctx *cc@ = pointer to the context structure
  51  *              @void *x, *y@ = two (equal) base values (try 1)
  52  *              @mp *a, *b@ = logs of %$x$% (see below)
  53  *
  54  * Returns:     The discrete logarithm %$\log_g a$%, or null if the algorithm
  55  *              failed.  (This is unlikely, though possible.)
  56  *
  57  * Use:         Uses Pollard's rho algorithm to compute discrete logs in the
  58  *              group %$G$% generated by %$g$%.
  59  *
  60  *              The algorithm works by finding a cycle in a pseudo-random
  61  *              walk.  The function @ops->split@ should return an element
  62  *              from %$\{\,0, 1, 2\,\}$% according to its argument, in order
  63  *              to determine the walk.  At each step in the walk, we know a
  64  *              group element %$x \in G$% together with its representation as
  65  *              a product of powers of %$g$% and $%a$% (i.e., we know that
  66  *              %$x = g^\alpha a^\beta$% for some %$\alpha$%, %$\beta$%).
  67  *
  68  *              Locating a cycle gives us a collision
  69  *
  70  *                %$g^{\alpha} a^{\beta} = g^{\alpha'} a^{\beta'}$%
  71  *
  72  *              Taking logs of both sides (to base %$g$%) gives us that
  73  *
  74  *                %$\log a\equiv\frac{\alpha-\alpha'}{\beta'-\beta}\bmod{n}$%
  75  *
  76  *              Good initial values are %$x = y = 1$% (the multiplicative
  77  *              identity of %$G$%) and %$\alpha\equiv\beta\equiv0\bmod{n}$%.
  78  *              If that doesn't work then start choosing more `interesting'
  79  *              values.
  80  *
  81  *              Note that the algorithm requires minimal space but
  82  *              %$O(\sqrt{n})$% time.  Don't do this on large groups,
  83  *              particularly if you can find a decent factor base.
  84  *
  85  *              Finally, note that this function will free the input values
  86  *              when it's finished with them.  This probably isn't a great
  87  *              problem.
  88  */
  89
  90 static void step(rho_ctx *cc, void *x, mp **a, mp **b)
  91 {
  92   switch (cc->ops->split(x)) {
  93     case 0:
  94       cc->ops->mul(x, cc->g, cc->c);
  95       *a = mp_add(*a, *a, MP_ONE);
  96       if (MP_CMP(*a, >=, cc->n))
  97         *a = mp_sub(*a, *a, cc->n);
  98       break;
  99     case 1:
 100       cc->ops->sqr(x, cc->c);
 101       *a = mp_lsl(*a, *a, 1);
 102       if (MP_CMP(*a, >=, cc->n))
 103         *a = mp_sub(*a, *a, cc->n);
 104       *b = mp_lsl(*b, *b, 1);
 105       if (MP_CMP(*b, >=, cc->n))
 106         *b = mp_sub(*b, *b, cc->n);
 107       break;
 108     case 2:
 109       cc->ops->mul(x, cc->a, cc->c);
 110       *b = mp_add(*b, *b, MP_ONE);
 111       if (MP_CMP(*b, >=, cc->n))
 112         *b = mp_sub(*b, *b, cc->n);
 113       break;
 114   }
 115 }
 116
 117 mp *rho(rho_ctx *cc, void *x, void *y, mp *a, mp *b)
 118 {
 119   mp *aa = MP_COPY(a), *bb = MP_COPY(b);
 120   mp *g;
 121
 122   /* --- Grind through the random walk until we find a collision --- */
 123
 124   do {
 125     step(cc, x, &a, &b);
 126     step(cc, y, &aa, &bb);
 127     step(cc, y, &aa, &bb);
 128   } while (!cc->ops->eq(x, y));
 129   cc->ops->drop(x);
 130   cc->ops->drop(y);
 131
 132   /* --- Now sort out the mess --- */
 133
 134   aa = mp_sub(aa, a, aa);
 135   bb = mp_sub(bb, bb, b);
 136   g = MP_NEW;
 137   mp_gcd(&g, &bb, 0, bb, cc->n);
 138   if (MP_CMP(g, !=, MP_ONE)) {
 139     mp_drop(aa);
 140     aa = 0;
 141   } else {
 142     aa = mp_mul(aa, aa, bb);
 143     mp_div(0, &aa, aa, cc->n);
 144   }
 145
 146   /* --- Done --- */
 147
 148   mp_drop(bb);
 149   mp_drop(g);
 150   mp_drop(a);
 151   mp_drop(b);
 152   return (aa);
 153 }
 154
 155 /* --- @rho_prime@ --- *
 156  *
 157  * Arguments:   @mp *g@ = generator for the group
 158  *              @mp *a@ = value to find the logarithm of
 159  *              @mp *n@ = order of the group
 160  *              @mp *p@ = prime size of the underlying prime field
 161  *
 162  * Returns:     The discrete logarithm %$\log_g a$%.
 163  *
 164  * Use:         Computes discrete logarithms in a subgroup of a prime field.
 165  */
 166
 167 static void prime_sqr(void *x, void *c)
 168 {
 169   mp **p = x;
 170   mp *a = *p;
 171   a = mp_sqr(a, a);
 172   a = mpmont_reduce(c, a, a);
 173   *p = a;
 174 }
 175
 176 static void prime_mul(void *x, void *y, void *c)
 177 {
 178   mp **p = x;
 179   mp *a = *p;
 180   a = mpmont_mul(c, a, a, y);
 181   *p = a;
 182 }
 183
 184 static int prime_eq(void *x, void *y)
 185 {
 186   return (MP_CMP(*(mp **)x, ==, *(mp **)y));
 187 }
 188
 189 static int prime_split(void *x)
 190 {
 191   /* --- Notes on the splitting function --- *
 192    *
 193    * The objective is to produce a simple pseudorandom mapping from the
 194    * underlying field \gf{p} to \{\,0, 1, 2\,\}$%.  This is further
 195    * constrained by the fact that we must not have %$1 \mapsto 1$% (since
 196    * otherwise the stepping function above will loop).
 197    *
 198    * The function we choose is very simple: we take the least significant
 199    * word from the integer, add one (to prevent the %$1 \mapsto 1$% property
 200    * described above) and reduce modulo 3.  This is slightly biased against
 201    * the result 2, but this doesn't appear to be relevant.
 202    */
 203
 204   return (((*(mp **)x)->v[0] + 1) % 3);
 205 }
 206
 207 static void prime_drop(void *x)
 208 {
 209   MP_DROP(*(mp **)x);
 210 }
 211
 212 static rho_ops prime_ops = {
 213   prime_sqr, prime_mul, prime_eq, prime_split, prime_drop
 214 };
 215
 216 mp *rho_prime(mp *g, mp *a, mp *n, mp *p)
 217 {
 218   rho_ctx cc;
 219   grand *r = 0;
 220   mpmont mm;
 221   mp *x, *y;
 222   mp *aa, *bb;
 223   mp *l;
 224
 225   /* --- Initialization --- */
 226
 227   mpmont_create(&mm, p);
 228   cc.ops = &prime_ops;
 229   cc.c = &mm;
 230   cc.n = n;
 231   cc.g = mpmont_mul(&mm, MP_NEW, g, mm.r2);
 232   cc.a = mpmont_mul(&mm, MP_NEW, a, mm.r2);
 233   x = MP_COPY(mm.r);
 234   y = MP_COPY(x);
 235   aa = bb = MP_ZERO;
 236
 237   /* --- The main loop --- */
 238
 239   while ((l = rho(&cc, &x, &y, aa, bb)) == 0) {
 240     mpmont_factor f[2];
 241
 242     if (!r)
 243       r = fibrand_create(0);
 244     aa = mprand_range(MP_NEW, n, r, 0);
 245     bb = mprand_range(MP_NEW, n, r, 0);
 246     f[0].base = g; f[0].exp = aa;
 247     f[1].base = a; f[1].exp = bb;
 248     x = mpmont_mexpr(&mm, MP_NEW, f, 2);
 249     y = MP_COPY(x);
 250   }
 251
 252   /* --- Throw everything away now --- */
 253
 254   if (r)
 255     r->ops->destroy(r);
 256   mp_drop(cc.g);
 257   mp_drop(cc.a);
 258   mpmont_destroy(&mm);
 259   return (l);
 260 }
 261
 262 /*----- Test rig ----------------------------------------------------------*/
 263
 264 #ifdef TEST_RIG
 265
 266 #include <stdio.h>
 267
 268 #include "dh.h"
 269
 270 int main(void)
 271 {
 272   dh_param dp;
 273   mp *x, *y;
 274   grand *r = fibrand_create(0);
 275   mpmont mm;
 276   mp *l;
 277   int ok;
 278
 279   fputs("rho: ", stdout);
 280   fflush(stdout);
 281
 282   dh_gen(&dp, 32, 256, 0, r, pgen_evspin, 0);
 283   x = mprand_range(MP_NEW, dp.q, r, 0);
 284   mpmont_create(&mm, dp.p);
 285   y = mpmont_exp(&mm, MP_NEW, dp.g, x);
 286   mpmont_destroy(&mm);
 287   l = rho_prime(dp.g, y, dp.q, dp.p);
 288   if (MP_CMP(x, ==, l)) {
 289     fputs(". ok\n", stdout);
 290     ok = 1;
 291   } else {
 292     fputs("\n*** rho (discrete logs) failed\n", stdout);
 293     ok = 0;
 294   }
 295
 296   mp_drop(l);
 297   mp_drop(x);
 298   mp_drop(y);
 299   r->ops->destroy(r);
 300   dh_paramfree(&dp);
 301   assert(mparena_count(MPARENA_GLOBAL) == 0);
 302
 303   return (ok ? 0 : EXIT_FAILURE);
 304 }
 305
 306 #endif
 307
 308 /*----- That's all, folks -------------------------------------------------*/