chiark / gitweb /
 author Ian Jackson Thu, 8 Mar 2012 17:05:09 +0000 (17:05 +0000) committer Ian Jackson Thu, 8 Mar 2012 17:05:09 +0000 (17:05 +0000)
 article.tex patch | blob | history

index 1feeb48..b71b188 100644 (file)
@@ -488,16 +488,20 @@ We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
\text{otherwise} : & \false
\end{cases}
}\]
-$\eqn{ Merge Ends }{ +\[ \eqn{ Removal Merge Ends }{ X \not\haspatch \p \land - Y \haspatch \p + Y \haspatch \p \land + M \haspatch \p \implies - \begin{cases} - M \haspatch \p : & \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py} - \\ - M \nothaspatch \p : & \displaystyle - \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y - \end{cases} + \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py} +}$
+$\eqn{ Addition Merge Ends }{ + X \not\haspatch \p \land + Y \haspatch \p \land + M \nothaspatch \p + \implies \left[ + \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y + \right] }$

\subsection{No Replay}
@@ -580,7 +584,8 @@ $C \haspatch \p \equiv M \nothaspatch \p$.

\proofstarts

-Merge Ends applies.  Recall that we are considering $D \in \py$.
+One of the Merge Ends conditions applies.
+Recall that we are considering $D \in \py$.
$D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
We will show for each of
various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
@@ -597,12 +602,12 @@ $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.

Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
$D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
-$D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Merge Ends and
+$D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.

Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
-$D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Merge Ends
+$D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.