article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \errorcontextlines=50
   3 \let\numberwithin=\notdef
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{mathabx}
   6 \usepackage{txfonts}
   7 \usepackage{amsfonts}
   8 \usepackage{mdwlist}
   9 %\usepackage{accents}
  10
  11 \usepackage{fancyhdr}
  12 \pagestyle{fancy}
  13 \lhead[\rightmark]{}
  14
  15 \let\stdsection\section
  16 \renewcommand\section{\newpage\stdsection}
  17
  18 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  19 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  20 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
  21 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
  22
  23 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  24 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  25
  26 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  27 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  28 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  29 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  30
  31         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
  32         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
  33           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
  34         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
  35
  36 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
  37 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  38 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  39
  40 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  41 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  42 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  43
  44 \newcommand{\pq}{\pa{Q}}
  45 \newcommand{\pqy}{\pay{Q}}
  46 \newcommand{\pqn}{\pan{Q}}
  47
  48 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
  49 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
  50 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
  51
  52 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  53 %\newcommand{\hasparents}{{%
  54 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  55 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  56 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  57
  58 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  59 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  60 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
  61 \renewcommand{\land}{\wedge}
  62 \renewcommand{\lor}{\vee}
  63
  64 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  65 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  66
  67 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  68 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  69
  70 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
  71 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
  72 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
  73
  74 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
  75 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
  76
  77 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
  78 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
  79
  80 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
  81 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  82
  83 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  84 \newcommand{\bigforall}{%
  85   \mathop{\mathchoice%
  86     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  87     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  88     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  89     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  90 }
  91
  92 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
  93 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
  94
  95 \newcommand{\qed}{\square}
  96 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
  97 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
  98
  99 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
 100 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
 101
 102 \newcommand{\true}{t}
 103 \newcommand{\false}{f}
 104
 105 \begin{document}
 106
 107 \section{Notation}
 108
 109 \begin{basedescript}{
 110 \desclabelwidth{5em}
 111 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
 112 }
 113 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
 114 The parents of commit $C$ are exactly the set
 115 $\set X$.
 116
 117 \item[ $ C \ge D $ ]
 118 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
 119 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
 120 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
 121
 122 \item[ $ C \has D $ ]
 123 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
 124 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
 125 the user or reversion, rebasing or rewinding in
 126 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
 127 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
 128 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
 129 is not transitive.
 130
 131 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
 132 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
 133 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
 134 where the context requires a set, in which case the statement
 135 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
 136 None of these sets overlap.  Hence:
 137
 138 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
 139 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
 140 A function from commits to patches' sets $\p$.
 141
 142 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 143 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 144 i.e. all the ancestors of $C$
 145 which are in $\set P$.
 146
 147 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 148 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 149   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 150   E \neq A \land E \le A \} $
 151 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 152
 153 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 154 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 155 A partial function from commits to commits.
 156 See Unique Base, below.
 157
 158 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 159 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 160 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 161
 162 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 163 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 164 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 165
 166 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
 167 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
 168 patch.  If a Topbloke
 169 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
 170 the relevant Topbloke branches, we hope that
 171 if the user still cares about the Topbloke patch,
 172 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
 173
 174 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
 175 The contents of a git merge result:
 176
 177 $\displaystyle D \isin C \equiv
 178   \begin{cases}
 179     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
 180     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
 181     \text{otherwise} : & D \not\isin M
 182   \end{cases}
 183 $
 184
 185 \end{basedescript}
 186 \newpage
 187 \section{Invariants}
 188
 189 We maintain these each time we construct a new commit. \\
 190 \[ \eqn{No Replay:}{
 191   C \has D \implies C \ge D
 192 }\]
 193 \[\eqn{Unique Base:}{
 194  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 195 }\]
 196 \[\eqn{Tip Contents:}{
 197   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 198     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 199       (D \in \py \land D \le C) }
 200 }\]
 201 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 202   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 203 }\]
 204 \[\eqn{Coherence:}{
 205   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 206 }\]
 207 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
 208   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
 209 }\]
 210 \[\eqn{Foreign Contents:}{
 211   \bigforall_{C \text{ s.t. } \patchof{C} = \bot}
 212     D \le C \implies \patchof{D} = \bot
 213 }\]
 214
 215 \section{Some lemmas}
 216
 217 \subsection{Alternative (overlapping) formulations of $\mergeof{C}{L}{M}{R}$}
 218 $$
 219  D \isin C \equiv
 220   \begin{cases}
 221     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
 222     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
 223     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
 224     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
 225     \text{as above with L and R exchanged}
 226   \end{cases}
 227 $$
 228 \proof{ ~ Truth table (ordered by original definition): \\
 229   \begin{tabular}{cccc|c|cc}
 230      $D = C$ &
 231           $\isin L$ &
 232                $\isin M$ &
 233                     $\isin R$ & $\isin C$ &
 234                                       $L$ vs. $R$ & $L$ vs. $M$
 235   \\\hline
 236      y &  ? &  ? &  ?      &      y   & ?         & ?            \\
 237      n &  y &  y &  y      &      y   & $\equiv$  & $\equiv$     \\
 238      n &  y &  n &  y      &      y   & $\equiv$  & $\nequiv$    \\
 239      n &  n &  y &  n      &      n   & $\equiv$  & $\nequiv$    \\
 240      n &  n &  n &  n      &      n   & $\equiv$  & $\equiv$     \\
 241      n &  y &  y &  n      &      n   & $\nequiv$ & $\equiv$     \\
 242      n &  n &  y &  y      &      n   & $\nequiv$ & $\nequiv$    \\
 243      n &  y &  n &  n      &      y   & $\nequiv$ & $\nequiv$    \\
 244      n &  n &  n &  y      &      y   & $\nequiv$ & $\equiv$     \\
 245   \end{tabular} \\
 246   And original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
 247 }
 248
 249 \subsection{Exclusive Tip Contents}
 250 $$
 251   \bigforall_{C \in \py}
 252     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
 253       \Bigr]
 254 $$
 255 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 256
 257 \proof{
 258 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 259 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 260 }
 261 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
 262   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 263   \begin{cases}
 264     D \in \py : & D \le C \\
 265     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 266   \end{cases}
 267 }\]
 268
 269 \subsection{Tip Self Inpatch}
 270 $$
 271   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 272 $$
 273 Ie, tip commits contain their own patch.
 274
 275 \proof{
 276 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 277 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 278   D \isin C \equiv D \le C $
 279 }
 280
 281 \subsection{Exact Ancestors}
 282 $$
 283   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 284   D \le C \equiv
 285     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 286     \lor D = C
 287 $$
 288 \proof{ ~ Trivial.}
 289
 290 \subsection{Transitive Ancestors}
 291 $$
 292   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 293   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 294 $$
 295
 296 \proof{
 297 The implication from right to left is trivial because
 298 $ \pends() \subset \pancs() $.
 299 For the implication from left to right:
 300 by the definition of $\mathcal E$,
 301 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 302 $A \le M$ by the LHS directly,
 303 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 304 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 305 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 306 by the LHS.  And $A \le A''$.
 307 }
 308
 309 \subsection{Calculation Of Ends}
 310 $$
 311   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 312     \pendsof{C}{\set P} =
 313       \begin{cases}
 314        C \in \p : & \{ C \}
 315       \\
 316        C \not\in \p : & \displaystyle
 317        \left\{ E \Big|
 318            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
 319                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
 320            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A, F \in \pendsof{B}{\p}}
 321                        E \neq F \land E \le F \Bigr]
 322        \right\}
 323       \end{cases}
 324 $$
 325 \proof{
 326 Trivial for $C \in \set P$.  For $C \not\in \set P$,
 327 $\pancsof{C}{\set P} = \bigcup_{A \in \set A} \pancsof{A}{\set P}$.
 328 So $\pendsof{C}{\set P} \subset \bigcup_{E in \set E} \pendsof{E}{\set P}$.
 329 Consider some $E \in \pendsof{A}{\set P}$.  If $\exists_{B,F}$ as
 330 specified, then either $F$ is going to be in our result and
 331 disqualifies $E$, or there is some other $F'$ (or, eventually,
 332 an $F''$) which disqualifies $F$.
 333 Otherwise, $E$ meets all the conditions for $\pends$.
 334 }
 335
 336 \subsection{Ingredients Prevent Replay}
 337 $$
 338   \left[
 339     {C \hasparents \set A} \land
 340    \\
 341     \left(
 342       D \isin C \implies
 343        D = C \lor
 344        \Largeexists_{A \in \set A} D \isin A
 345     \right)
 346   \right] \implies \left[
 347     D \isin C \implies D \le C
 348   \right]
 349 $$
 350 \proof{
 351   Trivial for $D = C$.  Consider some $D \neq C$, $D \isin C$.
 352   By the preconditions, there is some $A$ s.t. $D \in \set A$
 353   and $D \isin A$.  By No Replay for $A$, $D \le A$.  And
 354   $A \le C$ so $D \le C$.
 355 }
 356
 357 \subsection{Simple Foreign Inclusion}
 358 $$
 359   \left[
 360     C \hasparents \{ L \}
 361    \land
 362     \bigforall_{D} D \isin C \equiv D \isin L \lor D = C
 363   \right]
 364  \implies
 365   \left[
 366    \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot}
 367      D \isin C \equiv D \le C
 368   \right]
 369 $$
 370 \proof{
 371 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 372 If $D = C$, trivially true.  For $D \neq C$,
 373 by Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 374 And by Exact Ancestors $D \le L \equiv D \le C$.
 375 So $D \isin C \equiv D \le C$.
 376 }
 377
 378 \subsection{Totally Foreign Contents}
 379 $$
 380   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 381    \left[
 382     \patchof{C} = \bot \land
 383       \bigforall_{A \in \set A} \patchof{A} = \bot
 384    \right]
 385   \implies
 386    \left[
 387     D \le C
 388    \implies
 389     \patchof{D} = \bot
 390    \right]
 391 $$
 392 \proof{
 393 Consider some $D \le C$.  If $D = C$, $\patchof{D} = \bot$ trivially.
 394 If $D \neq C$ then $D \le A$ where $A \in \set A$.  By Foreign
 395 Contents of $A$, $\patchof{D} = \bot$.
 396 }
 397
 398 \section{Commit annotation}
 399
 400 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 401 \gathbegin
 402  \patchof{C}
 403 \gathnext
 404  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
 405 \gathnext
 406  \bigforall_{\pq}
 407    \text{ either } C \haspatch \pq \text{ or } C \nothaspatch \pq
 408 \gathnext
 409  \bigforall_{\pqy \not\ni C} \pendsof{C}{\pqy}
 410 \end{gather}
 411
 412 $\patchof{C}$, for each kind of Topbloke-generated commit, is stated
 413 in the summary in the section for that kind of commit.
 414
 415 Whether $\baseof{C}$ is required, and if so what the value is, is
 416 stated in the proof of Unique Base for each kind of commit.
 417
 418 $C \haspatch \pq$ or $\nothaspatch \pq$ is represented as the
 419 set $\{ \pq | C \haspatch \pq \}$.  Whether $C \haspatch \pq$
 420 is in stated
 421 (in terms of $I \haspatch \pq$ or $I \nothaspatch \pq$
 422 for the ingredients $I$),
 423 in the proof of Coherence for each kind of commit.
 424
 425 $\pendsof{C}{\pq^+}$ is computed, for all Topbloke-generated commits,
 426 using the lemma Calculation of Ends, above.
 427 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
 428 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
 429 would have to be updated.  The annotation is not needed in that case
 430 because $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 431
 432 \section{Simple commit}
 433
 434 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
 435 \begin{gather}
 436 \tag*{} C \hasparents \{ L \} \\
 437 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{L} \\
 438 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin L \lor D = C
 439 \end{gather}
 440 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
 441 Topbloke strips the metadata when exporting.
 442
 443 \subsection{No Replay}
 444
 445 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 446
 447 \subsection{Unique Base}
 448 If $L, C \in \py$ then by Calculation of Ends for
 449 $C, \py, C \not\in \py$:
 450 $\pendsof{C}{\pn} = \pendsof{L}{\pn}$ so
 451 $\baseof{C} = \baseof{L}$. $\qed$
 452
 453 \subsection{Tip Contents}
 454 We need to consider only $L, C \in \py$.  From Tip Contents for $L$:
 455 \[ D \isin L \equiv D \isin \baseof{L} \lor ( D \in \py \land D \le L ) \]
 456 Substitute into the contents of $C$:
 457 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{L} \lor ( D \in \py \land D \le L )
 458     \lor D = C \]
 459 Since $D = C \implies D \in \py$,
 460 and substituting in $\baseof{C}$, this gives:
 461 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 462     (D \in \py \land D \le L) \lor
 463     (D = C \land D \in \py) \]
 464 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 465    [ D \in \py \land ( D \le L \lor D = C ) ] \]
 466 So by Exact Ancestors:
 467 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
 468 ) \]
 469 $\qed$
 470
 471 \subsection{Base Acyclic}
 472
 473 Need to consider only $L, C \in \pn$.
 474
 475 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
 476
 477 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin L$, so by Base Acyclic for
 478 $L$, $D \isin C \implies D \not\in \py$.
 479
 480 $\qed$
 481
 482 \subsection{Coherence and patch inclusion}
 483
 484 Need to consider $D \in \py$
 485
 486 \subsubsection{For $L \haspatch P, D = C$:}
 487
 488 Ancestors of $C$:
 489 $ D \le C $.
 490
 491 Contents of $C$:
 492 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
 493
 494 \subsubsection{For $L \haspatch P, D \neq C$:}
 495 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le L $.
 496
 497 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin L \lor f $
 498 so $ D \isin C \equiv D \isin L $.
 499
 500 So:
 501 \[ L \haspatch P \implies C \haspatch P \]
 502
 503 \subsubsection{For $L \nothaspatch P$:}
 504
 505 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $L \in \py$.
 506 Thus $D \neq C$.
 507
 508 Now by contents of $L$, $D \notin L$, so $D \notin C$.
 509
 510 So:
 511 \[ L \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
 512 $\qed$
 513
 514 \subsection{Foreign Inclusion:}
 515
 516 Simple Foreign Inclusion applies.  $\qed$
 517
 518 \subsection{Foreign Contents:}
 519
 520 Only relevant if $\patchof{C} = \bot$, and in that case Totally
 521 Foreign Contents applies. $\qed$
 522
 523 \section{Create Base}
 524
 525 Given $L$, create a Topbloke base branch initial commit $B$.
 526 \gathbegin
 527  B \hasparents \{ L \}
 528 \gathnext
 529  \patchof{B} = \pqn
 530 \gathnext
 531  D \isin B \equiv D \isin L \lor D = B
 532 \end{gather}
 533
 534 \subsection{Conditions}
 535
 536 \[ \eqn{ Create Acyclic }{
 537  \pendsof{L}{\pqy} = \{ \}
 538 }\]
 539
 540 \subsection{No Replay}
 541
 542 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 543
 544 \subsection{Unique Base}
 545
 546 Not applicable.
 547
 548 \subsection{Tip Contents}
 549
 550 Not applicable.
 551
 552 \subsection{Base Acyclic}
 553
 554 Consider some $D \isin B$.  If $D = B$, $D \in \pqn$.
 555 If $D \neq B$, $D \isin L$, so by No Replay $D \le L$
 556 and by Create Acyclic
 557 $D \not\in \pqy$.  $\qed$
 558
 559 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 560
 561 Consider some $D \in \p$.
 562 $B \not\in \py$ so $D \neq B$.  So $D \isin B \equiv D \isin L$
 563 and $D \le B \equiv D \le L$.
 564
 565 Thus $L \haspatch \p \implies B \haspatch P$
 566 and $L \nothaspatch \p \implies B \nothaspatch P$.
 567
 568 $\qed$.
 569
 570 \subsection{Foreign Inclusion}
 571
 572 Simple Foreign Inclusion applies. $\qed$
 573
 574 \subsection{Foreign Contents}
 575
 576 Not applicable.
 577
 578 \section{Create Tip}
 579
 580 Given a Topbloke base $B$, create a tip branch initial commit B.
 581 \gathbegin
 582  C \hasparents \{ B \}
 583 \gathnext
 584  \patchof{B} = \pqy
 585 \gathnext
 586  D \isin C \equiv D \isin B \lor D = C
 587 \end{gather}
 588
 589 \subsection{Conditions}
 590
 591 \[ \eqn{ Ingredients }{
 592  \patchof{B} = \pqn
 593 }\]
 594 \[ \eqn{ No Sneak }{
 595  \pendsof{B}{\pqy} = \{ \}
 596 }\]
 597
 598 \subsection{No Replay}
 599
 600 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 601
 602 \subsection{Unique Base}
 603
 604 Trivially, $\pendsof{C}{\pqn} = \{B\}$ so $\baseof{C} = B$.  $\qed$
 605
 606 \subsection{Tip Contents}
 607
 608 Consider some arbitrary commit $D$.  If $D = C$, trivially satisfied.
 609
 610 If $D \neq C$, $D \isin C \equiv D \isin B$.
 611 By Base Acyclic of $B$, $D \isin B \implies D \not\in \pqy$.
 612 So $D \isin C \equiv D \isin \baseof{B}$.
 613
 614 $\qed$
 615
 616 \subsection{Base Acyclic}
 617
 618 Not applicable.
 619
 620 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 621
 622 $$
 623 \begin{cases}
 624   \p = \pq    \lor B \haspatch \p : & C \haspatch \p \\
 625   \p \neq \pq \land B \nothaspatch \p : & C \nothaspatch \p
 626 \end{cases}
 627 $$
 628
 629 \proofstarts
 630 ~ Consider some $D \in \py$.
 631
 632 \subsubsection{For $\p = \pq$:}
 633
 634 By Base Acyclic, $D \not\isin B$.  So $D \isin C \equiv D = C$.
 635 By No Sneak, $D \le B \equiv D = C$.  Thus $C \haspatch \pq$.
 636
 637 \subsubsection{For $\p \neq \pq$:}
 638
 639 $D \neq C$.  So $D \isin C \equiv D \isin B$,
 640 and $D \le C \equiv D \le B$.
 641
 642 $\qed$
 643
 644 \subsection{Foreign Inclusion}
 645
 646 Simple Foreign Inclusion applies.  $\qed$
 647
 648 \subsection{Foreign Contents}
 649
 650 Not applicable.
 651
 652 \section{Anticommit}
 653
 654 Given $L$ and $\pr$ as represented by $R^+, R^-$.
 655 Construct $C$ which has $\pr$ removed.
 656 Used for removing a branch dependency.
 657 \gathbegin
 658  C \hasparents \{ L \}
 659 \gathnext
 660  \patchof{C} = \patchof{L}
 661 \gathnext
 662  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
 663 \end{gather}
 664
 665 \subsection{Conditions}
 666
 667 \[ \eqn{ Ingredients }{
 668 R^+ \in \pry \land R^- = \baseof{R^+}
 669 }\]
 670 \[ \eqn{ Into Base }{
 671  L \in \pn
 672 }\]
 673 \[ \eqn{ Unique Tip }{
 674  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
 675 }\]
 676 \[ \eqn{ Currently Included }{
 677  L \haspatch \pry
 678 }\]
 679
 680 \subsection{Ordering of Ingredients:}
 681
 682 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
 683 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$.
 684 $\qed$
 685
 686 (Note that $R^+ \not\le R^-$, i.e. the merge base
 687 is a descendant, not an ancestor, of the 2nd parent.)
 688
 689 \subsection{No Replay}
 690
 691 By definition of $\merge$,
 692 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R^- \lor D = C$.
 693 So, by Ordering of Ingredients,
 694 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 695
 696 \subsection{Desired Contents}
 697
 698 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
 699 \proofstarts
 700
 701 \subsubsection{For $D = C$:}
 702
 703 Trivially $D \isin C$.  OK.
 704
 705 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
 706
 707 By No Replay $D \not\isin L$.  Also $D \not\le R^-$ hence
 708 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
 709
 710 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
 711
 712 By Currently Included, $D \isin L$.
 713
 714 By Tip Self Inpatch, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
 715 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.
 716 So $D \isin R^+$.
 717
 718 By Base Acyclic, $D \not\isin R^-$.
 719
 720 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
 721
 722 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
 723
 724 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 725
 726 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
 727
 728 $\qed$
 729
 730 \subsection{Unique Base}
 731
 732 Into Base means that $C \in \pn$, so Unique Base is not
 733 applicable. $\qed$
 734
 735 \subsection{Tip Contents}
 736
 737 Again, not applicable. $\qed$
 738
 739 \subsection{Base Acyclic}
 740
 741 By Base Acyclic for $L$, $D \isin L \implies D \not\in \py$.
 742 And by Into Base $C \not\in \py$.
 743 Now from Desired Contents, above, $D \isin C
 744 \implies D \isin L \lor D = C$, which thus
 745 $\implies D \not\in \py$.  $\qed$.
 746
 747 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 748
 749 Need to consider some $D \in \py$.  By Into Base, $D \neq C$.
 750
 751 \subsubsection{For $\p = \pr$:}
 752 By Desired Contents, above, $D \not\isin C$.
 753 So $C \nothaspatch \pr$.
 754
 755 \subsubsection{For $\p \neq \pr$:}
 756 By Desired Contents, $D \isin C \equiv D \isin L$
 757 (since $D \in \py$ so $D \not\in \pry$).
 758
 759 If $L \nothaspatch \p$, $D \not\isin L$ so $D \not\isin C$.
 760 So $L \nothaspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 761
 762 Whereas if $L \haspatch \p$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 763 so $L \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 764
 765 $\qed$
 766
 767 \subsection{Foreign Inclusion}
 768
 769 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq C$.
 770 So by Desired Contents $D \isin C \equiv D \isin L$.
 771 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 772
 773 And $D \le C \equiv D \le L$.
 774 Thus $D \isin C \equiv D \le C$.
 775
 776 $\qed$
 777
 778 \subsection{Foreign Contents}
 779
 780 Not applicable.
 781
 782 \section{Merge}
 783
 784 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
 785 \gathbegin
 786  C \hasparents \{ L, R \}
 787 \gathnext
 788  \patchof{C} = \patchof{L}
 789 \gathnext
 790  \mergeof{C}{L}{M}{R}
 791 \end{gather}
 792 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
 793
 794 \subsection{Conditions}
 795 \[ \eqn{ Ingredients }{
 796  M \le L, M \le R
 797 }\]
 798 \[ \eqn{ Tip Merge }{
 799  L \in \py \implies
 800    \begin{cases}
 801       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
 802               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
 803       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
 804       \text{otherwise} : & \false
 805    \end{cases}
 806 }\]
 807 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
 808     L \in \pn
 809    \implies
 810     R \nothaspatch \p
 811 }\]
 812 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
 813     X \not\haspatch \p \land
 814     Y \haspatch \p \land
 815     M \haspatch \p
 816   \implies
 817     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
 818 }\]
 819 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
 820     X \not\haspatch \p \land
 821     Y \haspatch \p \land
 822     M \nothaspatch \p
 823    \implies \left[
 824     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
 825    \right]
 826 }\]
 827 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
 828     \patchof{L} = \bot \equiv \patchof{R} = \bot
 829 }\]
 830
 831 \subsection{Non-Topbloke merges}
 832
 833 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
 834 (Foreign Merges, above).
 835 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
 836 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
 837 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
 838
 839 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
 840 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
 841 Merge Ends condition applies.
 842
 843 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
 844 is therefore consistent with our scheme.
 845
 846 \subsection{No Replay}
 847
 848 By definition of $\merge$,
 849 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
 850 So, by Ingredients,
 851 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 852
 853 \subsection{Unique Base}
 854
 855 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 856 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 857 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 858
 859 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 860 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 861 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 862
 863 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 864 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 865
 866 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 867
 868 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 869 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 870
 871 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 872 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 873 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 874 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 875 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 876
 877 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 878
 879 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
 880 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 881 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 882 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 883 That is, $\baseof{C} = R$.
 884
 885 $\qed$
 886
 887 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 888
 889 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 890 This involves considering $D \in \py$.
 891
 892 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 893 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 894 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch).  So $D \neq C$.
 895 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 896
 897 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 898 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 899 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 900
 901 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 902
 903 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 904  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 905 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 906
 907 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 908 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 909 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 910
 911 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 912 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 913 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 914 OK for $C \haspatch \p$.
 915
 916 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 917 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 918 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 919 OK for $C \haspatch \p$.
 920
 921 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 922
 923 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 924
 925 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 926 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 927
 928 \proofstarts
 929
 930 One of the Merge Ends conditions applies.
 931 Recall that we are considering $D \in \py$.
 932 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 933 We will show for each of
 934 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 935 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 936
 937 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
 938 Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
 939 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
 940 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 941
 942 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
 943 $D \le Y$ so $D \le C$.
 944 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 945
 946 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
 947 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 948 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 949 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 950 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 951
 952 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
 953 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 954 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 955 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 956
 957 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
 958 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 959
 960 $\qed$
 961
 962 \subsection{Base Acyclic}
 963
 964 This applies when $C \in \pn$.
 965 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 966
 967 Consider some $D \in \py$.
 968
 969 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 970 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 971
 972 $\qed$
 973
 974 \subsection{Tip Contents}
 975
 976 We need worry only about $C \in \py$.
 977 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 978 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 979 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 980
 981 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 982 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 983 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 984 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 985 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 986
 987 We will consider an arbitrary commit $D$
 988 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 989
 990 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 991 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 992 \le C$.  OK.
 993
 994 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 995
 996 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 997 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
 998 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
 999 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
1000 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
1001
1002 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
1003
1004 $D \neq C$.
1005
1006 By Tip Contents
1007 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
1008 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
1009
1010 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
1011 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
1012 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
1013 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
1014
1015 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
1016 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
1017 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
1018
1019 $\qed$
1020
1021 \subsection{Foreign Inclusion}
1022
1023 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
1024 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
1025 $D \isin L \equiv D \le L$;
1026 $D \isin M \equiv D \le M$;
1027 $D \isin R \equiv D \le R$.
1028
1029 \subsubsection{For $D = C$:}
1030
1031 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
1032
1033 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
1034
1035 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
1036 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
1037
1038 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
1039
1040 By $\merge$, $D \isin C$.
1041 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
1042 OK.
1043
1044 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
1045
1046 By $\merge$, $D \not\isin C$.
1047 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
1048 OK
1049
1050 $\qed$
1051
1052 \subsection{Foreign Contents}
1053
1054 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
1055 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
1056 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$
1057
1058 \end{document}