main.c

   1 /*
   2  * Searches for "good" ways to divide n matchsticks up and reassemble them
   3  * into m matchsticks.  "Good" means the smallest fragment is as big
   4  * as possible.
   5  *
   6  * Invoke as   ./main n m
   7  *
   8  * The algorithm is faster if the arguments are ordered so that n > m.
   9  */
  10
  11 /*
  12  * matchsticks/main.c  Copyright 2014 Ian Jackson
  13  *
  14  * This program is free software: you can redistribute it and/or modify
  15  * it under the terms of the GNU General Public License as published by
  16  * the Free Software Foundation, either version 3 of the License, or
  17  * (at your option) any later version.
  18  *
  19  * This program is distributed in the hope that it will be useful,
  20  * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  21  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  22  * GNU General Public License for more details.
  23  */
  24
  25 #define _GNU_SOURCE
  26
  27 #include <publib.h>
  28
  29 #include <stdio.h>
  30 #include <stdint.h>
  31 #include <stdlib.h>
  32 #include <string.h>
  33 #include <assert.h>
  34 #include <unistd.h>
  35 #include <stdbool.h>
  36 #include <inttypes.h>
  37 #include <math.h>
  38 #include <sys/types.h>
  39 #include <sys/wait.h>
  40 #include <sys/uio.h>
  41 #include <sys/fcntl.h>
  42
  43 #include <glpk.h>
  44
  45 #ifndef VERSION
  46 #define VERSION "(unknown-version)"
  47 #endif
  48
  49 /*
  50  * Algorithm.
  51  *
  52  * Each input match contributes, or does not contribute, to each
  53  * output match; we do not need to consider multiple fragments
  54  * relating to the same input/output pair this gives an n*m adjacency
  55  * matrix (bitmap).  Given such an adjacency matrix, the problem of
  56  * finding the best sizes for the fragments can be expressed as a
  57  * linear programming problem.
  58  *
  59  * We search all possible adjacency matrices, and for each one we run
  60  * GLPK's simplex solver.  We represent the adjacency matrix as an
  61  * array of bitmaps.
  62  *
  63  * However, there are a couple of wrinkles:
  64  *
  65  * To best represent the problem as a standard LP problem, we separate
  66  * out the size of each fragment into a common minimum size variable,
  67  * plus a fragment-specific extra size variable.  This reduces the LP
  68  * problem size at the cost of making the problem construction, and
  69  * interpretation of the results, a bit fiddly.
  70  *
  71  * Many of the adjacency matrices are equivalent.  In particular,
  72  * permutations of the columns, or of the rows, do not change the
  73  * meaning.  It is only necessasry to consider any one permutation.
  74  * We make use of this by considering only adjacency matrices whose
  75  * bitmap array contains bitmap words whose numerical values are
  76  * nondecreasing in array order.
  77  *
  78  * Once we have a solution, we also avoid considering any candidate
  79  * which involves dividing one of the output sticks into so many
  80  * fragment that the smallest fragment would necessarily be no bigger
  81  * than our best solution.  That is, we reject candidates where any of
  82  * the hamming weights of the adjacency bitmap words are too large.
  83  *
  84  * And, we want to do the search in order of increasing maximum
  85  * hamming weight.  This is because in practice optimal solutions tend
  86  * to have low hamming weight, and having found a reasonable solution
  87  * early allows us to eliminate a lot of candidates without doing the
  88  * full LP.
  89  */
  90
  91 typedef uint32_t AdjWord;
  92 #define PRADJ "08"PRIx32
  93
  94 static int n, m, maxhamweight;
  95 static AdjWord *adjmatrix;
  96 static AdjWord adjall;
  97
  98 static double best;
  99 static glp_prob *best_prob;
 100 static AdjWord *best_adjmatrix;
 101
 102 static int n_over_best;
 103 static int *weight;
 104
 105 static unsigned printcounter;
 106
 107 static void iterate(void);
 108 static void iterate_recurse(int i, AdjWord min);
 109 static bool preconsider_ok(int nwords, bool doprint);
 110 static bool maxhamweight_ok(void);
 111 static void optimise(bool doprint);
 112
 113 static void progress_eol(void) {
 114   fprintf(stderr,"        \r");
 115   fflush(stderr);
 116 }
 117
 118 static void set_best(double new_best) {
 119   best = new_best;
 120   n_over_best = floor(n / best);
 121 }
 122
 123 /*----- multicore support -----*/
 124
 125 /*
 126  * Multicore protocol
 127  *
 128  * We fork into:
 129  *   - master (parent)
 130  *   - generator
 131  *   - ncpu workers
 132  *
 133  * ipc facilities:
 134  *   - one pipe ("work") from generator to workers
 135  *   - ever-extending file ("bus") containing new "best" values
 136  *   - one file for each worker giving maxhamweight and adjmatrix for best
 137  *
 138  * generator runs iterate_recurse to a certain depth and writes the
 139  * candidates to a pipe
 140  *
 141  * workers read candidates from the pipe and resume iterate_recurse
 142  * halfway through the recursion
 143  *
 144  * whenever a worker does a doprint, it checks the bus for new best
 145  * value; actual best values are appended
 146  *
 147  * master waits for generator and all workers to finish and then
 148  * runs optimise() for each worker's best, then prints
 149  */
 150
 151 static int ncpus = 0, multicore_iteration_boundary = INT_MAX;
 152
 153 static int mc_bus, mc_work[2];
 154 static off_t mc_bus_read;
 155
 156 typedef struct {
 157   int w;
 158   FILE *results;
 159   pid_t pid;
 160 } Worker;
 161 static Worker *mc_us;
 162 static bool mc_am_generator;
 163
 164 static void multicore_check_for_new_best(void);
 165
 166 #define MAX_NIOVS 4
 167 static AdjWord mc_iter_min;
 168 static int mc_niovs;
 169 static size_t mc_iovlen;
 170 static struct iovec mc_iov[MAX_NIOVS];
 171
 172 #define IOV0 (mc_niovs = mc_iovlen = 0)
 173
 174 #define IOV(obj, count) ({                              \
 175     assert(mc_niovs < MAX_NIOVS);                       \
 176     mc_iov[mc_niovs].iov_base = &(obj);                 \
 177     mc_iov[mc_niovs].iov_len = sizeof(obj) * (count);   \
 178     mc_iovlen += mc_iov[mc_niovs].iov_len;              \
 179     mc_niovs++;                                         \
 180   })
 181
 182 static void mc_rwvsetup_outer(void) {
 183   IOV0;
 184   IOV(maxhamweight, 1);
 185   IOV(mc_iter_min, 1);
 186   IOV(*adjmatrix, multicore_iteration_boundary);
 187   IOV(*weight, m);
 188 }
 189
 190 static void mc_rwvsetup_full(void) {
 191   IOV0;
 192   IOV(*adjmatrix, n);
 193 }
 194
 195 static void vlprintf(const char *fmt, va_list al) {
 196   vfprintf(stderr,fmt,al);
 197   progress_eol();
 198 }
 199
 200 static void LPRINTF(const char *fmt, ...) {
 201   va_list al;
 202   va_start(al,fmt);
 203   vlprintf(fmt,al);
 204   va_end(al);
 205 }
 206
 207 static void mc_awaitpid(int wnum, pid_t pid) {
 208   LPRINTF("master awaiting %2d [%ld]",wnum,(long)pid);
 209   int status;
 210   pid_t got = waitpid(pid, &status, 0);
 211   assert(got == pid);
 212   if (status) {
 213     fprintf(stderr,"\nFAILED SUBPROC %2d [%ld] %d\n",
 214             wnum, (long)pid, status);
 215     exit(-1);
 216   }
 217 }
 218
 219 static void multicore_outer_iteration(int i, AdjWord min) {
 220   static unsigned check_counter;
 221
 222   assert(i == multicore_iteration_boundary);
 223   mc_iter_min = min;
 224   mc_rwvsetup_outer();
 225   ssize_t r = writev(mc_work[1], mc_iov, mc_niovs);
 226   assert(r == mc_iovlen);
 227   /* effectively, this writev arranges to transfers control
 228    * to some worker's instance of iterate_recurse via mc_iterate_worker */
 229
 230   if (!(check_counter++ & 0xff))
 231     multicore_check_for_new_best();
 232 }
 233
 234 static void mc_iterate_worker(void) {
 235   for (;;) {
 236     mc_rwvsetup_outer();
 237     ssize_t r = readv(mc_work[0], mc_iov, mc_niovs);
 238     if (r == 0) break;
 239     assert(r == mc_iovlen);
 240
 241     bool ok = maxhamweight_ok();
 242     if (!ok) continue;
 243
 244     ok = preconsider_ok(multicore_iteration_boundary, 1);
 245     progress_eol();
 246     if (!ok) continue;
 247
 248     /* stop iterate_recurse from trying to run multicore_outer_iteration */
 249     int mc_org_it_bound = multicore_iteration_boundary;
 250     multicore_iteration_boundary = INT_MAX;
 251     iterate_recurse(mc_org_it_bound, mc_iter_min);
 252     multicore_iteration_boundary = mc_org_it_bound;
 253   }
 254   if (best_adjmatrix) {
 255     LPRINTF("worker %2d reporting",mc_us->w);
 256     adjmatrix = best_adjmatrix;
 257     mc_rwvsetup_full();
 258     ssize_t r = writev(fileno(mc_us->results), mc_iov, mc_niovs);
 259     assert(r == mc_iovlen);
 260   }
 261   LPRINTF("worker %2d ending",mc_us->w);
 262   exit(0);
 263 }
 264
 265 static void multicore(void) {
 266   Worker *mc_workers;
 267   int w;
 268   pid_t genpid;
 269
 270   multicore_iteration_boundary = n / 2;
 271
 272   FILE *busf = tmpfile();  assert(busf);
 273   mc_bus = fileno(busf);
 274   int r = fcntl(mc_bus, F_GETFL);  assert(r >= 0);
 275   r |= O_APPEND;
 276   r = fcntl(mc_bus, F_SETFL, r);  assert(r >= 0);
 277
 278   r = pipe(mc_work);  assert(!r);
 279
 280   mc_workers = xmalloc(sizeof(*mc_workers) * ncpus);
 281   for (w=0; w<ncpus; w++) {
 282     mc_workers[w].w = w;
 283     mc_workers[w].results = tmpfile();  assert(mc_workers[w].results);
 284     mc_workers[w].pid = fork();  assert(mc_workers[w].pid >= 0);
 285     if (!mc_workers[w].pid) {
 286       mc_us = &mc_workers[w];
 287       close(mc_work[1]);
 288       LPRINTF("worker %2d running", w);
 289       mc_iterate_worker();
 290       exit(0);
 291     }
 292   }
 293
 294   close(mc_work[0]);
 295
 296   genpid = fork();  assert(genpid >= 0);
 297   if (!genpid) {
 298     mc_am_generator = 1;
 299     LPRINTF("generator running");
 300     iterate();
 301     exit(0);
 302   }
 303
 304   close(mc_work[1]);
 305   mc_awaitpid(-1, genpid);
 306   for (w=0; w<ncpus; w++)
 307     mc_awaitpid(w, mc_workers[w].pid);
 308
 309   for (w=0; w<ncpus; w++) {
 310     mc_rwvsetup_full();
 311     LPRINTF("reading report from %2d",w);
 312     ssize_t sr = preadv(fileno(mc_workers[w].results), mc_iov, mc_niovs, 0);
 313     if (!sr) continue;
 314     LPRINTF("got report from %2d",w);
 315     maxhamweight = 0;
 316     optimise(1);
 317   }
 318 }
 319
 320 static void multicore_check_for_new_best(void) {
 321   if (!(mc_us || mc_am_generator))
 322     return;
 323
 324   for (;;) {
 325     double msg;
 326     ssize_t got = pread(mc_bus, &msg, sizeof(msg), mc_bus_read);
 327     if (!got) break;
 328     assert(got == sizeof(msg));
 329     if (msg > best)
 330       set_best(msg);
 331     mc_bus_read += sizeof(msg);
 332   }
 333 }
 334
 335 static void multicore_found_new_best(void) {
 336   if (!mc_us)
 337     return;
 338
 339   if (mc_us /* might be master */) fprintf(stderr,"    w%-2d ",mc_us->w);
 340   ssize_t wrote = write(mc_bus, &best, sizeof(best));
 341   assert(wrote == sizeof(best));
 342 }
 343
 344 /*----- end of multicore support -----*/
 345
 346 static AdjWord *xalloc_adjmatrix(void) {
 347   return xmalloc(sizeof(*adjmatrix)*n);
 348 }
 349
 350 static void prep(void) {
 351   adjall = ~((~(AdjWord)0) << m);
 352   adjmatrix = xalloc_adjmatrix();
 353   glp_term_out(GLP_OFF);
 354   setlinebuf(stderr);
 355   weight = calloc(sizeof(*weight), m);  assert(weight);
 356   n_over_best = INT_MAX;
 357 }
 358
 359 static AdjWord one_adj_bit(int bitnum) {
 360   return (AdjWord)1 << bitnum;
 361 }
 362
 363 static int count_set_adj_bits(AdjWord w) {
 364   int j, total;
 365   for (j=0, total=0; j<m; j++)
 366     total += !!(w & one_adj_bit(j));
 367   return total;
 368 }
 369
 370 #define PRINTF(...) if (!doprint) ; else fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
 371
 372 static int totalfrags;
 373
 374 static bool maxhamweight_ok(void) {
 375   double maxminsize = (double)m / maxhamweight;
 376   return maxminsize > best;
 377 }
 378
 379 static bool preconsider_ok(int nwords, bool doprint) {
 380   int i;
 381
 382   PRINTF("%2d ", maxhamweight);
 383
 384   bool had_max = 0;
 385   for (i=0, totalfrags=0; i<nwords; i++) {
 386     int frags = count_set_adj_bits(adjmatrix[i]);
 387     had_max += (frags >= maxhamweight);
 388     totalfrags += frags;
 389     PRINTF("%"PRADJ" ", adjmatrix[i]);
 390     double maxminsize = (double)m / frags;
 391     if (maxminsize <= best) {
 392       PRINTF(" too fine");
 393       goto out;
 394     }
 395   }
 396   if (!had_max) {
 397     /* Skip this candidate as its max hamming weight is lower than
 398      * we're currently looking for (which means we must have done it
 399      * already).  (The recursive iteration ensures that none of the
 400      * words have more than the max hamming weight.) */
 401     PRINTF(" nomaxham");
 402     goto out;
 403   }
 404   return 1;
 405
 406  out:
 407   return 0;
 408 }
 409
 410 static void optimise(bool doprint) {
 411   /* Consider the best answer (if any) for a given adjacency matrix */
 412   glp_prob *prob = 0;
 413   int i, j;
 414
 415   /*
 416    * Up to a certain point, optimise() can be restarted.  We use this
 417    * to go back and print the debugging output if it turns out that we
 418    * have an interesting case.  The HAVE_PRINTED macro does this: its
 419    * semantics are to go back in time and make sure that we have
 420    * printed the description of the search case.
 421    */
 422 #define HAVE_PRINTED ({                                         \
 423       if (!doprint) { doprint = 1; goto retry_with_print; }     \
 424     })
 425  retry_with_print:
 426   if (prob) {
 427     glp_delete_prob(prob);
 428     prob = 0;
 429   }
 430
 431   bool ok = preconsider_ok(n, doprint);
 432   if (!ok)
 433     goto out;
 434
 435   /*
 436    * We formulate our problem as an LP problem as follows.
 437    * In this file "n" and "m" are the matchstick numbers.
 438    *
 439    * Each set bit in the adjacency matrix corresponds to taking a
 440    * fragment from old match i and making it part of new match j.
 441    *
 442    * The structural variables (columns) are:
 443    *   x_minimum        minimum size of any fragment (bounded below by 0)
 444    *   x_morefrag_i_j   the amount by which the size of the fragment
 445    *                     i,j exceeds the minimum size (bounded below by 0)
 446    *
 447    * The auxiliary variables (rows) are:
 448    *   x_total_i       total length for each input match (fixed variable)
 449    *   x_total_j       total length for each output match (fixed variable)
 450    *
 451    * The objective function is simply
 452    *   maximise x_minimum
 453    *
 454    * We use X_ and Y_ to refer to GLPK's (1-based) column and row indices.
 455    * ME_ refers to entries in the list of constraint matrix elements
 456    * which we build up as we go.
 457    */
 458
 459   prob = glp_create_prob();
 460
 461   int Y_totals_i = glp_add_rows(prob, n);
 462   int Y_totals_j = glp_add_rows(prob, m);
 463   int X_minimum = glp_add_cols(prob, 1);
 464
 465   {
 466   int next_matrix_entry = 1; /* wtf GLPK! */
 467   int matrix_entries_size = next_matrix_entry + n + m + totalfrags*2;
 468   double matrix_entries[matrix_entries_size];
 469   int matrix_entries_XY[2][matrix_entries_size];
 470
 471 #define ADD_MATRIX_ENTRY(Y,X) ({                        \
 472       assert(next_matrix_entry < matrix_entries_size);  \
 473       matrix_entries_XY[0][next_matrix_entry] = (X);    \
 474       matrix_entries_XY[1][next_matrix_entry] = (Y);    \
 475       matrix_entries[next_matrix_entry] = 0;            \
 476       next_matrix_entry++;                              \
 477     })
 478
 479   int ME_totals_i__minimum = next_matrix_entry;
 480   for (i=0; i<n; i++) ADD_MATRIX_ENTRY(Y_totals_i+i, X_minimum);
 481
 482   int ME_totals_j__minimum = next_matrix_entry;
 483   for (j=0; j<m; j++) ADD_MATRIX_ENTRY(Y_totals_j+j, X_minimum);
 484
 485   /* \forall_i x_total_i = m */
 486   /* \forall_i x_total_j = n */
 487   for (i=0; i<n; i++) glp_set_row_bnds(prob, Y_totals_i+i, GLP_FX, m,m);
 488   for (j=0; j<m; j++) glp_set_row_bnds(prob, Y_totals_j+j, GLP_FX, n,n);
 489
 490   /* x_minimum >= 0 */
 491   glp_set_col_bnds(prob, X_minimum, GLP_LO, 0, 0);
 492   glp_set_col_name(prob, X_minimum, "minimum");
 493
 494   /* objective is maximising x_minimum */
 495   glp_set_obj_dir(prob, GLP_MAX);
 496   glp_set_obj_coef(prob, X_minimum, 1);
 497
 498   for (i=0; i<n; i++) {
 499     for (j=0; j<m; j++) {
 500       if (!(adjmatrix[i] & one_adj_bit(j)))
 501         continue;
 502       /* x_total_i += x_minimum */
 503       /* x_total_j += x_minimum */
 504       matrix_entries[ ME_totals_i__minimum + i ] ++;
 505       matrix_entries[ ME_totals_j__minimum + j ] ++;
 506
 507       /* x_morefrag_i_j >= 0 */
 508       int X_morefrag_i_j = glp_add_cols(prob, 1);
 509       glp_set_col_bnds(prob, X_morefrag_i_j, GLP_LO, 0, 0);
 510       if (doprint) {
 511         char buf[255];
 512         snprintf(buf,sizeof(buf),"mf %d,%d",i,j);
 513         glp_set_col_name(prob, X_morefrag_i_j, buf);
 514       }
 515
 516       /* x_total_i += x_morefrag_i_j */
 517       /* x_total_j += x_morefrag_i_j */
 518       int ME_totals_i__mf_i_j = ADD_MATRIX_ENTRY(Y_totals_i+i, X_morefrag_i_j);
 519       int ME_totals_j__mf_i_j = ADD_MATRIX_ENTRY(Y_totals_j+j, X_morefrag_i_j);
 520       matrix_entries[ME_totals_i__mf_i_j] = 1;
 521       matrix_entries[ME_totals_j__mf_i_j] = 1;
 522     }
 523   }
 524
 525   assert(next_matrix_entry == matrix_entries_size);
 526
 527   glp_load_matrix(prob, matrix_entries_size-1,
 528                   matrix_entries_XY[1], matrix_entries_XY[0],
 529                   matrix_entries);
 530
 531   int r = glp_simplex(prob, NULL);
 532   PRINTF(" glp=%d", r);
 533
 534 #define OKERR(e) \
 535   case e: PRINTF(" " #e ); goto out;
 536 #define BADERR(e) \
 537   case e: HAVE_PRINTED; printf(" " #e " CRASHING\n"); exit(-1);
 538 #define DEFAULT \
 539   default: HAVE_PRINTED; printf(" ! CRASHING\n"); exit(-1);
 540
 541   switch (r) {
 542   OKERR(GLP_ESING);
 543   OKERR(GLP_ECOND);
 544   OKERR(GLP_EBOUND);
 545   OKERR(GLP_EFAIL);
 546   OKERR(GLP_ENOPFS);
 547   OKERR(GLP_ENODFS);
 548   BADERR(GLP_EBADB);
 549   BADERR(GLP_EOBJLL);
 550   BADERR(GLP_EOBJUL);
 551   BADERR(GLP_EITLIM);
 552   BADERR(GLP_ETMLIM);
 553   BADERR(GLP_EINSTAB);
 554   BADERR(GLP_ENOCVG);
 555   case 0: break;
 556   DEFAULT;
 557   }
 558
 559   r = glp_get_status(prob);
 560   PRINTF(" status=%d", r);
 561
 562   switch (r) {
 563   OKERR(GLP_NOFEAS);
 564   OKERR(GLP_UNDEF);
 565   BADERR(GLP_FEAS);
 566   BADERR(GLP_INFEAS);
 567   BADERR(GLP_UNBND);
 568   case GLP_OPT: break;
 569   DEFAULT;
 570   }
 571
 572   double got = glp_get_obj_val(prob);
 573   PRINTF("  %g", got);
 574   if (got <= best)
 575     goto out;
 576
 577   HAVE_PRINTED;
 578
 579   set_best(got);
 580   multicore_found_new_best();
 581
 582   if (best_prob) glp_delete_prob(best_prob);
 583   best_prob = prob;
 584
 585   free(best_adjmatrix);
 586   best_adjmatrix = xalloc_adjmatrix();
 587   memcpy(best_adjmatrix, adjmatrix, sizeof(*adjmatrix)*n);
 588
 589   PRINTF(" BEST        \n");
 590   return;
 591
 592   }
 593  out:
 594   if (prob)
 595     glp_delete_prob(prob);
 596   if (doprint) progress_eol();
 597   if (doprint) multicore_check_for_new_best();
 598 }
 599
 600 static void iterate_recurse(int i, AdjWord min) {
 601   if (i >= n) {
 602     printcounter++;
 603     optimise(!(printcounter & 0xfff));
 604     return;
 605   }
 606   if (i >= multicore_iteration_boundary) {
 607     multicore_outer_iteration(i, min);
 608     return;
 609   }
 610   for (adjmatrix[i] = min;
 611        ;
 612        adjmatrix[i]++) {
 613     if (count_set_adj_bits(adjmatrix[i]) > maxhamweight)
 614       goto again;
 615     if (i == 0 && (adjmatrix[i] & (1+adjmatrix[i])))
 616       goto again;
 617
 618     for (int j = 0; j < m; j++)
 619       if (adjmatrix[i] & one_adj_bit(j))
 620         weight[j]++;
 621     for (int j = 0; j < m; j++)
 622       if (weight[j] >= n_over_best)
 623         goto takeout;
 624
 625     iterate_recurse(i+1, adjmatrix[i]);
 626
 627   takeout:
 628     for (int j = 0; j < m; j++)
 629       if (adjmatrix[i] & one_adj_bit(j))
 630         weight[j]--;
 631
 632   again:
 633     if (adjmatrix[i] == adjall)
 634       return;
 635   }
 636 }
 637
 638 static void iterate(void) {
 639   for (maxhamweight=1; maxhamweight<=m; maxhamweight++) {
 640     if (!maxhamweight_ok())
 641       continue;
 642
 643     iterate_recurse(0, 1);
 644   }
 645 }
 646
 647 static void report(void) {
 648   fprintf(stderr, "\n");
 649   if (best_prob) {
 650     double min = glp_get_obj_val(best_prob);
 651     double a[n][m];
 652     int i, j, cols;
 653     for (i = 0; i < n; i++)
 654       for (j = 0; j < m; j++)
 655         a[i][j] = 0;
 656     cols = glp_get_num_cols(best_prob);
 657     for (i = 1; i <= cols; i++) {
 658       int x, y;
 659       if (2 != sscanf(glp_get_col_name(best_prob, i), "mf %d,%d", &x, &y))
 660         continue;
 661       a[x][y] = min + glp_get_col_prim(best_prob, i);
 662     }
 663     printf("%d into %d: min fragment %g   [%s]\n", n, m, min, VERSION);
 664     for (i = 0; i < n; i++) {
 665       for (j = 0; j < m; j++) {
 666         if (a[i][j])
 667           printf(" %9.3f", a[i][j]);
 668         else
 669           printf("          ");
 670       }
 671       printf("\n");
 672     }
 673   }
 674   if (ferror(stdout) || fclose(stdout)) { perror("stdout"); exit(-1); }
 675 }
 676
 677 int main(int argc, char **argv) {
 678   int opt;
 679   while ((opt = getopt(argc,argv,"j:")) >= 0) {
 680     switch (opt) {
 681     case 'j': ncpus = atoi(optarg); break;
 682     case '+': assert(!"bad option");
 683     default: abort();
 684     }
 685   }
 686   argc -= optind-1;
 687   argv += optind-1;
 688   assert(argc==3);
 689   n = atoi(argv[1]);
 690   m = atoi(argv[2]);
 691
 692   prep();
 693
 694   if (ncpus) multicore();
 695   else iterate();
 696
 697   report();
 698   return 0;
 699 }