moebius.py

   1
   2 from __future__ import print_function
   3
   4 import numpy as np
   5 from numpy import cos, sin
   6
   7 from bezier import BezierSegment
   8
   9 import sys
  10
  11 tau = np.pi * 2
  12
  13 origin = np.array((0,0,0))
  14 unit_x = np.array((1,0,0))
  15 unit_y = np.array((0,1,0))
  16 unit_z = np.array((0,0,1))
  17
  18 class ParametricCircle:
  19   def __init__(pc, c, r0, r1):
  20     ''' circle centred on c
  21         with theta=0 point at c+r0
  22         and with theta=tau/4 point at c+r1 '''
  23     pc._c  = c
  24     pc._r0 = r0
  25     pc._r1 = r1
  26   def radius(pc, theta):
  27     return pc._r0 * cos(theta) + pc._r1 * sin(theta)
  28   def point(pc, theta):
  29     return pc._c + pc.radius(theta)
  30
  31 class Twirler(ParametricCircle):
  32   def __init__(tw, c, r0, r1, cycles, begin_zeta):
  33     ''' circle centred on c, etc.
  34         but with an orientation at each point, orthogonal to
  35           the circle
  36         the orientation circles round cycles times during the
  37           whole cycle (if cycles<1, to get a whole circling of
  38           the dirn around the circle, must pass some theta>tau)
  39         begin_zeta is the angle from outwards at theta==0
  40           positive meaning in the direction of r0 x r1 from r0
  41     '''
  42     ParametricCircle.__init__(tw, c, r0, r1)
  43     tw._cycles = cycles
  44     tw._begin_zeta = begin_zeta
  45     tw._axis = np.cross(r0, r1)
  46   def dirn(tw, theta, extra_zeta=0):
  47     ''' unit vector for dirn at theta,
  48          but rotated extra_theta more around the circle
  49     '''
  50     zeta = tw._begin_zeta + theta * tw._cycles + extra_zeta
  51     r = tw.radius(theta)
  52     return cos(zeta) * r + sin(zeta) * tw._axis
  53
  54 class MoebiusHalf:
  55   def __init__(m, nu):
  56     '''
  57      MoebiusHalf().edge is a Twirler for the edge,
  58       expecting theta = u * tau (see MoebiusHalf().point)
  59       with dirn pointing into the surface
  60     '''
  61     m.edge    = Twirler(origin,  unit_z, unit_x, -2, tau/2)
  62     m.midline = Twirler(-unit_z, unit_z, unit_y, -0.5, 0)
  63     m.nu      = nu
  64     m._thetas = [ u * tau for u in np.linspace(0, 1, nu+1) ]
  65     m._cp2b = BezierSegment([ (c,) for c in [0.33,0.33, 1.50]])
  66     m._beziers = [ m._bezier(theta) for theta in m._thetas ]
  67   def _bezier(m, theta):
  68     cp = [None] * 4
  69     cp[0] =               m.edge   .point(theta)
  70     cp[3] =               m.midline.point(theta*2)
  71     ncp3 = np.linalg.norm(cp[3])
  72     cpt = ncp3 * ncp3 / 4
  73     cp2scale = m._cp2b.point_at_t(ncp3/2)
  74     cp1scale = 0.75 * cpt + 0.33 * (1-cpt)
  75     #print('u=%d ncp3=%f cp2scale=%f' % (u, ncp3, cp2scale),
  76     #      file=sys.stderr)
  77     cp[1] = cp[0] + cp1scale * m.edge   .dirn (theta)
  78     cp[2] = cp[3] + cp2scale * m.midline.dirn (theta*2)
  79     return BezierSegment(cp)
  80   def point(m, iu, t):
  81     '''
  82     0 <= iu <= nu     meaning 0 <= u <= 1
  83                       along the extent (well, along the edge)
  84                        0 and 1 are both the top half of the flat traverse
  85                        0.5        is the bottom half of the flat traverse
  86     0 <=  t   <= 1    across the half-traverse
  87                        0 is the edge, 1 is the midline
  88     '''
  89     return np.array(m._beziers[iu].point_at_t(t))
  90
  91   def point_offset(m, iu, t, offset):
  92     '''
  93     offset by offset perpendicular to the surface
  94      at the top (iu=t=0), in the y direction
  95     '''
  96     p = m.point(iu, t)
  97     if t == 0:
  98       dirn = m.edge.dirn(m._thetas[iu], extra_zeta=-tau/4)
  99     elif iu == m.nu:
 100       return m.point_offset(0, t, offset)
 101     else:
 102       vec_t = m.point(iu,   t + 0.01) - p
 103       vec_u = m.point(iu+1, t)        - p
 104       dirn =  np.cross(vec_u, vec_t)
 105     return p + offset * dirn / np.linalg.norm(dirn)
 106
 107 class Moebius():
 108   def __init__(m, nv, nw):
 109     '''
 110       0 <= v <= nw    along the extent,    v=0 is the flat traverse
 111       0 <= w <= nv    across the traverse  nw must be even
 112       the top is both   v=0, w=0  v=nv, w=nw
 113     '''
 114     assert(nw % 1 == 0)
 115     m.nv = nv
 116     m.nw = nw
 117     m.nt = nw/2
 118     m._t_vals = np.linspace(0, 1, m.nt+1)
 119     m.h = MoebiusHalf(nu=nv*2)
 120
 121   def _vw2tiu_kw(m, v, w):
 122     if w <= m.nt:
 123       it = w
 124       iu = v
 125     else:
 126       it = m.nw - w
 127       iu = m.nv + v
 128     #print('v,w=%d,%d => it,iu=%d,%d' % (v,w,it,iu),
 129     #      file=sys.stderr)
 130     return { 't': m._t_vals[it], 'iu': iu }
 131
 132   def point(m, v, w):
 133     return m.h.point(**m._vw2tiu_kw(v,w))
 134
 135   def point_offset(m, v, w, offset):
 136     return m.h.point_offset(offset=
 137                             offset if w <= m.nt else -offset,
 138                             **m._vw2tiu_kw(v,w))