partition.py

   1 #!/usr/bin/env python
   2
   3 import sys, subprocess, math
   4 from fractions import Fraction
   5
   6 def vprint(*args):
   7     # In verbose mode, print diagnostics.
   8     pass # FIXME: implement verbose mode
   9
  10 def find_partitions(n, minfrag, maxfrag=None, prefix=(), ret=None):
  11     """Find all partitions of n into integer pieces at least minfrag.
  12
  13 Returns a list of tuples.
  14
  15 For recursive calls: appends to an existing 'ret' if none is
  16 specified."""
  17     if ret is None:
  18         ret = [] # new array
  19     maxfrag = min(maxfrag, n) if maxfrag is not None else n
  20     if n == 0:
  21         ret.append(prefix)
  22     else:
  23         for frag in xrange(minfrag, maxfrag+1):
  24             find_partitions(n-frag, frag, maxfrag, prefix+(frag,), ret)
  25     return ret
  26
  27 def try_one_minfrag(n, m, minfrag, d):
  28     # Find all possible partitions of the two stick lengths.
  29     nparts = find_partitions(n*d, minfrag, m*d)
  30     mparts = find_partitions(m*d, minfrag)
  31
  32     # Winnow by discarding any partition using a length not present in
  33     # the other.
  34     while True:
  35         vprint("Partitions of %d:" % n)
  36         for np in nparts:
  37             vprint("   ", np)
  38         vprint("Partitions of %d:" % m)
  39         for mp in mparts:
  40             vprint("   ", mp)
  41
  42         oldlens = len(nparts), len(mparts)
  43         nlengths = set(sum(nparts, ()))
  44         mlengths = set(sum(mparts, ()))
  45         new_nparts = []
  46         for np in nparts:
  47             s = set([k for k in np if k not in mlengths])
  48             if len(s) == 0:
  49                 new_nparts.append(np)
  50             else:
  51                 vprint("Winnowing %s (can't use %s)" % (
  52                     np, ", ".join(map(str,sorted(s)))))
  53         new_mparts = []
  54         for mp in mparts:
  55             s = set([k for k in mp if k not in nlengths])
  56             if len(s) == 0:
  57                 new_mparts.append(mp)
  58             else:
  59                 vprint("Winnowing %s (can't use %s)" % (
  60                     mp, ", ".join(map(str,sorted(s)))))
  61         nparts = new_nparts
  62         mparts = new_mparts
  63         if oldlens == (len(nparts), len(mparts)):
  64             break # we have converged
  65
  66     if len(nparts) == 0 or len(mparts) == 0:
  67         vprint("No partitions available.")
  68         return None
  69     # Now we need to look for an integer occurrence count of each
  70     # nparts row, summing to m, and one for each mparts row, summing
  71     # to n, with the right constraints. We do this by appealing to an
  72     # ILP solver :-)
  73     ilp_file = ""
  74     nvarnames = {}
  75     for np in nparts:
  76         nvarnames[np] = "_".join(["n"] + map(str,np))
  77     mvarnames = {}
  78     for mp in mparts:
  79         mvarnames[mp] = "_".join(["m"] + map(str,mp))
  80     varlist = sorted(nvarnames.values()) + sorted(mvarnames.values())
  81     # Have to try to minimise _something_!
  82     ilp_file += "min: %s;\n" % " + ".join(["%d * %s" % (i+1, name) for i, name in enumerate(varlist)])
  83     for var in varlist:
  84         ilp_file += "%s >= 0;\n" % var
  85     ilp_file += " + ".join(sorted(nvarnames.values())) + " = %d;\n" % m
  86     ilp_file += " + ".join(sorted(mvarnames.values())) + " = %d;\n" % n
  87     assert nlengths == mlengths
  88     for k in nlengths:
  89         ns = []
  90         for np in nparts:
  91             count = len([x for x in np if x == k])
  92             if count > 0:
  93                 ns.append((count, nvarnames[np]))
  94         ms = []
  95         for mp in mparts:
  96             count = len([x for x in mp if x == k])
  97             if count > 0:
  98                 ms.append((count, mvarnames[mp]))
  99         ilp_file += " + ".join(["%d * %s" % t for t in ns]) + " = "
 100         ilp_file += " + ".join(["%d * %s" % t for t in ms]) + ";\n"
 101     for var in sorted(nvarnames.values()) + sorted(mvarnames.values()):
 102         ilp_file += "int %s;\n" % var
 103
 104     p = subprocess.Popen(["lp_solve", "-lp"], stdin=subprocess.PIPE,
 105                          stdout=subprocess.PIPE)
 106     stdout, stderr = p.communicate(ilp_file)
 107     if p.wait() != 0:
 108         vprint("ILP solver failed")
 109         return None
 110     else:
 111         ncounts = {}
 112         mcounts = {}
 113         for line in stdout.splitlines():
 114             words = line.split()
 115             if len(words) == 0:
 116                 pass # rule out for future elifs
 117             elif words[0][:2] == "n_" and words[1] != "0":
 118                 ncounts[tuple(map(int, words[0][2:].split("_")))] = int(words[1])
 119             elif words[0][:2] == "m_" and words[1] != "0":
 120                 mcounts[tuple(map(int, words[0][2:].split("_")))] = int(words[1])
 121         return ncounts, mcounts
 122
 123 def search(n, m):
 124     if n % m == 0:
 125         # Trivial special case.
 126         return (m, 1, {(m,):n}, {(m,)*(n/m):m})
 127     best = (0,)
 128     for d in xrange(1, n+1):
 129         for k in xrange(m*d/2, int(math.ceil(best[0]*d)), -1):
 130             result = try_one_minfrag(n, m, k, d)
 131             if result is not None:
 132                 best = (Fraction(k, d), d) + result
 133                 break
 134     return best
 135
 136 def search_and_report(n, m):
 137     best = search(n, m)
 138     d = best[1]
 139     print "%d into %d best min fragment found: %s" % (n, m, best[0])
 140     print "  Cut up %d sticks of length %d like this:" % (n, m)
 141     for row, count in sorted(best[2].items(), reverse=True):
 142         print "    %d x (%s)" % (count, " + ".join([str(Fraction(k,d)) for k in row]))
 143     print "  Reassemble as %d sticks of length %d like this:" % (m, n)
 144     for col, count in sorted(best[3].items(), reverse=True):
 145         print "    %d x (%s)" % (count, " + ".join([str(Fraction(k,d)) for k in col]))
 146
 147 def main():
 148     m, n = sorted(map(int,sys.argv[1:3]))
 149     search_and_report(n, m)
 150
 151 if __name__ == "__main__":
 152     main()