article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \errorcontextlines=50
   3 \let\numberwithin=\notdef
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{mathabx}
   6 \usepackage{txfonts}
   7 \usepackage{amsfonts}
   8 \usepackage{mdwlist}
   9 %\usepackage{accents}
  10
  11 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  12 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  13 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
  14 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
  15
  16 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  17 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  18
  19 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  20 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  21 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  22 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  23
  24         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
  25         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
  26           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
  27         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
  28
  29 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
  30 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  31 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  32
  33 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  34 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  35 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  36
  37 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
  38 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
  39 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
  40
  41 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  42 %\newcommand{\hasparents}{{%
  43 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  44 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  45 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  46
  47 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  48 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  49 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
  50 \renewcommand{\land}{\wedge}
  51 \renewcommand{\lor}{\vee}
  52
  53 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  54 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  55
  56 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  57 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  58
  59 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
  60 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
  61 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
  62
  63 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
  64 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
  65
  66 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
  67 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
  68
  69 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
  70 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  71
  72 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  73 \newcommand{\bigforall}{%
  74   \mathop{\mathchoice%
  75     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  76     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  77     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  78     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  79 }
  80
  81 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
  82 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
  83
  84 \newcommand{\qed}{\square}
  85 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
  86 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
  87
  88 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
  89 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
  90
  91 \newcommand{\true}{t}
  92 \newcommand{\false}{f}
  93
  94 \begin{document}
  95
  96 \section{Notation}
  97
  98 \begin{basedescript}{
  99 \desclabelwidth{5em}
 100 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
 101 }
 102 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
 103 The parents of commit $C$ are exactly the set
 104 $\set X$.
 105
 106 \item[ $ C \ge D $ ]
 107 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
 108 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
 109 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
 110
 111 \item[ $ C \has D $ ]
 112 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
 113 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
 114 the user or reversion, rebasing or rewinding in
 115 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
 116 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
 117 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
 118 is not transitive.
 119
 120 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
 121 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
 122 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
 123 where the context requires a set, in which case the statement
 124 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
 125 None of these sets overlap.  Hence:
 126
 127 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
 128 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
 129 A function from commits to patches' sets $\p$.
 130
 131 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 132 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 133 i.e. all the ancestors of $C$
 134 which are in $\set P$.
 135
 136 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 137 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 138   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 139   E \neq A \land E \le A \} $
 140 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 141
 142 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 143 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 144 A partial function from commits to commits.
 145 See Unique Base, below.
 146
 147 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 148 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 149 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 150
 151 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 152 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 153 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 154
 155 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
 156 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
 157 patch.  If a Topbloke
 158 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
 159 the relevant Topbloke branches, we hope that
 160 if the user still cares about the Topbloke patch,
 161 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
 162
 163 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
 164 The contents of a git merge result:
 165
 166 $\displaystyle D \isin C \equiv
 167   \begin{cases}
 168     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
 169     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
 170     \text{otherwise} : & D \not\isin M
 171   \end{cases}
 172 $
 173
 174 Some (overlapping) alternative formulations:
 175
 176 $\displaystyle D \isin C \equiv
 177   \begin{cases}
 178     D \isin L \equiv D \isin R     : & D = C \lor D \isin L \\
 179     D \isin L \equiv D \isin R     : & D = C \lor D \isin R \\
 180     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
 181     D \isin M \equiv D \isin L     : & D = C \lor D \isin R \\
 182     D \isin M \equiv D \isin R     : & D = C \lor D \isin L \\
 183   \end{cases}
 184 $
 185
 186 \end{basedescript}
 187 \newpage
 188 \section{Invariants}
 189
 190 We maintain these each time we construct a new commit. \\
 191 \[ \eqn{No Replay:}{
 192   C \has D \implies C \ge D
 193 }\]
 194 \[\eqn{Unique Base:}{
 195  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 196 }\]
 197 \[\eqn{Tip Contents:}{
 198   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 199     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 200       (D \in \py \land D \le C) }
 201 }\]
 202 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 203   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 204 }\]
 205 \[\eqn{Coherence:}{
 206   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 207 }\]
 208 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
 209   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
 210 }\]
 211
 212 \section{Some lemmas}
 213
 214 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
 215   \bigforall_{C \in \py}
 216     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
 217       \Bigr]
 218 }\]
 219 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 220
 221 \proof{
 222 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 223 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 224 }
 225 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
 226   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 227   \begin{cases}
 228     D \in \py : & D \le C \\
 229     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 230   \end{cases}
 231 }\]
 232
 233 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
 234   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 235 }\]
 236 Ie, tip commits contain their own patch.
 237
 238 \proof{
 239 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 240 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 241   D \isin C \equiv D \le C $
 242 }
 243
 244 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
 245   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 246   D \le C \equiv
 247     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 248     \lor D = C
 249 }\]
 250
 251 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
 252   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 253   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 254 }\]
 255
 256 \proof{
 257 The implication from right to left is trivial because
 258 $ \pends() \subset \pancs() $.
 259 For the implication from left to right:
 260 by the definition of $\mathcal E$,
 261 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 262 $A \le M$ by the LHS directly,
 263 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 264 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 265 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 266 by the LHS.  And $A \le A''$.
 267 }
 268 \[ \eqn{Calculation Of Ends:}{
 269   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 270     \pendsof{C}{\set P} =
 271        \left\{ E \Big|
 272            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
 273                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
 274            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A}
 275                        E \neq B \land E \le B \Bigr]
 276        \right\}
 277 }\]
 278 XXX proof TBD.
 279
 280 \subsection{No Replay for Merge Results}
 281
 282 If we are constructing $C$, with,
 283 \gathbegin
 284   \mergeof{C}{L}{M}{R}
 285 \gathnext
 286   L \le C
 287 \gathnext
 288   R \le C
 289 \end{gather}
 290 No Replay is preserved.  \proofstarts
 291
 292 \subsubsection{For $D=C$:} $D \isin C, D \le C$.  OK.
 293
 294 \subsubsection{For $D \isin L \land D \isin R$:}
 295 $D \isin C$.  And $D \isin L \implies D \le L \implies D \le C$.  OK.
 296
 297 \subsubsection{For $D \neq C \land D \not\isin L \land D \not\isin R$:}
 298 $D \not\isin C$.  OK.
 299
 300 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 301  \land D \not\isin M$:}
 302 $D \isin C$.  Also $D \isin L \lor D \isin R$ so $D \le L \lor D \le
 303 R$ so $D \le C$.  OK.
 304
 305 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 306  \land D \isin M$:}
 307 $D \not\isin C$.  OK.
 308
 309 $\qed$
 310
 311 \section{Commit annotation}
 312
 313 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 314 \gathbegin
 315  \patchof{C}
 316 \gathnext
 317  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
 318 \gathnext
 319  \bigforall_{\pa{Q}}
 320    \text{ either } C \haspatch \pa{Q} \text{ or } C \nothaspatch \pa{Q}
 321 \gathnext
 322  \bigforall_{\pay{Q} \not\ni C} \pendsof{C}{\pay{Q}}
 323 \end{gather}
 324
 325 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
 326 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
 327 would have to be updated.  The annotation is not needed because
 328 $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 329
 330 \section{Simple commit}
 331
 332 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
 333 \begin{gather}
 334 \tag*{} C \hasparents \{ A \} \\
 335 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{A} \\
 336 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin A \lor D = C
 337 \end{gather}
 338 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
 339 Topbloke strips the metadata when exporting.
 340
 341 \subsection{No Replay}
 342 Trivial.
 343
 344 \subsection{Unique Base}
 345 If $A, C \in \py$ then $\baseof{C} = \baseof{A}$. $\qed$
 346
 347 \subsection{Tip Contents}
 348 We need to consider only $A, C \in \py$.  From Tip Contents for $A$:
 349 \[ D \isin A \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A ) \]
 350 Substitute into the contents of $C$:
 351 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A )
 352     \lor D = C \]
 353 Since $D = C \implies D \in \py$,
 354 and substituting in $\baseof{C}$, this gives:
 355 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 356     (D \in \py \land D \le A) \lor
 357     (D = C \land D \in \py) \]
 358 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 359    [ D \in \py \land ( D \le A \lor D = C ) ] \]
 360 So by Exact Ancestors:
 361 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
 362 ) \]
 363 $\qed$
 364
 365 \subsection{Base Acyclic}
 366
 367 Need to consider only $A, C \in \pn$.
 368
 369 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
 370
 371 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin A$, so by Base Acyclic for
 372 $A$, $D \isin C \implies D \not\in \py$. $\qed$
 373
 374 \subsection{Coherence and patch inclusion}
 375
 376 Need to consider $D \in \py$
 377
 378 \subsubsection{For $A \haspatch P, D = C$:}
 379
 380 Ancestors of $C$:
 381 $ D \le C $.
 382
 383 Contents of $C$:
 384 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
 385
 386 \subsubsection{For $A \haspatch P, D \neq C$:}
 387 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le A $.
 388
 389 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin A \lor f $
 390 so $ D \isin C \equiv D \isin A $.
 391
 392 So:
 393 \[ A \haspatch P \implies C \haspatch P \]
 394
 395 \subsubsection{For $A \nothaspatch P$:}
 396
 397 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $A \in \py$.
 398 Thus $D \neq C$.
 399
 400 Now by contents of $A$, $D \notin A$, so $D \notin C$.
 401
 402 So:
 403 \[ A \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
 404 $\qed$
 405
 406 \subsection{Foreign inclusion:}
 407
 408 If $D = C$, trivial.  For $D \neq C$:
 409 $D \isin C \equiv D \isin A \equiv D \le A \equiv D \le C$.  $\qed$
 410
 411 \section{Anticommit}
 412
 413 Given $L, R^+, R^-$ where
 414 $R^+ \in \pry, R^- = \baseof{R^+}$.
 415 Construct $C$ which has $\pr$ removed.
 416 Used for removing a branch dependency.
 417 \gathbegin
 418  C \hasparents \{ L \}
 419 \gathnext
 420  \patchof{C} = \patchof{L}
 421 \gathnext
 422  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
 423 \end{gather}
 424
 425 \subsection{Conditions}
 426
 427 \[ \eqn{ Unique Tip }{
 428  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
 429 }\]
 430 \[ \eqn{ Currently Included }{
 431  L \haspatch \pry
 432 }\]
 433 \[ \eqn{ Not Self }{
 434  L \not\in \{ R^+ \}
 435 }\]
 436
 437 \subsection{No Replay}
 438
 439 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
 440 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$ and No Replay for
 441 Merge Results applies. $\qed$
 442
 443 \subsection{Desired Contents}
 444
 445 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
 446 \proofstarts
 447
 448 \subsubsection{For $D = C$:}
 449
 450 Trivially $D \isin C$.  OK.
 451
 452 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
 453
 454 By No Replay $D \not\isin L$.  Also $D \not\le R^-$ hence
 455 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
 456
 457 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
 458
 459 By Currently Included, $D \isin L$.
 460
 461 By Tip Self Inpatch, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
 462 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.
 463 So $D \isin R^+$.
 464
 465 By Base Acyclic, $D \not\isin R^-$.
 466
 467 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
 468
 469 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
 470
 471 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 472
 473 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
 474
 475 $\qed$
 476
 477 \subsection{Unique Base}
 478
 479 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$.
 480
 481 xxx tbd
 482
 483 xxx need to finish anticommit
 484
 485 \section{Merge}
 486
 487 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$ ($M < L, M < R$):
 488 \gathbegin
 489  C \hasparents \{ L, R \}
 490 \gathnext
 491  \patchof{C} = \patchof{L}
 492 \gathnext
 493  \mergeof{C}{L}{M}{R}
 494 \end{gather}
 495 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
 496
 497 \subsection{Conditions}
 498
 499 \[ \eqn{ Tip Merge }{
 500  L \in \py \implies
 501    \begin{cases}
 502       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
 503               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
 504       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
 505       \text{otherwise} : & \false
 506    \end{cases}
 507 }\]
 508 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
 509     L \in \pn
 510    \implies
 511     R \nothaspatch \p
 512 }\]
 513 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
 514     X \not\haspatch \p \land
 515     Y \haspatch \p \land
 516     M \haspatch \p
 517   \implies
 518     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
 519 }\]
 520 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
 521     X \not\haspatch \p \land
 522     Y \haspatch \p \land
 523     M \nothaspatch \p
 524    \implies \left[
 525     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
 526    \right]
 527 }\]
 528
 529 \subsection{No Replay}
 530
 531 See No Replay for Merge Results.
 532
 533 \subsection{Unique Base}
 534
 535 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 536 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 537 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 538
 539 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 540 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 541 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 542
 543 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 544 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 545
 546 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 547
 548 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 549 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 550
 551 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 552 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 553 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 554 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 555 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 556
 557 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 558
 559 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
 560 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 561 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 562 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 563 That is, $\baseof{C} = R$.
 564
 565 $\qed$
 566
 567 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 568
 569 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 570 This involves considering $D \in \py$.
 571
 572 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 573 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 574 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch).  So $D \neq C$.
 575 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 576
 577 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 578 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 579 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 580
 581 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 582
 583 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 584  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 585 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 586
 587 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 588 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 589 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 590
 591 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 592 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 593 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 594 OK for $C \haspatch \p$.
 595
 596 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 597 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 598 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 599 OK for $C \haspatch \p$.
 600
 601 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 602
 603 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 604
 605 $C \haspatch \p \equiv M \nothaspatch \p$.
 606
 607 \proofstarts
 608
 609 One of the Merge Ends conditions applies.
 610 Recall that we are considering $D \in \py$.
 611 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 612 We will show for each of
 613 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 614 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 615
 616 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
 617 Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
 618 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
 619 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 620
 621 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
 622 $D \le Y$ so $D \le C$.
 623 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 624
 625 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
 626 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 627 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 628 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 629 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 630
 631 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
 632 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 633 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 634 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 635
 636 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
 637 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 638
 639 $\qed$
 640
 641 \subsection{Base Acyclic}
 642
 643 This applies when $C \in \pn$.
 644 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 645
 646 Consider some $D \in \py$.
 647
 648 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 649 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.  $\qed$
 650
 651 \subsection{Tip Contents}
 652
 653 We need worry only about $C \in \py$.
 654 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 655 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 656 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 657
 658 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 659 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 660 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 661 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 662 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 663
 664 We will consider an arbitrary commit $D$
 665 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 666
 667 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 668 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 669 \le C$.  OK.
 670
 671 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 672
 673 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 674 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
 675 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
 676 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 677 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 678
 679 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 680
 681 $D \neq C$.
 682
 683 By Tip Contents
 684 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 685 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 686
 687 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 688 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 689 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 690 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 691
 692 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
 693 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 694 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 695
 696 $\qed$
 697
 698 xxx up to here, need to prove other things about merges
 699
 700 \end{document}