article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \errorcontextlines=50
   3 \let\numberwithin=\notdef
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{mathabx}
   6 \usepackage{txfonts}
   7 \usepackage{amsfonts}
   8 \usepackage{mdwlist}
   9 %\usepackage{accents}
  10
  11 \usepackage{fancyhdr}
  12 \pagestyle{fancy}
  13 \lhead[\rightmark]{}
  14
  15 \let\stdsection\section
  16 \renewcommand\section{\newpage\stdsection}
  17
  18 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  19 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  20 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
  21 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
  22
  23 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  24 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  25
  26 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  27 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  28 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  29 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  30
  31         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
  32         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
  33           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
  34         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
  35
  36 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
  37 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  38 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  39
  40 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  41 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  42 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  43
  44 \newcommand{\pq}{\pa{Q}}
  45 \newcommand{\pqy}{\pay{Q}}
  46 \newcommand{\pqn}{\pan{Q}}
  47
  48 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
  49 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
  50 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
  51
  52 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  53 %\newcommand{\hasparents}{{%
  54 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  55 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  56 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  57
  58 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  59 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  60 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
  61 \renewcommand{\land}{\wedge}
  62 \renewcommand{\lor}{\vee}
  63
  64 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  65 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  66
  67 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  68 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  69
  70 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
  71 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
  72 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
  73
  74 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
  75 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
  76
  77 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
  78 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
  79
  80 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
  81 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  82
  83 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  84 \newcommand{\bigforall}{%
  85   \mathop{\mathchoice%
  86     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  87     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  88     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  89     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  90 }
  91
  92 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
  93 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
  94
  95 \newcommand{\qed}{\square}
  96 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
  97 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
  98
  99 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
 100 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
 101
 102 \newcommand{\true}{t}
 103 \newcommand{\false}{f}
 104
 105 \begin{document}
 106
 107 \section{Notation}
 108
 109 \begin{basedescript}{
 110 \desclabelwidth{5em}
 111 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
 112 }
 113 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
 114 The parents of commit $C$ are exactly the set
 115 $\set X$.
 116
 117 \item[ $ C \ge D $ ]
 118 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
 119 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
 120 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
 121
 122 \item[ $ C \has D $ ]
 123 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
 124 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
 125 the user or reversion, rebasing or rewinding in
 126 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
 127 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
 128 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
 129 is not transitive.
 130
 131 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
 132 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
 133 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
 134 where the context requires a set, in which case the statement
 135 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
 136 All of these sets are disjoint.  Hence:
 137
 138 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
 139 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
 140 A function from commits to patches' sets $\p$.
 141
 142 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 143 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 144 i.e. all the ancestors of $C$
 145 which are in $\set P$.
 146
 147 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 148 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 149   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 150   E \neq A \land E \le A \} $
 151 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 152
 153 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 154 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 155 A partial function from commits to commits.
 156 See Unique Base, below.
 157
 158 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 159 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 160 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 161
 162 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 163 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 164 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 165
 166 Commits on Non-Topbloke branches are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
 167 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
 168 patch.  If a Topbloke
 169 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
 170 the relevant Topbloke branches, we hope that
 171 if the user still cares about the Topbloke patch,
 172 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
 173
 174 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
 175 The contents of a git merge result:
 176
 177 $\displaystyle D \isin C \equiv
 178   \begin{cases}
 179     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
 180     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
 181     \text{otherwise} : & D \not\isin M
 182   \end{cases}
 183 $
 184
 185 \end{basedescript}
 186 \newpage
 187 \section{Invariants}
 188
 189 We maintain these each time we construct a new commit. \\
 190 \[ \eqn{No Replay:}{
 191   C \has D \implies C \ge D
 192 }\]
 193 \[\eqn{Unique Base:}{
 194  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 195 }\]
 196 \[\eqn{Tip Contents:}{
 197   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 198     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 199       (D \in \py \land D \le C) }
 200 }\]
 201 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 202   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 203 }\]
 204 \[\eqn{Coherence:}{
 205   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 206 }\]
 207 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
 208   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
 209 }\]
 210 \[\eqn{Foreign Contents:}{
 211   \bigforall_{C \text{ s.t. } \patchof{C} = \bot}
 212     D \le C \implies \patchof{D} = \bot
 213 }\]
 214
 215 \section{Some lemmas}
 216
 217 \subsection{Alternative (overlapping) formulations of $\mergeof{C}{L}{M}{R}$}
 218 $$
 219  D \isin C \equiv
 220   \begin{cases}
 221     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
 222     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
 223     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
 224     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
 225     \text{as above with L and R exchanged}
 226   \end{cases}
 227 $$
 228 \proof{ ~ Truth table (ordered by original definition): \\
 229   \begin{tabular}{cccc|c|cc}
 230      $D = C$ &
 231           $\isin L$ &
 232                $\isin M$ &
 233                     $\isin R$ & $\isin C$ &
 234                                       $L$ vs. $R$ & $L$ vs. $M$
 235   \\\hline
 236      y &  ? &  ? &  ?      &      y   & ?         & ?            \\
 237      n &  y &  y &  y      &      y   & $\equiv$  & $\equiv$     \\
 238      n &  y &  n &  y      &      y   & $\equiv$  & $\nequiv$    \\
 239      n &  n &  y &  n      &      n   & $\equiv$  & $\nequiv$    \\
 240      n &  n &  n &  n      &      n   & $\equiv$  & $\equiv$     \\
 241      n &  y &  y &  n      &      n   & $\nequiv$ & $\equiv$     \\
 242      n &  n &  y &  y      &      n   & $\nequiv$ & $\nequiv$    \\
 243      n &  y &  n &  n      &      y   & $\nequiv$ & $\nequiv$    \\
 244      n &  n &  n &  y      &      y   & $\nequiv$ & $\equiv$     \\
 245   \end{tabular} \\
 246   And original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
 247 }
 248
 249 \subsection{Exclusive Tip Contents}
 250 Given Base Acyclic for $C$,
 251 $$
 252   \bigforall_{C \in \py}
 253     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
 254       \Bigr]
 255 $$
 256 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 257
 258 \proof{
 259 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 260 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 261 }
 262 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
 263   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 264   \begin{cases}
 265     D \in \py : & D \le C \\
 266     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 267   \end{cases}
 268 }\]
 269
 270 \subsection{Tip Self Inpatch}
 271 Given Exclusive Tip Contents and Base Acyclic for $C$,
 272 $$
 273   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 274 $$
 275 Ie, tip commits contain their own patch.
 276
 277 \proof{
 278 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 279 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 280   D \isin C \equiv D \le C $
 281 }
 282
 283 \subsection{Exact Ancestors}
 284 $$
 285   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 286   \left[
 287   D \le C \equiv
 288     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 289     \lor D = C
 290   \right]
 291 $$
 292 \proof{ ~ Trivial.}
 293
 294 \subsection{Transitive Ancestors}
 295 $$
 296   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 297   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 298 $$
 299
 300 \proof{
 301 The implication from right to left is trivial because
 302 $ \pends() \subset \pancs() $.
 303 For the implication from left to right:
 304 by the definition of $\mathcal E$,
 305 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 306 $A \le M$ by the LHS directly,
 307 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 308 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 309 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 310 by the LHS.  And $A \le A''$.
 311 }
 312
 313 \subsection{Calculation of Ends}
 314 $$
 315   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 316     \pendsof{C}{\set P} =
 317       \begin{cases}
 318        C \in \p : & \{ C \}
 319       \\
 320        C \not\in \p : & \displaystyle
 321        \left\{ E \Big|
 322            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
 323                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
 324            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A, F \in \pendsof{B}{\p}}
 325                        E \neq F \land E \le F \Bigr]
 326        \right\}
 327       \end{cases}
 328 $$
 329 \proof{
 330 Trivial for $C \in \set P$.  For $C \not\in \set P$,
 331 $\pancsof{C}{\set P} = \bigcup_{A \in \set A} \pancsof{A}{\set P}$.
 332 So $\pendsof{C}{\set P} \subset \bigcup_{E in \set E} \pendsof{E}{\set P}$.
 333 Consider some $E \in \pendsof{A}{\set P}$.  If $\exists_{B,F}$ as
 334 specified, then either $F$ is going to be in our result and
 335 disqualifies $E$, or there is some other $F'$ (or, eventually,
 336 an $F''$) which disqualifies $F$.
 337 Otherwise, $E$ meets all the conditions for $\pends$.
 338 }
 339
 340 \subsection{Ingredients Prevent Replay}
 341 $$
 342   \left[
 343     {C \hasparents \set A} \land
 344    \\
 345     \bigforall_{D}
 346     \left(
 347        D \isin C \implies
 348        D = C \lor
 349        \Largeexists_{A \in \set A} D \isin A
 350     \right)
 351   \right] \implies \left[ \bigforall_{D}
 352     D \isin C \implies D \le C
 353   \right]
 354 $$
 355 \proof{
 356   Trivial for $D = C$.  Consider some $D \neq C$, $D \isin C$.
 357   By the preconditions, there is some $A$ s.t. $D \in \set A$
 358   and $D \isin A$.  By No Replay for $A$, $D \le A$.  And
 359   $A \le C$ so $D \le C$.
 360 }
 361
 362 \subsection{Simple Foreign Inclusion}
 363 $$
 364   \left[
 365     C \hasparents \{ L \}
 366    \land
 367     \bigforall_{D} D \isin C \equiv D \isin L \lor D = C
 368   \right]
 369  \implies
 370   \left[
 371    \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot}
 372      D \isin C \equiv D \le C
 373   \right]
 374 $$
 375 \proof{
 376 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 377 If $D = C$, trivially true.  For $D \neq C$,
 378 by Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 379 And by Exact Ancestors $D \le L \equiv D \le C$.
 380 So $D \isin C \equiv D \le C$.
 381 }
 382
 383 \subsection{Totally Foreign Contents}
 384 $$
 385    \left[
 386     C \hasparents \set A \land
 387     \patchof{C} = \bot \land
 388       \bigforall_{A \in \set A} \patchof{A} = \bot
 389    \right]
 390   \implies
 391    \left[
 392   \bigforall_{D}
 393     D \le C
 394    \implies
 395     \patchof{D} = \bot
 396    \right]
 397 $$
 398 \proof{
 399 Consider some $D \le C$.  If $D = C$, $\patchof{D} = \bot$ trivially.
 400 If $D \neq C$ then $D \le A$ where $A \in \set A$.  By Foreign
 401 Contents of $A$, $\patchof{D} = \bot$.
 402 }
 403
 404 \section{Commit annotation}
 405
 406 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 407 \gathbegin
 408  \patchof{C}
 409 \gathnext
 410  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
 411 \gathnext
 412  \bigforall_{\pq}
 413    \text{ either } C \haspatch \pq \text{ or } C \nothaspatch \pq
 414 \gathnext
 415  \bigforall_{\pqy \not\ni C} \pendsof{C}{\pqy}
 416 \end{gather}
 417
 418 $\patchof{C}$, for each kind of Topbloke-generated commit, is stated
 419 in the summary in the section for that kind of commit.
 420
 421 Whether $\baseof{C}$ is required, and if so what the value is, is
 422 stated in the proof of Unique Base for each kind of commit.
 423
 424 $C \haspatch \pq$ or $\nothaspatch \pq$ is represented as the
 425 set $\{ \pq | C \haspatch \pq \}$.  Whether $C \haspatch \pq$
 426 is in stated
 427 (in terms of $I \haspatch \pq$ or $I \nothaspatch \pq$
 428 for the ingredients $I$)
 429 in the proof of Coherence for each kind of commit.
 430
 431 $\pendsof{C}{\pq^+}$ is computed, for all Topbloke-generated commits,
 432 using the lemma Calculation of Ends, above.
 433 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
 434 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
 435 would have to be updated.  The annotation is not needed in that case
 436 because $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 437
 438 \section{Simple commit}
 439
 440 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
 441 \begin{gather}
 442 \tag*{} C \hasparents \{ L \} \\
 443 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{L} \\
 444 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin L \lor D = C
 445 \end{gather}
 446 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
 447 Topbloke strips the metadata when exporting.
 448
 449 \subsection{No Replay}
 450
 451 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 452
 453 \subsection{Unique Base}
 454 If $L, C \in \py$ then by Calculation of Ends,
 455 $\pendsof{C}{\pn} = \pendsof{L}{\pn}$ so
 456 $\baseof{C} = \baseof{L}$. $\qed$
 457
 458 \subsection{Tip Contents}
 459 We need to consider only $L, C \in \py$.  From Tip Contents for $L$:
 460 \[ D \isin L \equiv D \isin \baseof{L} \lor ( D \in \py \land D \le L ) \]
 461 Substitute into the contents of $C$:
 462 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{L} \lor ( D \in \py \land D \le L )
 463     \lor D = C \]
 464 Since $D = C \implies D \in \py$,
 465 and substituting in $\baseof{C}$, from Unique Base above, this gives:
 466 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 467     (D \in \py \land D \le L) \lor
 468     (D = C \land D \in \py) \]
 469 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 470    [ D \in \py \land ( D \le L \lor D = C ) ] \]
 471 So by Exact Ancestors:
 472 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
 473 ) \]
 474 $\qed$
 475
 476 \subsection{Base Acyclic}
 477
 478 Need to consider only $L, C \in \pn$.
 479
 480 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
 481
 482 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin L$, so by Base Acyclic for
 483 $L$, $D \isin C \implies D \not\in \py$.
 484
 485 $\qed$
 486
 487 \subsection{Coherence and patch inclusion}
 488
 489 Need to consider $D \in \py$
 490
 491 \subsubsection{For $L \haspatch P, D = C$:}
 492
 493 Ancestors of $C$:
 494 $ D \le C $.
 495
 496 Contents of $C$:
 497 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
 498
 499 \subsubsection{For $L \haspatch P, D \neq C$:}
 500 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le L $.
 501
 502 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin L \lor f $
 503 so $ D \isin C \equiv D \isin L $.
 504
 505 So:
 506 \[ L \haspatch P \implies C \haspatch P \]
 507
 508 \subsubsection{For $L \nothaspatch P$:}
 509
 510 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $L \in \py$.
 511 Thus $D \neq C$.
 512
 513 Now by contents of $L$, $D \notin L$, so $D \notin C$.
 514
 515 So:
 516 \[ L \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
 517 $\qed$
 518
 519 \subsection{Foreign Inclusion:}
 520
 521 Simple Foreign Inclusion applies.  $\qed$
 522
 523 \subsection{Foreign Contents:}
 524
 525 Only relevant if $\patchof{C} = \bot$, and in that case Totally
 526 Foreign Contents applies. $\qed$
 527
 528 \section{Create Base}
 529
 530 Given a starting point $L$ and a proposed patch $\pq$,
 531 create a Topbloke base branch initial commit $B$.
 532 \gathbegin
 533  B \hasparents \{ L \}
 534 \gathnext
 535  \patchof{B} = \pqn
 536 \gathnext
 537  D \isin B \equiv D \isin L \lor D = B
 538 \end{gather}
 539
 540 \subsection{Conditions}
 541
 542 \[ \eqn{ Create Acyclic }{
 543  \pendsof{L}{\pqy} = \{ \}
 544 }\]
 545
 546 \subsection{No Replay}
 547
 548 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 549
 550 \subsection{Unique Base}
 551
 552 Not applicable.
 553
 554 \subsection{Tip Contents}
 555
 556 Not applicable.
 557
 558 \subsection{Base Acyclic}
 559
 560 Consider some $D \isin B$.  If $D = B$, $D \in \pqn$.
 561 If $D \neq B$, $D \isin L$, so by No Replay $D \le L$
 562 and by Create Acyclic
 563 $D \not\in \pqy$.  $\qed$
 564
 565 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 566
 567 Consider some $D \in \py$.
 568 $B \not\in \py$ so $D \neq B$.  So $D \isin B \equiv D \isin L$
 569 and $D \le B \equiv D \le L$.
 570
 571 Thus $L \haspatch \p \implies B \haspatch P$
 572 and $L \nothaspatch \p \implies B \nothaspatch P$.
 573
 574 $\qed$.
 575
 576 \subsection{Foreign Inclusion}
 577
 578 Simple Foreign Inclusion applies. $\qed$
 579
 580 \subsection{Foreign Contents}
 581
 582 Not applicable.
 583
 584 \section{Create Tip}
 585
 586 Given a Topbloke base $B$ for a patch $\pq$,
 587 create a tip branch initial commit B.
 588 \gathbegin
 589  C \hasparents \{ B \}
 590 \gathnext
 591  \patchof{B} = \pqy
 592 \gathnext
 593  D \isin C \equiv D \isin B \lor D = C
 594 \end{gather}
 595
 596 \subsection{Conditions}
 597
 598 \[ \eqn{ Ingredients }{
 599  \patchof{B} = \pqn
 600 }\]
 601 \[ \eqn{ No Sneak }{
 602  \pendsof{B}{\pqy} = \{ \}
 603 }\]
 604
 605 \subsection{No Replay}
 606
 607 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 608
 609 \subsection{Unique Base}
 610
 611 Trivially, $\pendsof{C}{\pqn} = \{B\}$ so $\baseof{C} = B$.  $\qed$
 612
 613 \subsection{Tip Contents}
 614
 615 Consider some arbitrary commit $D$.  If $D = C$, trivially satisfied.
 616
 617 If $D \neq C$, $D \isin C \equiv D \isin B$,
 618 which by Unique Base, above, $ \equiv D \isin \baseof{B}$.
 619 By Base Acyclic of $B$, $D \isin B \implies D \not\in \pqy$.
 620
 621
 622 $\qed$
 623
 624 \subsection{Base Acyclic}
 625
 626 Not applicable.
 627
 628 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 629
 630 $$
 631 \begin{cases}
 632   \p = \pq    \lor B \haspatch \p : & C \haspatch \p \\
 633   \p \neq \pq \land B \nothaspatch \p : & C \nothaspatch \p
 634 \end{cases}
 635 $$
 636
 637 \proofstarts
 638 ~ Consider some $D \in \py$.
 639
 640 \subsubsection{For $\p = \pq$:}
 641
 642 By Base Acyclic, $D \not\isin B$.  So $D \isin C \equiv D = C$.
 643 By No Sneak, $D \not\le B$ so $D \le C \equiv D = C$.  Thus $C \haspatch \pq$.
 644
 645 \subsubsection{For $\p \neq \pq$:}
 646
 647 $D \neq C$.  So $D \isin C \equiv D \isin B$,
 648 and $D \le C \equiv D \le B$.
 649
 650 $\qed$
 651
 652 \subsection{Foreign Inclusion}
 653
 654 Simple Foreign Inclusion applies.  $\qed$
 655
 656 \subsection{Foreign Contents}
 657
 658 Not applicable.
 659
 660 \section{Dependency Removal}
 661
 662 Given $L$ which contains $\pr$ as represented by $R^+, R^-$.
 663 Construct $C$ which has $\pr$ removed by applying a single
 664 commit which is the anticommit of $\pr$.
 665 Used for removing a branch dependency.
 666 \gathbegin
 667  C \hasparents \{ L \}
 668 \gathnext
 669  \patchof{C} = \patchof{L}
 670 \gathnext
 671  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
 672 \end{gather}
 673
 674 \subsection{Conditions}
 675
 676 \[ \eqn{ Ingredients }{
 677 R^+ \in \pry \land R^- = \baseof{R^+}
 678 }\]
 679 \[ \eqn{ Into Base }{
 680  L \in \pqn
 681 }\]
 682 \[ \eqn{ Unique Tip }{
 683  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
 684 }\]
 685 \[ \eqn{ Currently Included }{
 686  L \haspatch \pry
 687 }\]
 688
 689 \subsection{Ordering of Ingredients:}
 690
 691 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
 692 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$.
 693 $\qed$
 694
 695 (Note that $R^+ \not\le R^-$, i.e. the merge base
 696 is a descendant, not an ancestor, of the 2nd parent.)
 697
 698 \subsection{No Replay}
 699
 700 By $\merge$,
 701 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R^- \lor D = C$.
 702 So, by Ordering of Ingredients,
 703 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 704
 705 \subsection{Desired Contents}
 706
 707 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
 708 \proofstarts
 709
 710 \subsubsection{For $D = C$:}
 711
 712 Trivially $D \isin C$.  OK.
 713
 714 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
 715
 716 By No Replay for $L$, $D \not\isin L$.
 717 Also, by Ordering of Ingredients, $D \not\le R^-$ hence
 718 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
 719
 720 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
 721
 722 By Currently Included, $D \isin L$.
 723
 724 By Tip Self Inpatch for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
 725 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.
 726 So $D \isin R^+$.
 727
 728 By Base Acyclic for $R^-$, $D \not\isin R^-$.
 729
 730 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
 731
 732 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
 733
 734 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 735
 736 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
 737
 738 $\qed$
 739
 740 \subsection{Unique Base}
 741
 742 Into Base means that $C \in \pqn$, so Unique Base is not
 743 applicable. $\qed$
 744
 745 \subsection{Tip Contents}
 746
 747 Again, not applicable. $\qed$
 748
 749 \subsection{Base Acyclic}
 750
 751 By Into Base and Base Acyclic for $L$, $D \isin L \implies D \not\in \pqy$.
 752 And by Into Base $C \not\in \pqy$.
 753 Now from Desired Contents, above, $D \isin C
 754 \implies D \isin L \lor D = C$, which thus
 755 $\implies D \not\in \pqy$.  $\qed$.
 756
 757 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 758
 759 Need to consider some $D \in \py$.  By Into Base, $D \neq C$.
 760
 761 \subsubsection{For $\p = \pr$:}
 762 By Desired Contents, above, $D \not\isin C$.
 763 So $C \nothaspatch \pr$.
 764
 765 \subsubsection{For $\p \neq \pr$:}
 766 By Desired Contents, $D \isin C \equiv D \isin L$
 767 (since $D \in \py$ so $D \not\in \pry$).
 768
 769 If $L \nothaspatch \p$, $D \not\isin L$ so $D \not\isin C$.
 770 So $L \nothaspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 771
 772 Whereas if $L \haspatch \p$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 773 so $L \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 774
 775 $\qed$
 776
 777 \subsection{Foreign Inclusion}
 778
 779 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq C$.
 780 So by Desired Contents $D \isin C \equiv D \isin L$.
 781 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 782
 783 And $D \le C \equiv D \le L$.
 784 Thus $D \isin C \equiv D \le C$.
 785
 786 $\qed$
 787
 788 \subsection{Foreign Contents}
 789
 790 Not applicable.
 791
 792 \section{Dependency Insertion}
 793
 794 Given $L$ construct $C$ which additionally
 795 contains $\pr$ as represented by $R^+$ and $R^-$.
 796 This may even be used for reintroducing a previous-removed branch
 797 dependency.
 798 \gathbegin
 799  C \hasparents \{ L, R^+ \}
 800 \gathnext
 801  \patchof{C} = \patchof{L}
 802 \gathnext
 803  \mergeof{C}{L}{R^-}{R^+}
 804 \end{gather}
 805
 806 \subsection{Conditions}
 807
 808 \[ \eqn{ Ingredients }{
 809  R^- = \baseof{R^+}
 810 }\]
 811 \[ \eqn{ Into Base }{
 812  L \in \pqn
 813 }\]
 814 \[ \eqn{ Currently Excluded }{
 815  L \nothaspatch \pr
 816 }\]
 817 \[ \eqn{ Inserted's Ends }{
 818  E \in \pendsof{L}{\pry} \implies E \le R^+
 819 }\]
 820 \[ \eqn{ Others' Ends }{
 821  \bigforall_{\p \patchisin \L}
 822  E \in \pendsof{R^+}{\py} \implies E \le L
 823 }\]
 824 \[ \eqn{ Insertion Acyclic }{
 825  R^+ \nothaspatch \pq
 826 }\]
 827
 828 \subsection{No Replay}
 829
 830 By $\merge$,
 831 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R^+ \lor D = C$.
 832 So Ingredients Prevent Replay applies. $\qed$
 833
 834 \subsection{Unique Base}
 835
 836 Not applicable.
 837
 838 \subsection{Tip Contents}
 839
 840 Not applicable.
 841
 842 \subsection{Base Acyclic}
 843
 844 Consider some $D \isin C$.  We will show that $D \not\in \pqy$.
 845 By $\merge$, $D \isin L \lor D \isin R^+ \lor D = C$.
 846
 847 For $D \isin L$, Base Acyclic for L suffices.  For $D \isin R^+$,
 848 Insertion Acyclic suffices.  For $D = C$, trivial.  $\qed$.
 849
 850 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 851
 852 $$
 853 \begin{cases}
 854   \p = \pr    \lor L \haspatch \p : & C \haspatch \p \\
 855   \p \neq \pr \land L \nothaspatch \p : & C \nothaspatch \p
 856 \end{cases}
 857 $$
 858 \proofstarts
 859 ~ Consider some $D \in \py$.
 860 $D \neq C$ so $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R^+$.
 861
 862 \subsubsection{For $\p = \pr$:}
 863
 864 $D \not\isin L$ by Currently Excluded.
 865 $D \not\isin R^-$ by Base Acyclic.
 866 So by $\merge$, $D \isin C \equiv D \isin R^+$,
 867 which by Tip Self Inpatch of $R^+$, $\equiv D \le R^+$.
 868
 869 And by definition of $\pancs$,
 870 $D \le L \equiv D \in \pancsof{L}{R^+}$.
 871 Applying Transitive Ancestors to Inserted's Ends gives
 872 $A \in \pancsof{L}{R^+} \implies A \le R^+$.
 873 So $D \le L \implies D \le R^+$.
 874 Thus $D \le C \equiv D \le R^+$.
 875
 876 So $D \isin C \equiv D \le C$, i.e. $C \haspatch \pr$.
 877 OK.
 878
 879 \subsubsection{For $\p \neq \pr$:}
 880
 881 By Exclusive Tip Contents for $R^+$ ($D \not\in \pry$ case)
 882 $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 883 So by $\merge$, $D \isin C \equiv D \isin L$.
 884
 885 If $L \nothaspatch \p$, $D \not\isin L$ so $C \nothaspatch \p$.  OK.
 886
 887 If $L \haspatch \p$, Others' Ends applies; by Transitive
 888 Ancestors, $A \in \pancsof{R^+}{\py} \implies A \le L$.
 889 So $D \le R^+ \implies D \le L$,
 890 since $D \le R^+ \equiv D \in \pancsof{R^+}{\py}$.
 891 Thus $D \le C \equiv D \le L$.
 892 And by $\haspatch$, $D \le L \equiv D \isin L$ so
 893 $D \isin C \equiv D \le C$.  Thus $C \haspatch \p$.
 894 OK.
 895
 896 $\qed$
 897
 898 \subsection{Foreign Inclusion}
 899
 900 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 901
 902 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 903 So by $\merge$, $D \isin C \equiv D \isin L$.
 904
 905 xxx up to here, need new condition
 906
 907 $D \neq C$.
 908
 909
 910
 911 \section{Merge}
 912
 913 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
 914 \gathbegin
 915  C \hasparents \{ L, R \}
 916 \gathnext
 917  \patchof{C} = \patchof{L}
 918 \gathnext
 919  \mergeof{C}{L}{M}{R}
 920 \end{gather}
 921 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
 922
 923 \subsection{Conditions}
 924 \[ \eqn{ Ingredients }{
 925  M \le L, M \le R
 926 }\]
 927 \[ \eqn{ Tip Merge }{
 928  L \in \py \implies
 929    \begin{cases}
 930       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
 931               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
 932       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
 933       \text{otherwise} : & \false
 934    \end{cases}
 935 }\]
 936 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
 937     L \in \pn
 938    \implies
 939     R \nothaspatch \p
 940 }\]
 941 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
 942     X \not\haspatch \p \land
 943     Y \haspatch \p \land
 944     M \haspatch \p
 945   \implies
 946     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
 947 }\]
 948 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
 949     X \not\haspatch \p \land
 950     Y \haspatch \p \land
 951     M \nothaspatch \p
 952    \implies \left[
 953     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
 954    \right]
 955 }\]
 956 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
 957     \patchof{L} = \bot \equiv \patchof{R} = \bot
 958 }\]
 959
 960 \subsection{Non-Topbloke merges}
 961
 962 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
 963 (Foreign Merges, above).
 964 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
 965 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
 966 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
 967
 968 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
 969 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
 970 Merge Ends condition applies.
 971
 972 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
 973 is therefore consistent with our model.
 974
 975 \subsection{No Replay}
 976
 977 By definition of $\merge$,
 978 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
 979 So, by Ingredients,
 980 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
 981
 982 \subsection{Unique Base}
 983
 984 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 985 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 986 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 987
 988 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 989 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 990 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 991
 992 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 993 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 994
 995 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 996
 997 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 998 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 999
1000 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
1001 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
1002 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
1003 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
1004 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
1005
1006 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
1007
1008 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
1009 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
1010 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
1011 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
1012 That is, $\baseof{C} = R$.
1013
1014 $\qed$
1015
1016 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
1017
1018 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
1019 This involves considering $D \in \py$.
1020
1021 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
1022 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
1023 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch for $L$).  So $D \neq C$.
1024 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
1025
1026 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
1027 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
1028 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
1029
1030 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
1031
1032 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
1033  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
1034 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
1035
1036 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
1037 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
1038 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
1039
1040 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
1041 By $\merge$, $D \not\isin C$.
1042 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
1043 OK for $C \haspatch \p$.
1044
1045 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
1046 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
1047 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
1048 OK for $C \haspatch \p$.
1049
1050 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
1051
1052 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
1053
1054 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
1055 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
1056
1057 \proofstarts
1058
1059 One of the Merge Ends conditions applies.
1060 Recall that we are considering $D \in \py$.
1061 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
1062 We will show for each of
1063 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
1064 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
1065
1066 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
1067 Self Inpatch for $L$, $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
1068 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
1069 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
1070
1071 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
1072 $D \le Y$ so $D \le C$.
1073 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
1074
1075 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
1076 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
1077 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
1078 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
1079 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
1080
1081 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
1082 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
1083 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
1084 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
1085
1086 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
1087 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
1088
1089 $\qed$
1090
1091 \subsection{Base Acyclic}
1092
1093 This applies when $C \in \pn$.
1094 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
1095
1096 Consider some $D \in \py$.
1097
1098 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
1099 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
1100
1101 $\qed$
1102
1103 \subsection{Tip Contents}
1104
1105 We need worry only about $C \in \py$.
1106 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
1107 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
1108 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
1109
1110 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
1111 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
1112 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
1113 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
1114 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
1115
1116 We will consider an arbitrary commit $D$
1117 and prove the Exclusive Tip Contents form.
1118
1119 \subsubsection{For $D \in \py$:}
1120 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
1121 \le C$.  OK.
1122
1123 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
1124
1125 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
1126 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
1127 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
1128 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
1129 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
1130
1131 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
1132
1133 $D \neq C$.
1134
1135 By Tip Contents
1136 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
1137 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
1138
1139 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
1140 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
1141 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
1142 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
1143
1144 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
1145 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
1146 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
1147
1148 $\qed$
1149
1150 \subsection{Foreign Inclusion}
1151
1152 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
1153 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
1154 $D \isin L \equiv D \le L$;
1155 $D \isin M \equiv D \le M$;
1156 $D \isin R \equiv D \le R$.
1157
1158 \subsubsection{For $D = C$:}
1159
1160 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
1161
1162 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
1163
1164 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
1165 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
1166
1167 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
1168
1169 By $\merge$, $D \isin C$.
1170 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
1171 OK.
1172
1173 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
1174
1175 By $\merge$, $D \not\isin C$.
1176 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
1177 OK
1178
1179 $\qed$
1180
1181 \subsection{Foreign Contents}
1182
1183 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
1184 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
1185 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$
1186
1187 \end{document}