article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \let\numberwithin=\notdef
   3 \usepackage{amsmath}
   4 \usepackage{mathabx}
   5 \usepackage{txfonts}
   6 \usepackage{amsfonts}
   7 \usepackage{mdwlist}
   8 %\usepackage{accents}
   9
  10 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  11 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  12
  13 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  14 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  15
  16 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  17 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  18 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  19 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  20
  21 \newcommand{\set}[1]{\mathbb #1}
  22 \newcommand{\pa}[1]{\varmathbb #1}
  23 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  24 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  25
  26 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  27 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  28 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  29
  30 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  31 %\newcommand{\hasparents}{{%
  32 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  33 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  34 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  35
  36 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  37 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  38 \renewcommand{\land}{\wedge}
  39 \renewcommand{\lor}{\vee}
  40
  41 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  42 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  43
  44 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  45 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  46
  47 \newcommand{\patchof}[1]{{\mathcal P} ( #1 ) }
  48 \newcommand{\baseof}[1]{{\mathcal B} ( #1 ) }
  49
  50 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  51 \newcommand{\corrolary}[1]{ #1 \tag*{\mbox{\it Corrolary.}} }
  52
  53 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  54 \newcommand{\bigforall}{%
  55   \mathop{\mathchoice%
  56     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  57     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  58     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  59     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  60 }
  61
  62 \newcommand{\proof}[1]{{\it Proof.} #1 $\square$}
  63
  64 \begin{document}
  65
  66 \section{Notation}
  67
  68 \begin{basedescript}{
  69 \desclabelwidth{5em}
  70 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
  71 }
  72 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
  73 The parents of commit $C$ are exactly the set
  74 $\set X$.
  75
  76 \item[ $ C \ge D $ ]
  77 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
  78 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
  79 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
  80
  81 \item[ $ C \has D $ ]
  82 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
  83 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
  84 the user or in non-Topbloke-controlled branches; these are considered
  85 normal, forward, commits.  For merges and Topbloke-generated
  86 anticommits, the ``change made'' is only to be thought of as any
  87 conflict resolution.  This is not a partial order because it is not
  88 transitive.
  89
  90 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
  91 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
  92 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
  93 where the context requires a set, in which case the statement
  94 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
  95 All these sets are distinct.  Hence:
  96
  97 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
  98 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
  99 A function from commits to patches' sets $\p$.
 100
 101 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 102 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 103 i.e. all the ancestors of $C$
 104 which are in $\set P$.
 105
 106 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 107 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 108   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 109   A \neq E \land E \le A \} $
 110 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 111
 112 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 113 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 114 A partial function from commits to commits.
 115 See ``unique base'', below.
 116
 117 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 118 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 119 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 120
 121 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 122 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 123 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 124
 125 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$; if
 126 a patch is merged into a non-Topbloke branch and we inherit
 127 it, we hope that git's merge algorithm will DTRT.
 128
 129 \end{basedescript}
 130
 131 \section{Invariants}
 132
 133 \[ \eqn{No Replay:}{
 134   C \has D \implies C \ge D
 135 }\]
 136 \[\eqn{Unique Base:}{
 137  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 138 }\]
 139 \[\eqn{Tip Contents:}{
 140   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 141     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 142       (D \in \py \land D \le C) }
 143 }\]
 144 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 145   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 146 }\]
 147 \[\eqn{Coherence:}{
 148   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 149 }\]
 150
 151 \section{Some lemmas}
 152
 153 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
 154   \bigforall_{C \in \py}
 155     \neg \left[ D \isin \baseof{C} \land (D \in \py \land D \le C
 156       \right )]
 157 }\]
 158 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 159
 160 \proof{
 161 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 162 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 163 }
 164 \[ \corrolary{
 165   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 166   \begin{cases}
 167     D \in \py : & D \le C \\
 168     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 169   \end{cases}
 170 }\]
 171
 172 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
 173   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 174 }\]
 175 Ie, tip commits contain their own patch.
 176
 177 \proof{
 178 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 179 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 180   D \isin C \equiv D \le C $
 181 }
 182
 183 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
 184   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 185   D \le C \equiv
 186     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 187     \lor D = C
 188 }\]
 189
 190 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
 191   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 192   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 193 }\]
 194
 195 \proof{
 196 The implication from right to left is trivial because
 197 $ \pends() \subset \pancs() $.
 198 For the implication from left to right:
 199 by the definition of $\mathcal E$,
 200 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 201 $A \le C$, or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 202 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 203 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 204 by the LHS.  And $A \le A''$.
 205 }
 206
 207 \section{Commit annotation}
 208
 209 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 210 \begin{gather}
 211 \tag*{} \patchof{C} \\
 212 \tag*{} \baseof{C}, \text{ if } C \in \py \\
 213 \tag*{} \bigforall_{\pa{Q}}
 214         \text{ either } C \haspatch \pa{Q} \text{ or } C \nothaspatch \pa{Q} \\
 215 \tag*{} \bigforall_{\pay{Q} \not\ni C} \pendsof{C}{\pay{Q}}
 216 \end{gather}
 217
 218 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$ doing so would
 219 break making plain commits with git because the recorded $\pends$
 220 would have to be updated.  The annotation is not needed because
 221 $\forall_{\py \ni C} \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 222
 223 \section{Test more symbols}
 224
 225 $ C \haspatch \p $
 226
 227 $ C \nothaspatch \p $
 228
 229 $ \p \patchisin C $
 230
 231 $ \p \notpatchisin C $
 232
 233 $ \{ B \} \areparents C $
 234
 235 \end{document}