article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \errorcontextlines=50
   3 \let\numberwithin=\notdef
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{mathabx}
   6 \usepackage{txfonts}
   7 \usepackage{amsfonts}
   8 \usepackage{mdwlist}
   9 %\usepackage{accents}
  10
  11 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  12 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  13 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
  14 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
  15
  16 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  17 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  18
  19 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  20 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  21 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  22 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  23
  24         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
  25         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
  26           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
  27         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
  28
  29 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
  30 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  31 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  32
  33 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  34 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  35 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  36
  37 \newcommand{\pq}{\pa{Q}}
  38 \newcommand{\pqy}{\pay{Q}}
  39 \newcommand{\pqn}{\pan{Q}}
  40
  41 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
  42 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
  43 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
  44
  45 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  46 %\newcommand{\hasparents}{{%
  47 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  48 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  49 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  50
  51 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  52 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  53 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
  54 \renewcommand{\land}{\wedge}
  55 \renewcommand{\lor}{\vee}
  56
  57 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  58 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  59
  60 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  61 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  62
  63 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
  64 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
  65 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
  66
  67 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
  68 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
  69
  70 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
  71 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
  72
  73 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
  74 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  75
  76 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  77 \newcommand{\bigforall}{%
  78   \mathop{\mathchoice%
  79     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  80     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  81     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  82     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  83 }
  84
  85 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
  86 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
  87
  88 \newcommand{\qed}{\square}
  89 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
  90 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
  91
  92 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
  93 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
  94
  95 \newcommand{\true}{t}
  96 \newcommand{\false}{f}
  97
  98 \begin{document}
  99
 100 \section{Notation}
 101
 102 \begin{basedescript}{
 103 \desclabelwidth{5em}
 104 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
 105 }
 106 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
 107 The parents of commit $C$ are exactly the set
 108 $\set X$.
 109
 110 \item[ $ C \ge D $ ]
 111 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
 112 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
 113 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
 114
 115 \item[ $ C \has D $ ]
 116 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
 117 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
 118 the user or reversion, rebasing or rewinding in
 119 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
 120 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
 121 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
 122 is not transitive.
 123
 124 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
 125 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
 126 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
 127 where the context requires a set, in which case the statement
 128 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
 129 None of these sets overlap.  Hence:
 130
 131 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
 132 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
 133 A function from commits to patches' sets $\p$.
 134
 135 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 136 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 137 i.e. all the ancestors of $C$
 138 which are in $\set P$.
 139
 140 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 141 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 142   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 143   E \neq A \land E \le A \} $
 144 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 145
 146 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 147 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 148 A partial function from commits to commits.
 149 See Unique Base, below.
 150
 151 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 152 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 153 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 154
 155 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 156 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 157 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 158
 159 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
 160 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
 161 patch.  If a Topbloke
 162 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
 163 the relevant Topbloke branches, we hope that
 164 if the user still cares about the Topbloke patch,
 165 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
 166
 167 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
 168 The contents of a git merge result:
 169
 170 $\displaystyle D \isin C \equiv
 171   \begin{cases}
 172     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
 173     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
 174     \text{otherwise} : & D \not\isin M
 175   \end{cases}
 176 $
 177
 178 \end{basedescript}
 179 \newpage
 180 \section{Invariants}
 181
 182 We maintain these each time we construct a new commit. \\
 183 \[ \eqn{No Replay:}{
 184   C \has D \implies C \ge D
 185 }\]
 186 \[\eqn{Unique Base:}{
 187  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 188 }\]
 189 \[\eqn{Tip Contents:}{
 190   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 191     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 192       (D \in \py \land D \le C) }
 193 }\]
 194 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 195   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 196 }\]
 197 \[\eqn{Coherence:}{
 198   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 199 }\]
 200 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
 201   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
 202 }\]
 203 \[\eqn{Foreign Contents:}{
 204   \bigforall_{C \text{ s.t. } \patchof{C} = \bot}
 205     D \le C \implies \patchof{D} = \bot
 206 }\]
 207
 208 \section{Some lemmas}
 209
 210 \[ \eqn{Alternative (overlapping) formulations defining
 211   $\mergeof{C}{L}{M}{R}$:}{
 212  D \isin C \equiv
 213   \begin{cases}
 214     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
 215     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
 216     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
 217     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
 218     \text{as above with L and R exchanged}
 219   \end{cases}
 220 }\]
 221 \proof{
 222   Truth table xxx
 223
 224   Original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
 225 }
 226
 227 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
 228   \bigforall_{C \in \py}
 229     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
 230       \Bigr]
 231 }\]
 232 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 233
 234 \proof{
 235 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 236 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 237 }
 238 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
 239   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 240   \begin{cases}
 241     D \in \py : & D \le C \\
 242     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 243   \end{cases}
 244 }\]
 245
 246 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
 247   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 248 }\]
 249 Ie, tip commits contain their own patch.
 250
 251 \proof{
 252 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 253 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 254   D \isin C \equiv D \le C $
 255 }
 256
 257 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
 258   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 259   D \le C \equiv
 260     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 261     \lor D = C
 262 }\]
 263 xxx proof tbd
 264
 265 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
 266   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 267   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 268 }\]
 269
 270 \proof{
 271 The implication from right to left is trivial because
 272 $ \pends() \subset \pancs() $.
 273 For the implication from left to right:
 274 by the definition of $\mathcal E$,
 275 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 276 $A \le M$ by the LHS directly,
 277 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 278 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 279 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 280 by the LHS.  And $A \le A''$.
 281 }
 282
 283 \[ \eqn{Calculation Of Ends:}{
 284   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 285     \pendsof{C}{\set P} =
 286       \begin{cases}
 287        C \in \p : & \{ C \}
 288       \\
 289        C \not\in \p : & \displaystyle
 290        \left\{ E \Big|
 291            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
 292                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
 293            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A}
 294                        E \neq B \land E \le B \Bigr]
 295        \right\}
 296       \end{cases}
 297 }\]
 298 xxx proof tbd
 299
 300 \[ \eqn{Ingredients Prevent Replay:}{
 301   \left[
 302     {C \hasparents \set A} \land
 303    \\
 304     \left(
 305       D \isin C \implies
 306        D = C \lor
 307        \Largeexists_{A \in \set A} D \isin A
 308     \right)
 309   \right] \implies \left[
 310     D \isin C \implies D \le C
 311   \right]
 312 }\]
 313 \proof{
 314   Trivial for $D = C$.  Consider some $D \neq C$, $D \isin C$.
 315   By the preconditions, there is some $A$ s.t. $D \in \set A$
 316   and $D \isin A$.  By No Replay for $A$, $D \le A$.  And
 317   $A \le C$ so $D \le C$.
 318 }
 319
 320 \[ \eqn{Simple Foreign Inclusion:}{
 321   \left[
 322     C \hasparents \{ L \}
 323    \land
 324     \bigforall_{D} D \isin C \equiv D \isin L \lor D = C
 325   \right]
 326  \implies
 327    \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot}
 328      D \isin C \equiv D \le C
 329 }\]
 330 \proof{
 331 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 332 If $D = C$, trivially true.  For $D \neq C$,
 333 by Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 334 And by Exact Ancestors $D \le L \equiv D \le C$.
 335 So $D \isin C \equiv D \le C$.
 336 }
 337
 338 \[ \eqn{Totally Foreign Contents:}{
 339   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 340    \left[
 341     \patchof{C} = \bot \land
 342       \bigforall_{A \in \set A} \patchof{A} = \bot
 343    \right]
 344   \implies
 345    \left[
 346     D \le C
 347    \implies
 348     \patchof{D} = \bot
 349    \right]
 350 }\]
 351 \proof{
 352 Consider some $D \le C$.  If $D = C$, $\patchof{D} = \bot$ trivially.
 353 If $D \neq C$ then $D \le A$ where $A \in \set A$.  By Foreign
 354 Contents of $A$, $\patchof{D} = \bot$.
 355 }
 356
 357 \section{Commit annotation}
 358
 359 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 360 \gathbegin
 361  \patchof{C}
 362 \gathnext
 363  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
 364 \gathnext
 365  \bigforall_{\pq}
 366    \text{ either } C \haspatch \pq \text{ or } C \nothaspatch \pq
 367 \gathnext
 368  \bigforall_{\pqy \not\ni C} \pendsof{C}{\pqy}
 369 \end{gather}
 370
 371 $\patchof{C}$, for each kind of Topbloke-generated commit, is stated
 372 in the summary in the section for that kind of commit.
 373
 374 Whether $\baseof{C}$ is required, and if so what the value is, is
 375 stated in the proof of Unique Base for each kind of commit.
 376
 377 $C \haspatch \pq$ or $\nothaspatch \pq$ is represented as the
 378 set $\{ \pq | C \haspatch \pq \}$.  Whether $C \haspatch \pq$
 379 is in stated
 380 (in terms of $I \haspatch \pq$ or $I \nothaspatch \pq$
 381 for the ingredients $I$),
 382 in the proof of Coherence for each kind of commit.
 383
 384 $\pendsof{C}{\pq^+}$ is computed, for all Topbloke-generated commits,
 385 using the lemma Calculation of Ends, above.
 386 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
 387 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
 388 would have to be updated.  The annotation is not needed in that case
 389 because $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 390
 391 \section{Simple commit}
 392
 393 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
 394 \begin{gather}
 395 \tag*{} C \hasparents \{ A \} \\
 396 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{A} \\
 397 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin A \lor D = C
 398 \end{gather}
 399 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
 400 Topbloke strips the metadata when exporting.
 401
 402 \subsection{No Replay}
 403
 404 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 405
 406 \subsection{Unique Base}
 407 If $A, C \in \py$ then by Calculation of Ends for
 408 $C, \py, C \not\in \py$:
 409 $\pendsof{C}{\pn} = \pendsof{A}{\pn}$ so
 410 $\baseof{C} = \baseof{A}$. $\qed$
 411
 412 \subsection{Tip Contents}
 413 We need to consider only $A, C \in \py$.  From Tip Contents for $A$:
 414 \[ D \isin A \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A ) \]
 415 Substitute into the contents of $C$:
 416 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A )
 417     \lor D = C \]
 418 Since $D = C \implies D \in \py$,
 419 and substituting in $\baseof{C}$, this gives:
 420 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 421     (D \in \py \land D \le A) \lor
 422     (D = C \land D \in \py) \]
 423 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 424    [ D \in \py \land ( D \le A \lor D = C ) ] \]
 425 So by Exact Ancestors:
 426 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
 427 ) \]
 428 $\qed$
 429
 430 \subsection{Base Acyclic}
 431
 432 Need to consider only $A, C \in \pn$.
 433
 434 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
 435
 436 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin A$, so by Base Acyclic for
 437 $A$, $D \isin C \implies D \not\in \py$.
 438
 439 $\qed$
 440
 441 \subsection{Coherence and patch inclusion}
 442
 443 Need to consider $D \in \py$
 444
 445 \subsubsection{For $A \haspatch P, D = C$:}
 446
 447 Ancestors of $C$:
 448 $ D \le C $.
 449
 450 Contents of $C$:
 451 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
 452
 453 \subsubsection{For $A \haspatch P, D \neq C$:}
 454 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le A $.
 455
 456 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin A \lor f $
 457 so $ D \isin C \equiv D \isin A $.
 458
 459 So:
 460 \[ A \haspatch P \implies C \haspatch P \]
 461
 462 \subsubsection{For $A \nothaspatch P$:}
 463
 464 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $A \in \py$.
 465 Thus $D \neq C$.
 466
 467 Now by contents of $A$, $D \notin A$, so $D \notin C$.
 468
 469 So:
 470 \[ A \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
 471 $\qed$
 472
 473 \subsection{Foreign Inclusion:}
 474
 475 Simple Foreign Inclusion applies.  $\qed$
 476
 477 \subsection{Foreign Contents:}
 478
 479 Only relevant if $\patchof{C} = \bot$, and in that case Totally
 480 Foreign Contents applies. $\qed$
 481
 482 \section{Create Base}
 483
 484 Given $L$, create a Topbloke base branch initial commit $B$.
 485 \gathbegin
 486  B \hasparents \{ L \}
 487 \gathnext
 488  \patchof{B} = \pqn
 489 \gathnext
 490  D \isin B \equiv D \isin L \lor D = B
 491 \end{gather}
 492
 493 \subsection{Conditions}
 494
 495 \[ \eqn{ Ingredients }{
 496  \patchof{L} = \pa{L} \lor \patchof{L} = \bot
 497 }\]
 498 \[ \eqn{ Create Acyclic }{
 499  L \not\haspatch \pq
 500 }\]
 501
 502 \subsection{No Replay}
 503
 504 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 505
 506 \subsection{Unique Base}
 507
 508 Not applicable.
 509
 510 \subsection{Tip Contents}
 511
 512 Not applicable.
 513
 514 \subsection{Base Acyclic}
 515
 516 Consider some $D \isin B$.  If $D = B$, $D \in \pqn$.
 517 If $D \neq B$, $D \isin L$, and by Create Acyclic
 518 $D \not\in \pqy$.  $\qed$
 519
 520 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 521
 522 Consider some $D \in \p$.
 523 $B \not\in \py$ so $D \neq B$.  So $D \isin B \equiv D \isin L$
 524 and $D \le B \equiv D \le L$.
 525
 526 Thus $L \haspatch \p \implies B \haspatch P$
 527 and $L \nothaspatch \p \implies B \nothaspatch P$.
 528
 529 $\qed$.
 530
 531 \subsection{Foreign Inclusion}
 532
 533 Simple Foreign Inclusion applies. $\qed$
 534
 535 \subsection{Foreign Contents}
 536
 537 Not applicable.
 538
 539 \section{Create Tip}
 540
 541 Given a Topbloke base $B$, create a tip branch initial commit B.
 542 \gathbegin
 543  C \hasparents \{ B \}
 544 \gathnext
 545  \patchof{B} = \pqy
 546 \gathnext
 547  D \isin C \equiv D \isin B \lor D = C
 548 \end{gather}
 549
 550 \subsection{Conditions}
 551
 552 \[ \eqn{ Ingredients }{
 553  \patchof{B} = \pqn
 554 }\]
 555 \[ \eqn{ No Sneak }{
 556  \pendsof{B}{\pqy} = \{ \}
 557 }\]
 558
 559 \subsection{No Replay}
 560
 561 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 562
 563 \subsection{Unique Base}
 564
 565 Trivially, $\pendsof{C}{\pqn} = \{B\}$ so $\baseof{C} = B$.  $\qed$
 566
 567 \subsection{Tip Contents}
 568
 569 Consider some arbitrary commit $D$.  If $D = C$, trivially satisfied.
 570
 571 If $D \neq C$, $D \isin C \equiv D \isin B$.
 572 By Base Acyclic of $B$, $D \isin B \implies D \not\in \pqy$.
 573 So $D \isin C \equiv D \isin \baseof{B}$.
 574
 575 $\qed$
 576
 577 \subsection{Base Acyclic}
 578
 579 Not applicable.
 580
 581 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 582
 583 $$
 584 \begin{cases}
 585   \p = \pq    \lor B \haspatch \p : & C \haspatch \p \\
 586   \p \neq \pq \land B \nothaspatch \p : & C \nothaspatch \p
 587 \end{cases}
 588 $$
 589
 590 \proofstarts
 591 ~ Consider some $D \in \py$.
 592
 593 \subsubsection{For $\p = \pq$:}
 594
 595 By Base Acyclic, $D \not\isin B$.  So $D \isin C \equiv D = C$.
 596 By No Sneak, $D \le B \equiv D = C$.  Thus $C \haspatch \pq$.
 597
 598 \subsubsection{For $\p \neq \pq$:}
 599
 600 $D \neq C$.  So $D \isin C \equiv D \isin B$,
 601 and $D \le C \equiv D \le B$.
 602
 603 $\qed$
 604
 605 xxx up to here
 606
 607 \section{Anticommit}
 608
 609 Given $L$ and $\pr$ as represented by $R^+, R^-$.
 610 Construct $C$ which has $\pr$ removed.
 611 Used for removing a branch dependency.
 612 \gathbegin
 613  C \hasparents \{ L \}
 614 \gathnext
 615  \patchof{C} = \patchof{L}
 616 \gathnext
 617  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
 618 \end{gather}
 619
 620 \subsection{Conditions}
 621
 622 \[ \eqn{ Ingredients }{
 623 R^+ \in \pry \land R^- = \baseof{R^+}
 624 }\]
 625 \[ \eqn{ Into Base }{
 626  L \in \pn
 627 }\]
 628 \[ \eqn{ Unique Tip }{
 629  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
 630 }\]
 631 \[ \eqn{ Currently Included }{
 632  L \haspatch \pry
 633 }\]
 634
 635 \subsection{Ordering of Ingredients:}
 636
 637 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
 638 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$.
 639 $\qed$
 640
 641 (Note that $R^+ \not\le R^-$, i.e. the merge base
 642 is a descendant, not an ancestor, of the 2nd parent.)
 643
 644 \subsection{No Replay}
 645
 646 By definition of $\merge$,
 647 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R^- \lor D = C$.
 648 So, by Ordering of Ingredients,
 649 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 650
 651 \subsection{Desired Contents}
 652
 653 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
 654 \proofstarts
 655
 656 \subsubsection{For $D = C$:}
 657
 658 Trivially $D \isin C$.  OK.
 659
 660 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
 661
 662 By No Replay $D \not\isin L$.  Also $D \not\le R^-$ hence
 663 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
 664
 665 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
 666
 667 By Currently Included, $D \isin L$.
 668
 669 By Tip Self Inpatch, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
 670 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.
 671 So $D \isin R^+$.
 672
 673 By Base Acyclic, $D \not\isin R^-$.
 674
 675 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
 676
 677 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
 678
 679 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 680
 681 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
 682
 683 $\qed$
 684
 685 \subsection{Unique Base}
 686
 687 Into Base means that $C \in \pn$, so Unique Base is not
 688 applicable. $\qed$
 689
 690 \subsection{Tip Contents}
 691
 692 Again, not applicable. $\qed$
 693
 694 \subsection{Base Acyclic}
 695
 696 By Base Acyclic for $L$, $D \isin L \implies D \not\in \py$.
 697 And by Into Base $C \not\in \py$.
 698 Now from Desired Contents, above, $D \isin C
 699 \implies D \isin L \lor D = C$, which thus
 700 $\implies D \not\in \py$.  $\qed$.
 701
 702 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 703
 704 Need to consider some $D \in \py$.  By Into Base, $D \neq C$.
 705
 706 \subsubsection{For $\p = \pr$:}
 707 By Desired Contents, above, $D \not\isin C$.
 708 So $C \nothaspatch \pr$.
 709
 710 \subsubsection{For $\p \neq \pr$:}
 711 By Desired Contents, $D \isin C \equiv D \isin L$
 712 (since $D \in \py$ so $D \not\in \pry$).
 713
 714 If $L \nothaspatch \p$, $D \not\isin L$ so $D \not\isin C$.
 715 So $L \nothaspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 716
 717 Whereas if $L \haspatch \p$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 718 so $L \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 719
 720 $\qed$
 721
 722 \subsection{Foreign Inclusion}
 723
 724 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq C$.
 725 So by Desired Contents $D \isin C \equiv D \isin L$.
 726 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 727
 728 And $D \le C \equiv D \le L$.
 729 Thus $D \isin C \equiv D \le C$.
 730
 731 $\qed$
 732
 733 \subsection{Foreign Contents}
 734
 735 Not applicable.
 736
 737 \section{Merge}
 738
 739 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
 740 \gathbegin
 741  C \hasparents \{ L, R \}
 742 \gathnext
 743  \patchof{C} = \patchof{L}
 744 \gathnext
 745  \mergeof{C}{L}{M}{R}
 746 \end{gather}
 747 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
 748
 749 \subsection{Conditions}
 750 \[ \eqn{ Ingredients }{
 751  M \le L, M \le R
 752 }\]
 753 \[ \eqn{ Tip Merge }{
 754  L \in \py \implies
 755    \begin{cases}
 756       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
 757               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
 758       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
 759       \text{otherwise} : & \false
 760    \end{cases}
 761 }\]
 762 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
 763     L \in \pn
 764    \implies
 765     R \nothaspatch \p
 766 }\]
 767 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
 768     X \not\haspatch \p \land
 769     Y \haspatch \p \land
 770     M \haspatch \p
 771   \implies
 772     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
 773 }\]
 774 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
 775     X \not\haspatch \p \land
 776     Y \haspatch \p \land
 777     M \nothaspatch \p
 778    \implies \left[
 779     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
 780    \right]
 781 }\]
 782 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
 783     \patchof{L} = \bot \equiv \patchof{R} = \bot
 784 }\]
 785
 786 \subsection{Non-Topbloke merges}
 787
 788 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
 789 (Foreign Merges, above).
 790 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
 791 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
 792 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
 793
 794 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
 795 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
 796 Merge Ends condition applies.
 797
 798 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
 799 is therefore consistent with our scheme.
 800
 801 \subsection{No Replay}
 802
 803 By definition of $\merge$,
 804 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
 805 So, by Ingredients,
 806 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 807
 808 \subsection{Unique Base}
 809
 810 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 811 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 812 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 813
 814 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 815 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 816 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 817
 818 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 819 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 820
 821 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 822
 823 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 824 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 825
 826 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 827 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 828 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 829 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 830 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 831
 832 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 833
 834 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
 835 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 836 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 837 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 838 That is, $\baseof{C} = R$.
 839
 840 $\qed$
 841
 842 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 843
 844 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 845 This involves considering $D \in \py$.
 846
 847 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 848 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 849 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch).  So $D \neq C$.
 850 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 851
 852 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 853 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 854 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 855
 856 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 857
 858 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 859  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 860 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 861
 862 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 863 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 864 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 865
 866 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 867 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 868 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 869 OK for $C \haspatch \p$.
 870
 871 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 872 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 873 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 874 OK for $C \haspatch \p$.
 875
 876 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 877
 878 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 879
 880 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 881 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 882
 883 \proofstarts
 884
 885 One of the Merge Ends conditions applies.
 886 Recall that we are considering $D \in \py$.
 887 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 888 We will show for each of
 889 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 890 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 891
 892 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
 893 Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
 894 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
 895 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 896
 897 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
 898 $D \le Y$ so $D \le C$.
 899 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 900
 901 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
 902 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 903 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 904 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 905 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 906
 907 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
 908 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 909 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 910 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 911
 912 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
 913 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 914
 915 $\qed$
 916
 917 \subsection{Base Acyclic}
 918
 919 This applies when $C \in \pn$.
 920 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 921
 922 Consider some $D \in \py$.
 923
 924 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 925 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 926
 927 $\qed$
 928
 929 \subsection{Tip Contents}
 930
 931 We need worry only about $C \in \py$.
 932 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 933 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 934 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 935
 936 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 937 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 938 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 939 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 940 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 941
 942 We will consider an arbitrary commit $D$
 943 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 944
 945 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 946 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 947 \le C$.  OK.
 948
 949 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 950
 951 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 952 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
 953 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
 954 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 955 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 956
 957 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 958
 959 $D \neq C$.
 960
 961 By Tip Contents
 962 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 963 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 964
 965 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 966 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 967 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 968 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 969
 970 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
 971 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 972 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 973
 974 $\qed$
 975
 976 \subsection{Foreign Inclusion}
 977
 978 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 979 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 980 $D \isin L \equiv D \le L$;
 981 $D \isin M \equiv D \le M$;
 982 $D \isin R \equiv D \le R$.
 983
 984 \subsubsection{For $D = C$:}
 985
 986 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 987
 988 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 989
 990 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 991 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 992
 993 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 994
 995 By $\merge$, $D \isin C$.
 996 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 997 OK.
 998
 999 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
1000
1001 By $\merge$, $D \not\isin C$.
1002 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
1003 OK
1004
1005 $\qed$
1006
1007 \subsection{Foreign Contents}
1008
1009 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
1010 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
1011 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$
1012
1013 \end{document}