helixish.py

   1
   2 from __future__ import print_function
   3
   4 import numpy as np
   5 from numpy import cos, sin
   6
   7 import sys
   8
   9 def augment(v): return np.append(v, 1)
  10 def augment0(v): return np.append(v, 0)
  11 def unaugment(v): return v[0:3]
  12
  13 class HelixishCurve():
  14   def __init__(hc, cp):
  15     p = cp[0]
  16     q = cp[3]
  17     dp = unit_v(cp[1]-cp[0])
  18     dq = unit_v(cp[3]-cp[2])
  19
  20     # the initial attempt
  21     #   - solve in the plane containing dP and dQ
  22     #   - total distance normal to that plane gives mu
  23     #   - now resulting curve is not parallel to dP at P
  24     #     nor dQ at Q, so tilt it
  25     #   - [[ pick as the hinge point the half of the curve
  26     #     with the larger s or t ]] not yet implemented
  27     #   - increase the other distance {t,s} by a bodge factor
  28     #     approx distance between {Q,P} and {Q,P}' due to hinging
  29     #     but minimum is 10% of (wlog) {s,t} [[ not quite like this ]]
  30
  31     dPQplane_normal = np.cross(dp, dq)
  32     if (np.norm(dPQplane_normal) < 1E6):
  33       dPQplane_normal += [0, 0, 1E5]
  34     dPQplane_normal = unit_v(dPQplane_normal)
  35
  36     dPQplane_basis = np.column_stack(np.cross(dp, dPQplane_normal),
  37                                      dp,
  38                                      dPQplane_normal,
  39                                      p);
  40     dPQplane_basis = np.vstack(dPQplane_basis, [0,0,0,1])
  41     dPQplane_into = np.linalg.inv(dPQplane_basis)
  42
  43     dp_plane = unaugment(dPQplane_into * augment0(dp))
  44     dq_plane = unaugment(dPQplane_into * augment0(dq))
  45     q_plane  = unaugment(dPQplane_into * augment(q))
  46     dist_pq_plane = np.linalg.norm(q_plane)
  47
  48     # two circular arcs of equal maximum possible radius
  49     # algorithm courtesy of Simon Tatham (`Railway problem',
  50     # pers.comm. to ijackson@chiark 23.1.2004)
  51     railway_angleoffset = atan2(*q_plane[0:1])
  52     railway_theta =                      tau/4 - railway_angleoffset
  53     railway_phi   = atan2(*dq_plane[0:1]) - railway_angleoffset
  54     railway_cos_theta = cos(railway_theta)
  55     railway_cos_phi   = cos(railway_phi)
  56     if railway_cos_theta**2 + railway_cos_phi**2 > 1E6:
  57       railway_roots = np.roots([
  58         2 * (1 + cos(railway_theta - railway_phi)),
  59         2 * (railway_cos_theta - railway_cos_phi),
  60         -1
  61         ])
  62       for railway_r in railway_roots:
  63         def railway_CPQ(pq, dpq):
  64           nonlocal railway_r
  65           return pq + railway_r * [-dpq[1], dpq[0]]
  66
  67         railway_CP = railway_CPQ([0,0,0],       dp_plane)
  68         railway_QP = railway_CPQ(q_plane[0:2], -dq_plane)
  69         railway_midpt = 0.5 * (railway_CP + railway_QP)
  70
  71         best_st = None
  72         def railway_ST(C, start, end):
  73           nonlocal railway_r
  74           delta = atan2(*(end - C)[0:2]) - atan2(start - C)[0:2]
  75           s = delta * railway_r
  76
  77         try_s = railway_ST(railway_CP, [0,0], midpt)
  78         try_t = railway_ST(railway_CP, midpt, q_plane)
  79         try_st = try_s + try_t
  80         if best_st is None or try_st < best_st:
  81           start_la = 1/r
  82           start_s = try_s
  83           start_t = try_t
  84           best_st = try_st
  85           start_mu = q_plane[2] / (start_s + start_t)
  86
  87     else: # twoarcs algorithm is not well defined
  88       start_la = 0.1
  89       start_s = dist_pq_plane * .65
  90       start_t = dist_pq_plane * .35
  91       start_mu = 0.05
  92
  93     bodge = max( q_plane[2] * mu,
  94                  (start_s + start_t) * 0.1 )
  95     start_s += 0.5 * bodge
  96     start_t += 0.5 * bodge
  97     start_kappa = 0
  98     start_gamma = 1
  99
 100     tilt = atan(mu)
 101     tilt_basis = np.array([
 102       1,     0,           0,         0,
 103       0,   cos(tilt), -sin(tilt),    0,
 104       0,   sin(tilt),  cos(tilt),    0,
 105       0,     0,           0,         1,
 106     ])
 107     findcurve_basis = dPQplane_basis * tilt_basis
 108     findcurve_into = np.linalg.inv(findcurve_basis)
 109
 110     q_findcurve = unaugment(findcurve_into, augment(q))
 111     dq_findcurve = unaugment(findcurve_into, augment0(dq))
 112
 113     findcurve_target = np.concatenate(q_findcurve, dq_findcurve)
 114     findcurve_start = (sqrt(start_s), sqrt(start_t), start_la,
 115                        start_mu, start_gamma, start_kappa)
 116
 117
 118
 119
 120     # we work in two additional coordinate systems:
 121     # for both these:
 122     #   P is at the origin
 123     #   |PQ| = 1
 124     # for findcurve:
 125     #   dP is the +ve y axis
 126     #   Q lies in the x/y plane
 127     # for calculating the initial attempt:
 128     #   P is at the origin