moebius.py

   1
   2 from __future__ import print_function
   3
   4 import numpy as np
   5 from numpy import cos, sin
   6
   7 from bezier import BezierSegment
   8
   9 import sys
  10
  11 tau = np.pi * 2
  12
  13 origin = np.array((0,0,0))
  14 unit_x = np.array((1,0,0))
  15 unit_y = np.array((0,1,0))
  16 unit_z = np.array((0,0,1))
  17
  18 def unit_v(v):
  19   return v / np.linalg.norm(v)
  20
  21 class DoubleCubicBezier():
  22   def __init__(db, cp):
  23     single = BezierSegment(cp)
  24     midpoint = np.array(single.point_at_t(0.5))
  25     mid_dirn = single.point_at_t(0.5 + 0.001) - midpoint
  26     mid_dirn /= np.linalg.norm(mid_dirn)
  27     ocp_factor = 0.5
  28     mid_scale = ocp_factor * 0.5 * (np.linalg.norm(cp[1] - cp[0]) +
  29                                     np.linalg.norm(cp[3] - cp[2]))
  30     db.b0 = BezierSegment([ cp[0],
  31                             cp[1] * ocp_factor + cp[0] * (1-ocp_factor),
  32                             midpoint - mid_dirn * mid_scale,
  33                             midpoint ])
  34     db.b1 = BezierSegment([ midpoint,
  35                             midpoint + mid_dirn * mid_scale,
  36                             cp[2] * ocp_factor + cp[3] * (1-ocp_factor),
  37                             cp[3] ])
  38   def point_at_t(db, t):
  39     if t < 0.5:
  40       return db.b0.point_at_t(t*2)
  41     else:
  42       return db.b1.point_at_t(t*2 - 1)
  43
  44 class ParametricCircle:
  45   def __init__(pc, c, r0, r1):
  46     ''' circle centred on c
  47         with theta=0 point at c+r0
  48         and with theta=tau/4 point at c+r1 '''
  49     pc._c  = c
  50     pc._r0 = r0
  51     pc._r1 = r1
  52   def radius(pc, theta):
  53     return pc._r0 * cos(theta) + pc._r1 * sin(theta)
  54   def point(pc, theta):
  55     return pc._c + pc.radius(theta)
  56
  57 class Twirler(ParametricCircle):
  58   def __init__(tw, c, r0, r1, cycles, begin_zeta):
  59     ''' circle centred on c, etc.
  60         but with an orientation at each point, orthogonal to
  61           the circle
  62         the orientation circles round cycles times during the
  63           whole cycle (if cycles<1, to get a whole circling of
  64           the dirn around the circle, must pass some theta>tau)
  65         begin_zeta is the angle from outwards at theta==0
  66           positive meaning in the direction of r0 x r1 from r0
  67     '''
  68     ParametricCircle.__init__(tw, c, r0, r1)
  69     tw._cycles = cycles
  70     tw._begin_zeta = begin_zeta
  71     tw._axis = np.cross(r0, r1)
  72   def dirn(tw, theta, extra_zeta=0):
  73     ''' unit vector for dirn at theta,
  74          but rotated extra_theta more around the circle
  75     '''
  76     zeta = tw._begin_zeta + theta * tw._cycles + extra_zeta
  77     r = tw.radius(theta)
  78     return cos(zeta) * r + sin(zeta) * tw._axis
  79
  80 class MoebiusHalf:
  81   def __init__(m, nu):
  82     '''
  83      MoebiusHalf().edge is a Twirler for the edge,
  84       expecting theta = u * tau (see MoebiusHalf().point)
  85       with dirn pointing into the surface
  86     '''
  87     m.edge    = Twirler(origin,  unit_z, unit_x, -2, tau/2)
  88     m.midline = Twirler(-unit_z, unit_z, unit_y, -0.5, 0)
  89     m.nu      = nu
  90     m._thetas = [ u * tau for u in np.linspace(0, 1, nu+1) ]
  91     m._cp2b = BezierSegment([ (c,) for c in [0.33,0.33, 1.50]])
  92     m._beziers = [ m._bezier(theta) for theta in m._thetas ]
  93   def _bezier(m, theta):
  94     cp = [None] * 4
  95     cp[0] =               m.edge   .point(theta)
  96     cp[3] =               m.midline.point(theta*2)
  97     ncp3 = np.linalg.norm(cp[3])
  98     cpt = ncp3 * ncp3 / 4
  99     cp2scale = m._cp2b.point_at_t(ncp3/2)
 100     cp1scale = 1.0 * cpt + 0.33 * (1-cpt)
 101     #print('u=%d ncp3=%f cp2scale=%f' % (u, ncp3, cp2scale),
 102     #      file=sys.stderr)
 103     cp[1] = cp[0] + cp1scale * m.edge   .dirn (theta)
 104     cp[2] = cp[3] + cp2scale * m.midline.dirn (theta*2)
 105     return DoubleCubicBezier(cp)
 106   def point(m, iu, t):
 107     '''
 108     0 <= iu <= nu     meaning 0 <= u <= 1
 109                       along the extent (well, along the edge)
 110                        0 and 1 are both the top half of the flat traverse
 111                        0.5        is the bottom half of the flat traverse
 112     0 <=  t   <= 1    across the half-traverse
 113                        0 is the edge, 1 is the midline
 114     '''
 115     return np.array(m._beziers[iu].point_at_t(t))
 116
 117   def normal(m, iu, t):
 118     '''at the top (iu=t=0), is +ve in the +ve y direction'''
 119     p = m.point(iu, t)
 120     if t == 0:
 121       dirn = m.edge.dirn(m._thetas[iu], extra_zeta=-tau/4)
 122     elif iu == m.nu:
 123       return m.normal(0, t)
 124     else:
 125       vec_t = m.point(iu,   t + 0.01) - p
 126       vec_u = m.point(iu+1, t)        - p
 127       dirn =  np.cross(vec_u, vec_t)
 128       dirn = unit_v(dirn)
 129     return dirn
 130
 131   def point_offset(m, iu, t, offset):
 132     '''
 133     offset by offset perpendicular to the surface
 134      at the top (iu=t=0), +ve offset is in the +ve y direction
 135     '''
 136     p = m.point(iu, t)
 137     return p + offset * m.normal(iu, t)
 138
 139 class Moebius():
 140   def __init__(m, nv, nw):
 141     '''
 142       0 <= v <= nw    along the extent,    v=0 is the flat traverse
 143       0 <= w <= nv    across the traverse  nw must be even
 144       the top is both   v=0, w=0  v=nv, w=nw
 145     '''
 146     assert(nw % 1 == 0)
 147     m.nv = nv
 148     m.nw = nw
 149     m.nt = nw/2
 150     m._t_vals = np.linspace(0, 1, m.nt+1)
 151     m.h = MoebiusHalf(nu=nv*2)
 152
 153   def _vw2tiu_kw(m, v, w):
 154     if w <= m.nt:
 155       it = w
 156       iu = v
 157     else:
 158       it = m.nw - w
 159       iu = m.nv + v
 160     #print('v,w=%d,%d => it,iu=%d,%d' % (v,w,it,iu),
 161     #      file=sys.stderr)
 162     return { 't': m._t_vals[it], 'iu': iu }
 163
 164   def point(m, v, w):
 165     return m.h.point(**m._vw2tiu_kw(v,w))
 166
 167   def point_offset(m, v, w, offset):
 168     return m.h.point_offset(offset=
 169                             offset if w <= m.nt else -offset,
 170                             **m._vw2tiu_kw(v,w))