article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \let\numberwithin=\notdef
   3 \usepackage{amsmath}
   4 \usepackage{mathabx}
   5 \usepackage{txfonts}
   6 \usepackage{amsfonts}
   7 \usepackage{mdwlist}
   8 %\usepackage{accents}
   9
  10 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  11 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  12
  13 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  14 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  15
  16 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  17 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  18 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  19 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  20
  21 \newcommand{\set}[1]{\mathbb #1}
  22 \newcommand{\pa}[1]{\varmathbb #1}
  23 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  24 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  25
  26 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  27 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  28 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  29
  30 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  31 %\newcommand{\hasparents}{{%
  32 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  33 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  34 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  35
  36 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  37 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  38 \renewcommand{\land}{\wedge}
  39 \renewcommand{\lor}{\vee}
  40
  41 \newcommand{\pancs}[2]{{\mathcal A} ( #1 , #2 ) }
  42 \newcommand{\pends}[2]{{\mathcal E} ( #1 , #2 ) }
  43
  44 \newcommand{\patchof}[1]{{\mathcal P} ( #1 ) }
  45 \newcommand{\baseof}[1]{{\mathcal B} ( #1 ) }
  46
  47 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  48 \newcommand{\corrolary}[1]{ #1 \tag*{\mbox{\it Corrolary.}} }
  49
  50 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  51 \newcommand{\bigforall}{%
  52   \mathop{\mathchoice%
  53     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  54     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  55     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  56     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  57 }
  58
  59 \newcommand{\proof}[1]{{\it Proof.} #1 $\square$}
  60
  61 \begin{document}
  62
  63 \section{Notation}
  64
  65 \begin{basedescript}{
  66 \desclabelwidth{5em}
  67 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
  68 }
  69 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
  70 The parents of commit $C$ are exactly the set
  71 $\set X$.
  72
  73 \item[ $ C \ge D $ ]
  74 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
  75 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
  76 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
  77
  78 \item[ $ C \has D $ ]
  79 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
  80 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
  81 the user or in non-Topbloke-controlled branches; these are considered
  82 normal, forward, commits.  For merges and Topbloke-generated
  83 anticommits, the ``change made'' is only to be thought of as any
  84 conflict resolution.  This is not a partial order because it is not
  85 transitive.
  86
  87 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
  88 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
  89 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
  90 where the context requires a set, in which case the statement
  91 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
  92 All these sets are distinct.  Hence:
  93
  94 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
  95 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
  96 A function from commits to sets $\p$.
  97
  98 \item[ $ \pancs{C}{\set P} $ ]
  99 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 100 i.e. all the ancestors of $C$
 101 which are in $\set P$.
 102
 103 \item[ $ \pends{C}{\set P} $ ]
 104 $ \{ E \; | \; E \in \pancs{C}{\set P}
 105   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancs{C}{\set P}}
 106   A \neq E \land E \le A \} $
 107 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancs{C}{\set P}$.
 108
 109 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 110 $ \pends{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 111 A partial function from commits to commits.
 112 See ``unique base'', below.
 113
 114 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 115 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 116 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 117
 118 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 119 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 120 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 121
 122 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$; if
 123 a patch is merged into a non-Topbloke branch and we inherit
 124 it, we hope that git's merge algorithm will DTRT.
 125
 126 \end{basedescript}
 127
 128 \section{Invariants}
 129
 130 \[ \eqn{No Replay:}{
 131   C \has D \implies C \ge D
 132 }\]
 133 \[\eqn{Unique Base:}{
 134  \bigforall_{C \in \py} \pends{C}{\pn} = \{ B \}
 135 }\]
 136 \[\eqn{Tip Contents:}{
 137   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 138     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 139       (D \in \py \land D \le C) }
 140 }\]
 141 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 142   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 143 }\]
 144
 145 \section{Some lemmas}
 146
 147 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
 148   \bigforall_{C \in \py}
 149     \neg \left[ D \isin \baseof{C} \land (D \in \py \land D \le C
 150       \right )]
 151 }\]
 152 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 153
 154 \proof{
 155 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 156 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 157 }
 158 \[ \corrolary{
 159   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 160   \begin{cases}
 161     D \in \py : & D \le C \\
 162     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 163   \end{cases}
 164 }\]
 165
 166 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
 167   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 168 }\]
 169 Ie, tip commits contain their own patch.
 170
 171 \proof{
 172 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 173 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 174   D \isin C \equiv D \le C $
 175 }
 176
 177 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
 178   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 179   D \le C \equiv
 180     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 181     \lor D = C
 182 }\]
 183
 184 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
 185   \left[ \bigforall_{ E \in \pends{C}{\set P} } E \le C \right] \implies
 186   \left[ \bigforall_{ A \in \pancs{C}{\set P} } A \le C \right]
 187 }\]
 188
 189 \proof{
 190 By the definition of $\mathcal E$,
 191 for every such $A$, either $A \in \pends{C}{\set P}$ which implies
 192 $A \le C$, or $\exists_{A' \in \pancs{C}{\set P}} \; A' \neq A \land A \le C $
 193 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 194 commits, this terminates.
 195 }
 196
 197 \section{Test more symbols}
 198
 199 $ C \haspatch \p $
 200
 201 $ C \nothaspatch \p $
 202
 203 $ \p \patchisin C $
 204
 205 $ \p \notpatchisin C $
 206
 207 $ \{ B \} \areparents C $
 208
 209 \end{document}