chiark / gitweb /
1 # -*- coding: utf-8 -*-
3 # Compute upper bounds on min fragment.
5 import sys, fractions
6 from fractions import Fraction
8 def floor(q):
9     """Floor function that can cope with Fraction. Bah, why does the
10 fractions module not contain one of these?"""
11     if q < 0: return -ceil(-q)
12     return int(q)
13 def ceil(q):
14     """Ceiling function that can cope with Fraction. Also bah."""
15     if q < 0: return -floor(-q)
16     if q == int(q): return int(q)
17     return int(q) + 1
19 def ceilpe(q):
20     """ceil(q+ε)"""
21     return floor(q) + 1
22 def floorme(q):
23     """floor(q-ε)"""
24     return ceil(q) - 1
26 def writinghawk(n,m):
27     """Upper bound on the best solution by <lj user="writinghawk">.
29 We begin by ruling out the case where m | n, which is the only case in
30 which we can avoid cutting _any_ m-stick. With that constraint, we
31 know the min frag must be at most m/2, and we assume we will cut
32 _every_ m-stick at least once.
34 Now suppose the min frag is s, so that every piece is at least s and
35 at most m-s. We derive constraints on s by considering the total
36 number of pieces in the dissection.
38 Each stick of length n is cut into at least n/(m-s) and at most n/s
39 pieces. Because it must also have an integer number of pieces, that
40 means it's at least ⌈n/(m-s)⌉ and at most ⌊n/s⌋. Summing over all
41 n-sticks, the total number of pieces P in the dissection must satisfy
42 m⌈n/(m-s)⌉ ≤ P ≤ m⌊n/s⌋.
44 By similarly considering the number of pieces that a stick of length m
45 is cut into, we derive a second inequality n⌈m/(m-s)⌉ ≤ P ≤ n⌊m/s⌋
46 (identical to the first inequality, but with n,m are swapped
47 everywhere they appear except in the divisor m-s).
49 So when s becomes big enough that either of those inequalities is
50 self-inconsistent (with LHS > RHS) or when the two are incompatible
51 (because they define ranges for P that do not meet), there can be no
52 dissection with s that large."""
53     if n % m == 0:
54         return m
56     s = 1
57     while True:
58         # See if s+ε is viable.
60         # lo_n = m * ⌈n/(m - s - ε)⌉
61         #      = m * ⌈n/(m - s) + ε'⌉
62         lo_n = m * ceilpe(Fraction(n, m - s))
64         # hi_n = m * ⌊n/(s + ε)⌋
65         #      = m * ⌊n/s - ε'⌋
66         hi_n = m * floorme(Fraction(n, s))
68         # lo_m = n * ⌈m/(m - s - ε)⌉
69         #      = n * ⌈m/(m - s) + ε'⌉
70         lo_m = n * ceilpe(Fraction(m, m - s))
72         # hi_m = n * ⌊m/(s + ε)⌋
73         #      = n * ⌊m/s - ε'⌋
74         hi_m = n * floorme(Fraction(m, s))
76         if max(lo_n, lo_m) > min(hi_n, hi_m):
77             return s
79         # Find the next point where one of those floors changes.
80         s_new = min(m - Fraction(n, ceilpe(Fraction(n, m - s))),
81                     Fraction(n, floorme(Fraction(n, s))),
82                     m - Fraction(m, ceilpe(Fraction(m, m - s))),
83                     Fraction(m, floorme(Fraction(m, s))))
84         s = s_new
86 def fivemack(n, m):
87     """Upper bound on certain n,m pairs by Tom Womack.
89 If m/3 is an integer and also a multiple of n-m, then no solution can
90 be better than m/3.
92 Proof: suppose the shortest fragment is m/3 + ε for some ε > 0. Then
93 if any segment of stick less than _twice_ that length arises while
94 you're dissecting, it must remain whole. In particular, any fragment
95 shorter than 2m/3 + 2ε must be monolithic in this way.
97 So consider a short stick (of length m) from which we cut a piece of
98 length m/3+ε. The other piece of that stick has length 2m/3-ε and
99 hence is monolithic; so it must have been cut as a whole from a longer
100 stick of length n. Let n = m+k, because we'll want to talk about k a
101 lot. Now we reason as follows:
103  - a piece m/3+ε shares a short stick with 2m/3-ε
104  - that 2m/3-ε shares a long stick with m/3+k+ε
105  - that m/3+k+ε shares a short stick with 2m/3-k-ε
106  - that 2m/3-k-ε shares a long stick with m/3+2k+ε
108 ... and so on, so that we derive the existence of pieces of lengths
109 m/3+ε, m/3+k+ε, m/3+2k+ε, ... 2m/3+ε (which we must reach since m/3 is
110 an exact multiple of k). That 2m/3+ε is still monolithic (recall that
111 only a piece of at least 2m/3+2ε can avoid being so) and so it must
112 share a short stick with a piece of length m/3-ε, which is shorter
113 than our presumed minimum fragment. Contradiction."""
114     if m % (3*(n-m)) == 0:
115         return m/3
116     return None
118 def most_trivial(n, m):
119     """The most trivial possible bound."""
120     return m
122 def trivial(n, m):
123     """Trivial upper bound of m/2.
125 If m does not divide n, then at least one m-stick must be cut into
126 more than one piece, reducing the best option to at most m/2."""
127     if n % m == 0:
128         return None
129     return Fraction(m, 2)
131 bounds = [
132     (writinghawk, "writinghawk's piece-counting bound"),
133     (fivemack, "fivemack's conditional m/3 bound"),
134     (trivial, "trivial bound of m/2"),
135     (most_trivial, "trivial bound of m"),
136 ]
138 def upper_bound(n, m):
139     assert n > m
140     best = m+1, None
141     for boundtype in bounds:
142         b = boundtype(n, m)
143         if b is not None:
144             if b < best:
145                 best = b, boundtype
146             elif b == best:
147                 best = b, best + ", " + boundtype
148     return best
150 def main():
151     n = int(sys.argv)
152     m = int(sys.argv)
153     if n < m: m,n = n,m
154     b = upper_bound(n, m)
155     print "upper_bound(%d,%d) = %s (%s)" % (n, m, b, b)
157 if __name__ == "__main__":
158     main()