merge.tex

   1 \section{Merge}
   2
   3 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
   4 \gathbegin
   5  C \hasparents \{ L, R \}
   6 \gathnext
   7  \patchof{C} = \patchof{L}
   8 \gathnext
   9  \mergeof{C}{L}{M}{R}
  10 \end{gather}
  11 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
  12
  13 This can also be used for dependency re-insertion, by setting
  14 $L \in \pn$, $R \in \pry$, $M = \baseof{R}$.
  15
  16 \subsection{Conditions}
  17 \[ \eqn{ Ingredients }{
  18  M \le L \land M \le R
  19 }\]
  20 \[ \eqn{ Tip Merge }{
  21  L \in \py \implies
  22    \begin{cases}
  23       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
  24               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
  25       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
  26       \text{otherwise} : & \false
  27    \end{cases}
  28 }\]
  29 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
  30     L \in \pn
  31    \implies
  32     R \nothaspatch \p
  33 }\]
  34 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
  35     X \not\haspatch \p \land
  36     M \haspatch \p \land
  37     Y \haspatch \p
  38   \implies
  39     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
  40 }\]
  41 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
  42     X \not\haspatch \p \land
  43     M \nothaspatch \p \land
  44     Y \haspatch \p
  45    \implies \left[
  46     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
  47    \right]
  48 }\]
  49 \[ \eqn{ Suitable Tip }{
  50     \bigexists_T
  51       \pendsof{J}{\py} = \{ T \}
  52      \land
  53       \forall_{E \in \pendsof{K}{\py}} T \ge E
  54     , \text{where} \{J,K\} = \{L,R\}
  55 }\]
  56 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
  57     \patchof{L} = \bot \implies \patchof{R} = \bot
  58 }\]
  59
  60 \subsection{Non-Topbloke merges}
  61
  62 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
  63 (Foreign Merges, above).
  64 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
  65 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
  66 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
  67
  68 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
  69 By Foreign Contents of $L$, $\patchof{M} = \bot$ as well.
  70 So by Foreign Contents for any $A \in \{L,M,R\}$,
  71 $\forall_{\p, D \in \py} D \not\le A$
  72 so $\pendsof{A}{\py} = \{ \}$ and the RHS of both Merge Ends
  73 conditions are satisifed.
  74
  75 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
  76 is therefore consistent with our model.
  77
  78 \subsection{No Replay}
  79
  80 By definition of $\merge$,
  81 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
  82 So, by Ingredients,
  83 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
  84
  85 \subsection{Unique Base}
  86
  87 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
  88 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
  89 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
  90
  91 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
  92 But $C \in \py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
  93 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
  94
  95 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
  96 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
  97
  98 \subsubsection{For $R \in \py$:}
  99
 100 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 101 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 102
 103 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 104 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 105 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 106 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 107 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 108
 109 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 110
 111 By Tip Merge condition and since $M \le R$,
 112 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 113 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 114 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 115 That is, $\baseof{C} = R$.
 116
 117 $\qed$
 118
 119 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 120
 121 $$
 122 \begin{cases}
 123   L \nothaspatch \p \land R \nothaspatch \p : & C \nothaspatch \p  \\
 124   L \haspatch    \p \land R \haspatch    \p : & C \haspatch    \p  \\
 125   \text{otherwise} \land M \haspatch    \p  : & C \nothaspatch \p  \\
 126   \text{otherwise} \land M \nothaspatch \p  : & C \haspatch    \p
 127 \end{cases}
 128 $$
 129 \proofstarts
 130 ~ Consider $D \in \py$.
 131
 132 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 133 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 134 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Own Contents for $L$).
 135 So $D \neq C$.
 136 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 137 OK.
 138
 139 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 140 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 141 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 142
 143 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \zhaspatch \p$.
 144
 145 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 146  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 147 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 148
 149 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 150 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 151 so $D \le C$.  OK for $C \zhaspatch \p$.
 152
 153 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 154 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 155 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 156 OK for $C \zhaspatch \p$.
 157
 158 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 159 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 160 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 161 OK for $C \zhaspatch \p$.
 162
 163 So, in all cases, $C \zhaspatch \p$.
 164 And by $L \haspatch \p$, $\exists_{F \in \py} F \le L$
 165 and this $F \le C$ so indeed $C \haspatch \p$.
 166
 167 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 168
 169 One of the Merge Ends conditions applies.
 170 Recall that we are considering $D \in \py$.
 171 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 172 We will show for each of
 173 various cases that
 174 if $M \haspatch \p$, $D \not\isin C$,
 175 whereas if $M \nothaspatch \p$, $D \isin C \equiv D \le C$.
 176 And by $Y \haspatch \p$, $\exists_{F \in \py} F \le Y$ and this
 177 $F \le C$ so this suffices.
 178
 179 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$.
 180 By Tip Own Contents, $L \haspatch \p$ so $L \neq X$,
 181 therefore we must have $L=Y$, $R=X$.
 182 Conversely $R \not\in \py$
 183 so by Tip Merge $M = \baseof{L}$.  Thus $M \in \pn$ so
 184 by Base Acyclic $M \nothaspatch \p$.  By $\merge$, $D \isin C$,
 185 and $D \le C$.  OK.
 186
 187 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \isin Y$:
 188 $D \le Y$ so $D \le C$.
 189 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 190
 191 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \not\isin Y$:
 192 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 193 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 194 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 195 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 196
 197 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \isin Y$:
 198 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 199 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 200 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 201
 202 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \not\isin Y$:
 203 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 204
 205 $\qed$
 206
 207 \subsection{Base Acyclic}
 208
 209 This applies when $C \in \pn$.
 210 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 211
 212 Consider some $D \in \py$.
 213
 214 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 215 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 216
 217 $\qed$
 218
 219 \subsection{Tip Contents}
 220
 221 We need worry only about $C \in \py$.
 222 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 223 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 224 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 225
 226 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 227 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 228 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 229 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 230 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 231
 232 We will consider an arbitrary commit $D$
 233 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 234
 235 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 236 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 237 \le C$.  OK.
 238
 239 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 240
 241 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 242 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, so by Tip Merge condition,
 243 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by $\merge$, $D \isin
 244 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 245 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 246
 247 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 248
 249 $D \neq C$.
 250
 251 By Tip Contents
 252 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 253 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 254
 255 Apply Tip Merge condition.
 256 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 257 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 258 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 259 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 260
 261 So $D \isin M \equiv D \isin L$ so by $\merge$,
 262 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 263 $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 264 Therefore $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 265
 266 $\qed$
 267
 268 \subsection{Unique Tips}
 269
 270 For $L \in \py$, trivially $\pendsof{C}{\py} = C$ so $T = C$ is
 271 suitable.
 272
 273 For $L \not\in \py$, $\pancsof{C}{\py} = \pancsof{L}{\py} \cup
 274 \pancsof{R}{\py}$.  So $T$ from Suitable Tip is a suitable $T$ for
 275 Unique Tips.
 276
 277 $\qed$
 278
 279 \subsection{Foreign Inclusion}
 280
 281 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 282 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 283 $D \isin L \equiv D \le L$;
 284 $D \isin M \equiv D \le M$;
 285 $D \isin R \equiv D \le R$.
 286
 287 \subsubsection{For $D = C$:}
 288
 289 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 290
 291 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 292
 293 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 294 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 295
 296 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 297
 298 By $\merge$, $D \isin C$.
 299 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 300 OK.
 301
 302 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 303
 304 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 305 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 306 OK
 307
 308 $\qed$
 309
 310 \subsection{Foreign Contents}
 311
 312 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 313 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 314 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$