article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \errorcontextlines=50
   3 \let\numberwithin=\notdef
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{mathabx}
   6 \usepackage{txfonts}
   7 \usepackage{amsfonts}
   8 \usepackage{mdwlist}
   9 %\usepackage{accents}
  10
  11 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  12 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  13 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
  14 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
  15
  16 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  17 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  18
  19 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  20 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  21 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  22 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  23
  24         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
  25         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
  26           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
  27         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
  28
  29 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
  30 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  31 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  32
  33 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  34 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  35 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  36
  37 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
  38 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
  39 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
  40
  41 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  42 %\newcommand{\hasparents}{{%
  43 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  44 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  45 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  46
  47 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  48 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  49 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
  50 \renewcommand{\land}{\wedge}
  51 \renewcommand{\lor}{\vee}
  52
  53 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  54 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  55
  56 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  57 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  58
  59 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
  60 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
  61 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
  62
  63 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
  64 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
  65
  66 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
  67 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
  68
  69 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
  70 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  71
  72 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  73 \newcommand{\bigforall}{%
  74   \mathop{\mathchoice%
  75     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  76     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  77     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  78     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  79 }
  80
  81 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
  82 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
  83
  84 \newcommand{\qed}{\square}
  85 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
  86 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
  87
  88 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
  89 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
  90
  91 \newcommand{\true}{t}
  92 \newcommand{\false}{f}
  93
  94 \begin{document}
  95
  96 \section{Notation}
  97
  98 \begin{basedescript}{
  99 \desclabelwidth{5em}
 100 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
 101 }
 102 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
 103 The parents of commit $C$ are exactly the set
 104 $\set X$.
 105
 106 \item[ $ C \ge D $ ]
 107 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
 108 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
 109 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
 110
 111 \item[ $ C \has D $ ]
 112 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
 113 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
 114 the user or reversion, rebasing or rewinding in
 115 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
 116 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
 117 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
 118 is not transitive.
 119
 120 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
 121 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
 122 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
 123 where the context requires a set, in which case the statement
 124 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
 125 None of these sets overlap.  Hence:
 126
 127 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
 128 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
 129 A function from commits to patches' sets $\p$.
 130
 131 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 132 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 133 i.e. all the ancestors of $C$
 134 which are in $\set P$.
 135
 136 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 137 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 138   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 139   E \neq A \land E \le A \} $
 140 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 141
 142 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 143 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 144 A partial function from commits to commits.
 145 See Unique Base, below.
 146
 147 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 148 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 149 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 150
 151 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 152 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 153 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 154
 155 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
 156 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
 157 patch.  If a Topbloke
 158 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
 159 the relevant Topbloke branches, we hope that
 160 if the user still cares about the Topbloke patch,
 161 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
 162
 163 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
 164 The contents of a git merge result:
 165
 166 $\displaystyle D \isin C \equiv
 167   \begin{cases}
 168     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
 169     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
 170     \text{otherwise} : & D \not\isin M
 171   \end{cases}
 172 $
 173
 174 \end{basedescript}
 175 \newpage
 176 \section{Invariants}
 177
 178 We maintain these each time we construct a new commit. \\
 179 \[ \eqn{No Replay:}{
 180   C \has D \implies C \ge D
 181 }\]
 182 \[\eqn{Unique Base:}{
 183  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 184 }\]
 185 \[\eqn{Tip Contents:}{
 186   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 187     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 188       (D \in \py \land D \le C) }
 189 }\]
 190 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 191   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 192 }\]
 193 \[\eqn{Coherence:}{
 194   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 195 }\]
 196 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
 197   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
 198 }\]
 199 \[\eqn{Foreign Contents:}{
 200   \bigforall_{C \text{ s.t. } \patchof{C} = \bot}
 201     D \le C \implies \patchof{D} = \bot
 202 }\]
 203
 204 \section{Some lemmas}
 205
 206 \[ \eqn{Alternative (overlapping) formulations defining
 207   $\mergeof{C}{L}{M}{R}$:}{
 208  D \isin C \equiv
 209   \begin{cases}
 210     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
 211     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
 212     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
 213     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
 214     \text{as above with L and R exchanged}
 215   \end{cases}
 216 }\]
 217 \proof{
 218   Truth table xxx
 219
 220   Original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
 221 }
 222
 223 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
 224   \bigforall_{C \in \py}
 225     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
 226       \Bigr]
 227 }\]
 228 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 229
 230 \proof{
 231 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 232 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 233 }
 234 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
 235   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 236   \begin{cases}
 237     D \in \py : & D \le C \\
 238     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 239   \end{cases}
 240 }\]
 241
 242 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
 243   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 244 }\]
 245 Ie, tip commits contain their own patch.
 246
 247 \proof{
 248 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 249 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 250   D \isin C \equiv D \le C $
 251 }
 252
 253 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
 254   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 255   D \le C \equiv
 256     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 257     \lor D = C
 258 }\]
 259 xxx proof tbd
 260
 261 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
 262   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 263   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 264 }\]
 265
 266 \proof{
 267 The implication from right to left is trivial because
 268 $ \pends() \subset \pancs() $.
 269 For the implication from left to right:
 270 by the definition of $\mathcal E$,
 271 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 272 $A \le M$ by the LHS directly,
 273 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 274 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 275 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 276 by the LHS.  And $A \le A''$.
 277 }
 278
 279 \[ \eqn{Calculation Of Ends:}{
 280   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 281     \pendsof{C}{\set P} =
 282       \begin{cases}
 283        C \in \p : & \{ C \}
 284       \\
 285        C \not\in \p : & \displaystyle
 286        \left\{ E \Big|
 287            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
 288                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
 289            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A}
 290                        E \neq B \land E \le B \Bigr]
 291        \right\}
 292       \end{cases}
 293 }\]
 294 xxx proof tbd
 295
 296 \[ \eqn{Totally Foreign Contents:}{
 297   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 298    \left[
 299     \patchof{C} = \bot \land
 300       \bigforall_{A \in \set A} \patchof{A} = \bot
 301    \right]
 302   \implies
 303    \left[
 304     D \le C
 305    \implies
 306     \patchof{D} = \bot
 307    \right]
 308 }\]
 309 \proof{
 310 Consider some $D \le C$.  If $D = C$, $\patchof{D} = \bot$ trivially.
 311 If $D \neq C$ then $D \le A$ where $A \in \set A$.  By Foreign
 312 Contents of $A$, $\patchof{D} = \bot$.
 313 }
 314
 315 \subsection{No Replay for Merge Results}
 316
 317 If we are constructing $C$, with,
 318 \gathbegin
 319   \mergeof{C}{L}{M}{R}
 320 \gathnext
 321   L \le C
 322 \gathnext
 323   R \le C
 324 \end{gather}
 325 No Replay is preserved.  \proofstarts
 326
 327 \subsubsection{For $D=C$:} $D \isin C, D \le C$.  OK.
 328
 329 \subsubsection{For $D \isin L \land D \isin R$:}
 330 $D \isin C$.  And $D \isin L \implies D \le L \implies D \le C$.  OK.
 331
 332 \subsubsection{For $D \neq C \land D \not\isin L \land D \not\isin R$:}
 333 $D \not\isin C$.  OK.
 334
 335 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 336  \land D \not\isin M$:}
 337 $D \isin C$.  Also $D \isin L \lor D \isin R$ so $D \le L \lor D \le
 338 R$ so $D \le C$.  OK.
 339
 340 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 341  \land D \isin M$:}
 342 $D \not\isin C$.  OK.
 343
 344 $\qed$
 345
 346 \section{Commit annotation}
 347
 348 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 349 \gathbegin
 350  \patchof{C}
 351 \gathnext
 352  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
 353 \gathnext
 354  \bigforall_{\pa{Q}}
 355    \text{ either } C \haspatch \pa{Q} \text{ or } C \nothaspatch \pa{Q}
 356 \gathnext
 357  \bigforall_{\pay{Q} \not\ni C} \pendsof{C}{\pay{Q}}
 358 \end{gather}
 359
 360 $\patchof{C}$, for each kind of Topbloke-generated commit, is stated
 361 in the summary in the section for that kind of commit.
 362
 363 Whether $\baseof{C}$ is required, and if so what the value is, is
 364 stated in the proof of Unique Base for each kind of commit.
 365
 366 $C \haspatch \pa{Q}$ or $\nothaspatch \pa{Q}$ is represented as the
 367 set $\{ \pa{Q} | C \haspatch \pa{Q} \}$.  Whether $C \haspatch \pa{Q}$
 368 is in stated
 369 (in terms of $I \haspatch \pa{Q}$ or $I \nothaspatch \pa{Q}$
 370 for the ingredients $I$),
 371 in the proof of Coherence for each kind of commit.
 372
 373 $\pendsof{C}{\pa{Q}^+}$ is computed, for all Topbloke-generated commits,
 374 using the lemma Calculation of Ends, above.
 375 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
 376 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
 377 would have to be updated.  The annotation is not needed in that case
 378 because $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 379
 380 \section{Simple commit}
 381
 382 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
 383 \begin{gather}
 384 \tag*{} C \hasparents \{ A \} \\
 385 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{A} \\
 386 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin A \lor D = C
 387 \end{gather}
 388 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
 389 Topbloke strips the metadata when exporting.
 390
 391 \subsection{No Replay}
 392 Trivial.
 393
 394 \subsection{Unique Base}
 395 If $A, C \in \py$ then by Calculation of Ends for
 396 $C, \py, C \not\in \py$:
 397 $\pendsof{C}{\pn} = \pendsof{A}{\pn}$ so
 398 $\baseof{C} = \baseof{A}$. $\qed$
 399
 400 \subsection{Tip Contents}
 401 We need to consider only $A, C \in \py$.  From Tip Contents for $A$:
 402 \[ D \isin A \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A ) \]
 403 Substitute into the contents of $C$:
 404 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A )
 405     \lor D = C \]
 406 Since $D = C \implies D \in \py$,
 407 and substituting in $\baseof{C}$, this gives:
 408 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 409     (D \in \py \land D \le A) \lor
 410     (D = C \land D \in \py) \]
 411 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 412    [ D \in \py \land ( D \le A \lor D = C ) ] \]
 413 So by Exact Ancestors:
 414 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
 415 ) \]
 416 $\qed$
 417
 418 \subsection{Base Acyclic}
 419
 420 Need to consider only $A, C \in \pn$.
 421
 422 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
 423
 424 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin A$, so by Base Acyclic for
 425 $A$, $D \isin C \implies D \not\in \py$.
 426
 427 $\qed$
 428
 429 \subsection{Coherence and patch inclusion}
 430
 431 Need to consider $D \in \py$
 432
 433 \subsubsection{For $A \haspatch P, D = C$:}
 434
 435 Ancestors of $C$:
 436 $ D \le C $.
 437
 438 Contents of $C$:
 439 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
 440
 441 \subsubsection{For $A \haspatch P, D \neq C$:}
 442 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le A $.
 443
 444 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin A \lor f $
 445 so $ D \isin C \equiv D \isin A $.
 446
 447 So:
 448 \[ A \haspatch P \implies C \haspatch P \]
 449
 450 \subsubsection{For $A \nothaspatch P$:}
 451
 452 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $A \in \py$.
 453 Thus $D \neq C$.
 454
 455 Now by contents of $A$, $D \notin A$, so $D \notin C$.
 456
 457 So:
 458 \[ A \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
 459 $\qed$
 460
 461 \subsection{Foreign inclusion:}
 462
 463 If $D = C$, trivial.  For $D \neq C$:
 464 $D \isin C \equiv D \isin A \equiv D \le A \equiv D \le C$.  $\qed$
 465
 466 \subsection{Foreign Contents:}
 467
 468 Only relevant if $\patchof{C} = \bot$, and in that case Totally
 469 Foreign Contents applies. $\qed$
 470
 471 \section{Create Base}
 472
 473 Given $L$, create a Topbloke base branch initial commit $B$.
 474 \gathbegin
 475  B \hasparents \{ L \}
 476 \gathnext
 477  \patchof{B} = \pan{B}
 478 \gathnext
 479  D \isin B \equiv D \isin L \lor D = B
 480 \end{gather}
 481
 482 \subsection{Conditions}
 483
 484 \[ \eqn{ Ingredients }{
 485  \patchof{L} = \pa{L} \lor \patchof{L} = \bot
 486 }\]
 487 \[ \eqn{ Non-recursion }{
 488  L \not\in \pa{B}
 489 }\]
 490
 491 \subsection{No Replay}
 492
 493 If $\patchof{L} = \pa{L}$, trivial by Base Acyclic for $L$.
 494
 495 If $\patchof{L} = \bot$, consider some $D \isin B$.  $D \neq B$.
 496 Thus $D \isin L$.  So by No Replay of $D$ in $L$, $D \le L$.
 497 Thus $D \le B$.
 498
 499 \subsection{Unique Base}
 500
 501 Not applicable. $\qed$
 502
 503 \subsection{Tip Contents}
 504
 505 Not applicable. $\qed$
 506
 507 \subsection{Base Acyclic}
 508
 509 Consider some $D \isin B$.  If $D = B$, $D \in \pn$, OK.
 510
 511 If $D \neq B$, $D \isin L$.  By No Replay of $D$ in $L$, $D \le L$.
 512 Thus by Foreign Contents of $L$, $\patchof{D} = \bot$.  OK.
 513
 514 $\qed$
 515
 516 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 517
 518 Consider some $D \in \p$.
 519 $B \not\in \py$ so $D \neq B$.  So $D \isin B \equiv D \isin L$.
 520
 521 Thus $L \haspatch \p \implies B \haspatch P$
 522 and $L \nothaspatch \p \implies B \nothaspatch P$.
 523
 524 $\qed$.
 525
 526 \subsection{Foreign Inclusion}
 527
 528 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq B$
 529 so $D \isin B \equiv D \isin L$.
 530
 531 By Foreign Inclusion of $D$ xxx up to here
 532
 533 \section{Create Tip}
 534
 535 xxx tbd
 536
 537 \section{Anticommit}
 538
 539 Given $L$ and $\pr$ as represented by $R^+, R^-$.
 540 Construct $C$ which has $\pr$ removed.
 541 Used for removing a branch dependency.
 542 \gathbegin
 543  C \hasparents \{ L \}
 544 \gathnext
 545  \patchof{C} = \patchof{L}
 546 \gathnext
 547  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
 548 \end{gather}
 549
 550 \subsection{Conditions}
 551
 552 \[ \eqn{ Ingredients }{
 553 R^+ \in \pry \land R^- = \baseof{R^+}
 554 }\]
 555 \[ \eqn{ Into Base }{
 556  L \in \pn
 557 }\]
 558 \[ \eqn{ Unique Tip }{
 559  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
 560 }\]
 561 \[ \eqn{ Currently Included }{
 562  L \haspatch \pry
 563 }\]
 564
 565 \subsection{Ordering of ${L, R^+, R^-}$:}
 566
 567 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
 568 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$.
 569 $\qed$
 570
 571 (Note that $R^+ \not\le R^-$, i.e. the merge base
 572 is a descendant, not an ancestor, of the 2nd parent.)
 573
 574 \subsection{No Replay}
 575
 576 No Replay for Merge Results applies.  $\qed$
 577
 578 \subsection{Desired Contents}
 579
 580 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
 581 \proofstarts
 582
 583 \subsubsection{For $D = C$:}
 584
 585 Trivially $D \isin C$.  OK.
 586
 587 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
 588
 589 By No Replay $D \not\isin L$.  Also $D \not\le R^-$ hence
 590 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
 591
 592 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
 593
 594 By Currently Included, $D \isin L$.
 595
 596 By Tip Self Inpatch, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
 597 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.
 598 So $D \isin R^+$.
 599
 600 By Base Acyclic, $D \not\isin R^-$.
 601
 602 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
 603
 604 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
 605
 606 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 607
 608 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
 609
 610 $\qed$
 611
 612 \subsection{Unique Base}
 613
 614 Into Base means that $C \in \pn$, so Unique Base is not
 615 applicable. $\qed$
 616
 617 \subsection{Tip Contents}
 618
 619 Again, not applicable. $\qed$
 620
 621 \subsection{Base Acyclic}
 622
 623 By Base Acyclic for $L$, $D \isin L \implies D \not\in \py$.
 624 And by Into Base $C \not\in \py$.
 625 Now from Desired Contents, above, $D \isin C
 626 \implies D \isin L \lor D = C$, which thus
 627 $\implies D \not\in \py$.  $\qed$.
 628
 629 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 630
 631 Need to consider some $D \in \py$.  By Into Base, $D \neq C$.
 632
 633 \subsubsection{For $\p = \pr$:}
 634 By Desired Contents, above, $D \not\isin C$.
 635 So $C \nothaspatch \pr$.
 636
 637 \subsubsection{For $\p \neq \pr$:}
 638 By Desired Contents, $D \isin C \equiv D \isin L$
 639 (since $D \in \py$ so $D \not\in \pry$).
 640
 641 If $L \nothaspatch \p$, $D \not\isin L$ so $D \not\isin C$.
 642 So $L \nothaspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 643
 644 Whereas if $L \haspatch \p$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 645 so $L \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 646
 647 $\qed$
 648
 649 \subsection{Foreign Inclusion}
 650
 651 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq C$.
 652 So by Desired Contents $D \isin C \equiv D \isin L$.
 653 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 654
 655 And $D \le C \equiv D \le L$.
 656 Thus $D \isin C \equiv D \le C$.
 657
 658 $\qed$
 659
 660 \subsection{Foreign Contents}
 661
 662 Not applicable. $\qed$
 663
 664 \section{Merge}
 665
 666 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
 667 \gathbegin
 668  C \hasparents \{ L, R \}
 669 \gathnext
 670  \patchof{C} = \patchof{L}
 671 \gathnext
 672  \mergeof{C}{L}{M}{R}
 673 \end{gather}
 674 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
 675
 676 \subsection{Conditions}
 677 \[ \eqn{ Ingredients }{
 678  M \le L, M \le R
 679 }\]
 680 \[ \eqn{ Tip Merge }{
 681  L \in \py \implies
 682    \begin{cases}
 683       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
 684               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
 685       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
 686       \text{otherwise} : & \false
 687    \end{cases}
 688 }\]
 689 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
 690     L \in \pn
 691    \implies
 692     R \nothaspatch \p
 693 }\]
 694 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
 695     X \not\haspatch \p \land
 696     Y \haspatch \p \land
 697     M \haspatch \p
 698   \implies
 699     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
 700 }\]
 701 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
 702     X \not\haspatch \p \land
 703     Y \haspatch \p \land
 704     M \nothaspatch \p
 705    \implies \left[
 706     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
 707    \right]
 708 }\]
 709 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
 710     \patchof{L} = \bot \equiv \patchof{R} = \bot
 711 }\]
 712
 713 \subsection{Non-Topbloke merges}
 714
 715 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
 716 (Foreign Merges, above).
 717 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
 718 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
 719 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
 720
 721 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
 722 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
 723 Merge Ends condition applies.
 724
 725 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
 726 is therefore consistent with our scheme.
 727
 728 \subsection{No Replay}
 729
 730 No Replay for Merge Results applies.  $\qed$
 731
 732 \subsection{Unique Base}
 733
 734 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 735 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 736 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 737
 738 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 739 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 740 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 741
 742 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 743 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 744
 745 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 746
 747 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 748 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 749
 750 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 751 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 752 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 753 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 754 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 755
 756 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 757
 758 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
 759 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 760 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 761 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 762 That is, $\baseof{C} = R$.
 763
 764 $\qed$
 765
 766 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 767
 768 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 769 This involves considering $D \in \py$.
 770
 771 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 772 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 773 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch).  So $D \neq C$.
 774 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 775
 776 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 777 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 778 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 779
 780 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 781
 782 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 783  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 784 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 785
 786 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 787 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 788 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 789
 790 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 791 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 792 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 793 OK for $C \haspatch \p$.
 794
 795 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 796 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 797 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 798 OK for $C \haspatch \p$.
 799
 800 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 801
 802 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 803
 804 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 805 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 806
 807 \proofstarts
 808
 809 One of the Merge Ends conditions applies.
 810 Recall that we are considering $D \in \py$.
 811 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 812 We will show for each of
 813 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 814 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 815
 816 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
 817 Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
 818 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
 819 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 820
 821 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
 822 $D \le Y$ so $D \le C$.
 823 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 824
 825 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
 826 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 827 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 828 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 829 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 830
 831 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
 832 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 833 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 834 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 835
 836 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
 837 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 838
 839 $\qed$
 840
 841 \subsection{Base Acyclic}
 842
 843 This applies when $C \in \pn$.
 844 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 845
 846 Consider some $D \in \py$.
 847
 848 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 849 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 850
 851 $\qed$
 852
 853 \subsection{Tip Contents}
 854
 855 We need worry only about $C \in \py$.
 856 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 857 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 858 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 859
 860 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 861 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 862 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 863 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 864 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 865
 866 We will consider an arbitrary commit $D$
 867 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 868
 869 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 870 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 871 \le C$.  OK.
 872
 873 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 874
 875 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 876 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
 877 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
 878 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 879 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 880
 881 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 882
 883 $D \neq C$.
 884
 885 By Tip Contents
 886 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 887 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 888
 889 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 890 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 891 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 892 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 893
 894 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
 895 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 896 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 897
 898 $\qed$
 899
 900 \subsection{Foreign Inclusion}
 901
 902 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 903 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 904 $D \isin L \equiv D \le L$;
 905 $D \isin M \equiv D \le M$;
 906 $D \isin R \equiv D \le R$.
 907
 908 \subsubsection{For $D = C$:}
 909
 910 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 911
 912 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 913
 914 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 915 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 916
 917 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 918
 919 By $\merge$, $D \isin C$.
 920 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 921 OK.
 922
 923 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 924
 925 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 926 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 927 OK
 928
 929 $\qed$
 930
 931 \subsection{Foreign Contents}
 932
 933 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 934 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 935 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$
 936
 937 \end{document}