cdirect/cdirect.c

   1 /* Copyright (c) 2007-2008 Massachusetts Institute of Technology
   2  *
   3  * Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining
   4  * a copy of this software and associated documentation files (the
   5  * "Software"), to deal in the Software without restriction, including
   6  * without limitation the rights to use, copy, modify, merge, publish,
   7  * distribute, sublicense, and/or sell copies of the Software, and to
   8  * permit persons to whom the Software is furnished to do so, subject to
   9  * the following conditions:
  10  *
  11  * The above copyright notice and this permission notice shall be
  12  * included in all copies or substantial portions of the Software.
  13  *
  14  * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND,
  15  * EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF
  16  * MERCHANTABILITY, FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND
  17  * NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE
  18  * LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION
  19  * OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION
  20  * WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE SOFTWARE.
  21  */
  22
  23 #include <math.h>
  24 #include <stdlib.h>
  25 #include <string.h>
  26
  27 #include "nlopt-util.h"
  28 #include "nlopt.h"
  29 #include "cdirect.h"
  30 #include "redblack.h"
  31 #include "config.h"
  32
  33 #define MIN(a,b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
  34 #define MAX(a,b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
  35
  36 /***************************************************************************/
  37 /* basic data structure:
  38  *
  39  * a hyper-rectangle is stored as an array of length L = 2n+3, where [1]
  40  * is the value (f) of the function at the center, [0] is the "size"
  41  * measure (d) of the rectangle, [3..n+2] are the coordinates of the
  42  * center (c), [n+3..2n+2] are the widths of the sides (w), and [2]
  43  * is an "age" measure for tie-breaking purposes.
  44  *
  45  * we store the hyper-rectangles in a red-black tree, sorted by (d,f)
  46  * in lexographic order, to allow us to perform quick convex-hull
  47  * calculations (in the future, we might make this data structure
  48  * more sophisticated based on the dynamic convex-hull literature).
  49  *
  50  * n > 0 always, of course.
  51  */
  52
  53 /* parameters of the search algorithm and various information that
  54    needs to be passed around */
  55 typedef struct {
  56      int n; /* dimension */
  57      int L; /* size of each rectangle (2n+3) */
  58      double magic_eps; /* Jones' epsilon parameter (1e-4 is recommended) */
  59      int which_diam; /* which measure of hyper-rectangle diam to use:
  60                         0 = Jones, 1 = Gablonsky */
  61      int which_div; /* which way to divide rects:
  62                        0: orig. Jones (divide all longest sides)
  63                        1: Gablonsky (cubes divide all, rects longest)
  64                        2: Jones Encyc. Opt.: pick random longest side */
  65      int which_opt; /* which rects are considered "potentially optimal"
  66                        0: Jones (all pts on cvx hull, even equal pts)
  67                        1: Gablonsky DIRECT-L (pick one pt, if equal pts)
  68                        2: ~ 1, but pick points randomly if equal pts
  69                     ... 2 seems to suck compared to just picking oldest pt */
  70
  71      const double *lb, *ub;
  72      nlopt_stopping *stop; /* stopping criteria */
  73      nlopt_func f; void *f_data;
  74      double *work; /* workspace, of length >= 2*n */
  75      int *iwork; /* workspace, length >= n */
  76      double minf, *xmin; /* minimum so far */
  77
  78      /* red-black tree of hyperrects, sorted by (d,f,age) in
  79         lexographical order */
  80      rb_tree rtree;
  81      int age; /* age for next new rect */
  82      double **hull; /* array to store convex hull */
  83      int hull_len; /* allocated length of hull array */
  84 } params;
  85
  86 /***************************************************************************/
  87
  88 /* Evaluate the "diameter" (d) of a rectangle of widths w[n]
  89
  90    We round the result to single precision, which should be plenty for
  91    the use we put the diameter to (rect sorting), to allow our
  92    performance hack in convex_hull to work (in the Jones and Gablonsky
  93    DIRECT algorithms, all of the rects fall into a few diameter
  94    values, and we don't want rounding error to spoil this) */
  95 static double rect_diameter(int n, const double *w, const params *p)
  96 {
  97      int i;
  98      if (p->which_diam == 0) { /* Jones measure */
  99           double sum = 0;
 100           for (i = 0; i < n; ++i)
 101                sum += w[i] * w[i];
 102           /* distance from center to a vertex */
 103           return ((float) (sqrt(sum) * 0.5));
 104      }
 105      else { /* Gablonsky measure */
 106           double maxw = 0;
 107           for (i = 0; i < n; ++i)
 108                if (w[i] > maxw)
 109                     maxw = w[i];
 110           /* half-width of longest side */
 111           return ((float) (maxw * 0.5));
 112      }
 113 }
 114
 115 #define ALLOC_RECT(rect, L) if (!(rect = (double*) malloc(sizeof(double)*(L)))) return NLOPT_OUT_OF_MEMORY
 116
 117 static int sort_fv_compare(void *fv_, const void *a_, const void *b_)
 118 {
 119      const double *fv = (const double *) fv_;
 120      int a = *((const int *) a_), b = *((const int *) b_);
 121      double fa = MIN(fv[2*a], fv[2*a+1]);
 122      double fb = MIN(fv[2*b], fv[2*b+1]);
 123      if (fa < fb)
 124           return -1;
 125      else if (fa > fb)
 126           return +1;
 127      else
 128           return 0;
 129 }
 130 static void sort_fv(int n, double *fv, int *isort)
 131 {
 132      int i;
 133      for (i = 0; i < n; ++i) isort[i] = i;
 134      nlopt_qsort_r(isort, (unsigned) n, sizeof(int), fv, sort_fv_compare);
 135 }
 136
 137 static double function_eval(const double *x, params *p) {
 138      double f = p->f(p->n, x, NULL, p->f_data);
 139      if (f < p->minf) {
 140           p->minf = f;
 141           memcpy(p->xmin, x, sizeof(double) * p->n);
 142      }
 143      p->stop->nevals++;
 144      return f;
 145 }
 146 #define FUNCTION_EVAL(fv,x,p,freeonerr) fv = function_eval(x, p); if (p->minf < p->stop->minf_max) { free(freeonerr); return NLOPT_MINF_MAX_REACHED; } else if (nlopt_stop_evals((p)->stop)) { free(freeonerr); return NLOPT_MAXEVAL_REACHED; } else if (nlopt_stop_time((p)->stop)) { free(freeonerr); return NLOPT_MAXTIME_REACHED; }
 147
 148 #define THIRD (0.3333333333333333333333)
 149
 150 #define EQUAL_SIDE_TOL 5e-2 /* tolerance to equate side sizes */
 151
 152 /* divide rectangle idiv in the list p->rects */
 153 static nlopt_result divide_rect(double *rdiv, params *p)
 154 {
 155      int i;
 156      const const int n = p->n;
 157      const int L = p->L;
 158      double *c = rdiv + 3; /* center of rect to divide */
 159      double *w = c + n; /* widths of rect to divide */
 160      double wmax = w[0];
 161      int imax = 0, nlongest = 0;
 162      rb_node *node;
 163
 164      for (i = 1; i < n; ++i)
 165           if (w[i] > wmax)
 166                wmax = w[imax = i];
 167      for (i = 0; i < n; ++i)
 168           if (wmax - w[i] <= wmax * EQUAL_SIDE_TOL)
 169                ++nlongest;
 170      if (p->which_div == 1 || (p->which_div == 0 && nlongest == n)) {
 171           /* trisect all longest sides, in increasing order of the average
 172              function value along that direction */
 173           double *fv = p->work;
 174           int *isort = p->iwork;
 175           for (i = 0; i < n; ++i) {
 176                if (wmax - w[i] <= wmax * EQUAL_SIDE_TOL) {
 177                     double csave = c[i];
 178                     c[i] = csave - w[i] * THIRD;
 179                     FUNCTION_EVAL(fv[2*i], c, p, 0);
 180                     c[i] = csave + w[i] * THIRD;
 181                     FUNCTION_EVAL(fv[2*i+1], c, p, 0);
 182                     c[i] = csave;
 183                }
 184                else {
 185                     fv[2*i] = fv[2*i+1] = HUGE_VAL;
 186                }
 187           }
 188           sort_fv(n, fv, isort);
 189           if (!(node = rb_tree_find(&p->rtree, rdiv)))
 190                return NLOPT_FAILURE;
 191           for (i = 0; i < nlongest; ++i) {
 192                int k;
 193                w[isort[i]] *= THIRD;
 194                rdiv[0] = rect_diameter(n, w, p);
 195                rdiv[2] = p->age++;
 196                node = rb_tree_resort(&p->rtree, node);
 197                for (k = 0; k <= 1; ++k) {
 198                     double *rnew;
 199                     ALLOC_RECT(rnew, L);
 200                     memcpy(rnew, rdiv, sizeof(double) * L);
 201                     rnew[3 + isort[i]] += w[isort[i]] * (2*k-1);
 202                     rnew[1] = fv[2*isort[i]+k];
 203                     rnew[2] = p->age++;
 204                     if (!rb_tree_insert(&p->rtree, rnew)) {
 205                          free(rnew);
 206                          return NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 207                     }
 208                }
 209           }
 210      }
 211      else {
 212           int k;
 213           if (nlongest > 1 && p->which_div == 2) {
 214                /* randomly choose longest side */
 215                i = nlopt_iurand(nlongest);
 216                for (k = 0; k < n; ++k)
 217                     if (wmax - w[k] <= wmax * EQUAL_SIDE_TOL) {
 218                          if (!i) { i = k; break; }
 219                          --i;
 220                     }
 221           }
 222           else
 223                i = imax; /* trisect longest side */
 224           if (!(node = rb_tree_find(&p->rtree, rdiv)))
 225                return NLOPT_FAILURE;
 226           w[i] *= THIRD;
 227           rdiv[0] = rect_diameter(n, w, p);
 228           rdiv[2] = p->age++;
 229           node = rb_tree_resort(&p->rtree, node);
 230           for (k = 0; k <= 1; ++k) {
 231                double *rnew;
 232                ALLOC_RECT(rnew, L);
 233                memcpy(rnew, rdiv, sizeof(double) * L);
 234                rnew[3 + i] += w[i] * (2*k-1);
 235                FUNCTION_EVAL(rnew[1], rnew + 3, p, rnew);
 236                rnew[2] = p->age++;
 237                if (!rb_tree_insert(&p->rtree, rnew)) {
 238                     free(rnew);
 239                     return NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 240                }
 241           }
 242      }
 243      return NLOPT_SUCCESS;
 244 }
 245
 246 /***************************************************************************/
 247 /* Convex hull algorithm, used later to find the potentially optimal
 248    points.  What we really have in DIRECT is a "dynamic convex hull"
 249    problem, since we are dynamically adding/removing points and
 250    updating the hull, but I haven't implemented any of the fancy
 251    algorithms for this problem yet. */
 252
 253 /* Find the lower convex hull of a set of points (x,y) stored in a rb-tree
 254    of pointers to {x,y} arrays sorted in lexographic order by (x,y).
 255
 256    Unlike standard convex hulls, we allow redundant points on the hull,
 257    and even allow duplicate points if allow_dups is nonzero.
 258
 259    The return value is the number of points in the hull, with pointers
 260    stored in hull[i] (should be an array of length >= t->N).
 261 */
 262 static int convex_hull(rb_tree *t, double **hull, int allow_dups)
 263 {
 264      int nhull = 0;
 265      double minslope;
 266      double xmin, xmax, yminmin, ymaxmin;
 267      rb_node *n, *nmax;
 268
 269      /* Monotone chain algorithm [Andrew, 1979]. */
 270
 271      n = rb_tree_min(t);
 272      if (!n) return 0;
 273      nmax = rb_tree_max(t);
 274
 275      xmin = n->k[0];
 276      yminmin = n->k[1];
 277      xmax = nmax->k[0];
 278
 279      if (allow_dups)
 280           do { /* include any duplicate points at (xmin,yminmin) */
 281                hull[nhull++] = n->k;
 282                n = rb_tree_succ(n);
 283           } while (n && n->k[0] == xmin && n->k[1] == yminmin);
 284      else
 285           hull[nhull++] = n->k;
 286
 287      if (xmin == xmax) return nhull;
 288
 289      /* set nmax = min mode with x == xmax */
 290 #if 0
 291      while (nmax->k[0] == xmax)
 292           nmax = rb_tree_pred(nmax); /* non-NULL since xmin != xmax */
 293      nmax = rb_tree_succ(nmax);
 294 #else
 295      /* performance hack (see also below) */
 296      {
 297           double kshift[2];
 298           kshift[0] = xmax * (1 - 1e-13);
 299           kshift[1] = -HUGE_VAL;
 300           nmax = rb_tree_find_gt(t, kshift); /* non-NULL since xmin != xmax */
 301      }
 302 #endif
 303
 304      ymaxmin = nmax->k[1];
 305      minslope = (ymaxmin - yminmin) / (xmax - xmin);
 306
 307      /* set n = first node with x != xmin */
 308 #if 0
 309      while (n->k[0] == xmin)
 310           n = rb_tree_succ(n); /* non-NULL since xmin != xmax */
 311 #else
 312      /* performance hack (see also below) */
 313      {
 314           double kshift[2];
 315           kshift[0] = xmin * (1 + 1e-13);
 316           kshift[1] = -HUGE_VAL;
 317           n = rb_tree_find_gt(t, kshift); /* non-NULL since xmin != xmax */
 318      }
 319 #endif
 320
 321      for (; n != nmax; n = rb_tree_succ(n)) {
 322           double *k = n->k;
 323           if (k[1] > yminmin + (k[0] - xmin) * minslope)
 324                continue;
 325
 326           /* performance hack: most of the points in DIRECT lie along
 327              vertical lines at a few x values, and we can exploit this */
 328           if (nhull && k[0] == hull[nhull - 1][0]) { /* x == previous x */
 329                if (k[1] > hull[nhull - 1][1]) {
 330                     double kshift[2];
 331                     /* because of the round to float in rect_diameter, above,
 332                        it shouldn't be possible for two diameters (x values)
 333                        to have a fractional difference < 1e-13.  Note
 334                        that k[0] > 0 always in DIRECT */
 335                     kshift[0] = k[0] * (1 + 1e-13);
 336                     kshift[1] = -HUGE_VAL;
 337                     n = rb_tree_pred(rb_tree_find_gt(t, kshift));
 338                     continue;
 339                }
 340                else { /* equal y values, add to hull */
 341                     if (allow_dups)
 342                          hull[nhull++] = k;
 343                     continue;
 344                }
 345           }
 346
 347           /* remove points until we are making a "left turn" to k */
 348           while (nhull > 1) {
 349                double *t1 = hull[nhull - 1], *t2;
 350
 351                /* because we allow equal points in our hull, we have
 352                   to modify the standard convex-hull algorithm slightly:
 353                   we need to look backwards in the hull list until we
 354                   find a point t2 != t1 */
 355                int it2 = nhull - 2;
 356                do {
 357                     t2 = hull[it2--];
 358                } while (it2 >= 0 && t2[0] == t1[0] && t2[1] == t1[1]);
 359                if (it2 < 0) break;
 360
 361                /* cross product (t1-t2) x (k-t2) > 0 for a left turn: */
 362                if ((t1[0]-t2[0]) * (k[1]-t2[1])
 363                    - (t1[1]-t2[1]) * (k[0]-t2[0]) >= 0)
 364                     break;
 365                --nhull;
 366           }
 367           hull[nhull++] = k;
 368      }
 369
 370      if (allow_dups)
 371           do { /* include any duplicate points at (xmax,ymaxmin) */
 372                hull[nhull++] = nmax->k;
 373                nmax = rb_tree_succ(nmax);
 374           } while (nmax && nmax->k[0] == xmax && n->k[1] == ymaxmin);
 375      else
 376           hull[nhull++] = nmax->k;
 377
 378      return nhull;
 379 }
 380
 381 /***************************************************************************/
 382
 383 static int small(double *w, params *p)
 384 {
 385      int i;
 386      for (i = 0; i < p->n; ++i)
 387           if (w[i] > p->stop->xtol_abs[i] &&
 388               w[i] > (p->ub[i] - p->lb[i]) * p->stop->xtol_rel)
 389                return 0;
 390      return 1;
 391 }
 392
 393 static nlopt_result divide_good_rects(params *p)
 394 {
 395      const int n = p->n;
 396      double **hull;
 397      int nhull, i, xtol_reached = 1, divided_some = 0;
 398      double magic_eps = p->magic_eps;
 399
 400      if (p->hull_len < p->rtree.N) {
 401           p->hull_len += p->rtree.N;
 402           p->hull = (double **) realloc(p->hull, sizeof(double*)*p->hull_len);
 403           if (!p->hull) return NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 404      }
 405      nhull = convex_hull(&p->rtree, hull = p->hull, p->which_opt != 1);
 406  divisions:
 407      for (i = 0; i < nhull; ++i) {
 408           double K1 = -HUGE_VAL, K2 = -HUGE_VAL, K;
 409           int im, ip;
 410
 411           /* find unequal points before (im) and after (ip) to get slope */
 412           for (im = i-1; im >= 0 && hull[im][0] == hull[i][0]; --im);
 413           for (ip = i+1; ip < nhull && hull[ip][0] == hull[i][0]; ++ip);
 414
 415           if (im >= 0)
 416                K1 = (hull[i][1] - hull[im][1]) / (hull[i][0] - hull[im][0]);
 417           if (ip < nhull)
 418                K1 = (hull[i][1] - hull[ip][1]) / (hull[i][0] - hull[ip][0]);
 419           K = MAX(K1, K2);
 420           if (hull[i][1] - K * hull[i][0]
 421               <= p->minf - magic_eps * fabs(p->minf) || ip == nhull) {
 422                /* "potentially optimal" rectangle, so subdivide */
 423                nlopt_result ret = divide_rect(hull[i], p);
 424                divided_some = 1;
 425                if (ret != NLOPT_SUCCESS) return ret;
 426                xtol_reached = xtol_reached && small(hull[i] + 3+n, p);
 427           }
 428
 429           /* for the DIRECT-L variant, we only divide one rectangle out
 430              of all points with equal diameter and function values
 431              ... note that for p->which_opt == 1, i == ip-1 should be a no-op
 432                  anyway, since we set allow_dups=0 in convex_hull above */
 433           if (p->which_opt == 1)
 434                i = ip - 1; /* skip to next unequal point for next iteration */
 435           else if (p->which_opt == 2) /* like DIRECT-L but randomized */
 436                i += nlopt_iurand(ip - i); /* possibly do another equal pt */
 437      }
 438      if (!divided_some) {
 439           if (magic_eps != 0) {
 440                magic_eps = 0;
 441                goto divisions; /* try again */
 442           }
 443           else { /* WTF? divide largest rectangle with smallest f */
 444                /* (note that this code actually gets called from time
 445                   to time, and the heuristic here seems to work well,
 446                   but I don't recall this situation being discussed in
 447                   the references?) */
 448                rb_node *max = rb_tree_max(&p->rtree);
 449                rb_node *pred = max;
 450                double wmax = max->k[0];
 451                do { /* note: this loop is O(N) worst-case time */
 452                     max = pred;
 453                     pred = rb_tree_pred(max);
 454                } while (pred && pred->k[0] == wmax);
 455                return divide_rect(max->k, p);
 456           }
 457      }
 458      return xtol_reached ? NLOPT_XTOL_REACHED : NLOPT_SUCCESS;
 459 }
 460
 461 /***************************************************************************/
 462
 463 /* lexographic sort order (d,f,age) of hyper-rects, for red-black tree */
 464 int cdirect_hyperrect_compare(double *a, double *b)
 465 {
 466      if (a[0] < b[0]) return -1;
 467      if (a[0] > b[0]) return +1;
 468      if (a[1] < b[1]) return -1;
 469      if (a[1] > b[1]) return +1;
 470      if (a[2] < b[2]) return -1;
 471      if (a[2] > b[2]) return +1;
 472      return (int) (a - b); /* tie-breaker, shouldn't be needed */
 473 }
 474
 475 /***************************************************************************/
 476
 477 nlopt_result cdirect_unscaled(int n, nlopt_func f, void *f_data,
 478                               const double *lb, const double *ub,
 479                               double *x,
 480                               double *minf,
 481                               nlopt_stopping *stop,
 482                               double magic_eps, int which_alg)
 483 {
 484      params p;
 485      int i;
 486      double *rnew;
 487      nlopt_result ret = NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 488
 489      p.magic_eps = magic_eps;
 490      p.which_diam = which_alg % 3;
 491      p.which_div = (which_alg / 3) % 3;
 492      p.which_opt = (which_alg / (3*3)) % 3;
 493      p.lb = lb; p.ub = ub;
 494      p.stop = stop;
 495      p.n = n;
 496      p.L = 2*n+3;
 497      p.f = f;
 498      p.f_data = f_data;
 499      p.xmin = x;
 500      p.minf = HUGE_VAL;
 501      p.work = 0;
 502      p.iwork = 0;
 503      p.hull = 0;
 504      p.age = 0;
 505
 506      rb_tree_init(&p.rtree, cdirect_hyperrect_compare);
 507
 508      p.work = (double *) malloc(sizeof(double) * (2*n));
 509      if (!p.work) goto done;
 510      p.iwork = (int *) malloc(sizeof(int) * n);
 511      if (!p.iwork) goto done;
 512      p.hull_len = 128; /* start with a reasonable number */
 513      p.hull = (double **) malloc(sizeof(double *) * p.hull_len);
 514      if (!p.hull) goto done;
 515
 516      if (!(rnew = (double *) malloc(sizeof(double) * p.L))) goto done;
 517      for (i = 0; i < n; ++i) {
 518           rnew[3+i] = 0.5 * (lb[i] + ub[i]);
 519           rnew[3+n+i] = ub[i] - lb[i];
 520      }
 521      rnew[0] = rect_diameter(n, rnew+3+n, &p);
 522      rnew[1] = function_eval(rnew+3, &p);
 523      rnew[2] = p.age++;
 524      if (!rb_tree_insert(&p.rtree, rnew)) {
 525           free(rnew);
 526           goto done;
 527      }
 528
 529      ret = divide_rect(rnew, &p);
 530      if (ret != NLOPT_SUCCESS) goto done;
 531
 532      while (1) {
 533           double minf0 = p.minf;
 534           ret = divide_good_rects(&p);
 535           if (ret != NLOPT_SUCCESS) goto done;
 536           if (p.minf < minf0 && nlopt_stop_f(p.stop, p.minf, minf0)) {
 537                ret = NLOPT_FTOL_REACHED;
 538                goto done;
 539           }
 540      }
 541
 542  done:
 543      rb_tree_destroy_with_keys(&p.rtree);
 544      free(p.hull);
 545      free(p.iwork);
 546      free(p.work);
 547
 548      *minf = p.minf;
 549      return ret;
 550 }
 551
 552 /* in the conventional DIRECT-type algorithm, we first rescale our
 553    coordinates to a unit hypercube ... we do this simply by
 554    wrapping cdirect() around cdirect_unscaled(). */
 555
 556 double cdirect_uf(int n, const double *xu, double *grad, void *d_)
 557 {
 558      cdirect_uf_data *d = (cdirect_uf_data *) d_;
 559      double f;
 560      int i;
 561      for (i = 0; i < n; ++i)
 562           d->x[i] = d->lb[i] + xu[i] * (d->ub[i] - d->lb[i]);
 563      f = d->f(n, d->x, grad, d->f_data);
 564      if (grad)
 565           for (i = 0; i < n; ++i)
 566                grad[i] *= d->ub[i] - d->lb[i];
 567      return f;
 568 }
 569
 570 nlopt_result cdirect(int n, nlopt_func f, void *f_data,
 571                      const double *lb, const double *ub,
 572                      double *x,
 573                      double *minf,
 574                      nlopt_stopping *stop,
 575                      double magic_eps, int which_alg)
 576 {
 577      cdirect_uf_data d;
 578      nlopt_result ret;
 579      const double *xtol_abs_save;
 580      int i;
 581
 582      d.f = f; d.f_data = f_data; d.lb = lb; d.ub = ub;
 583      d.x = (double *) malloc(sizeof(double) * n*4);
 584      if (!d.x) return NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 585
 586      for (i = 0; i < n; ++i) {
 587           x[i] = (x[i] - lb[i]) / (ub[i] - lb[i]);
 588           d.x[n+i] = 0;
 589           d.x[2*n+i] = 1;
 590           d.x[3*n+i] = stop->xtol_abs[i] / (ub[i] - lb[i]);
 591      }
 592      xtol_abs_save = stop->xtol_abs;
 593      stop->xtol_abs = d.x + 3*n;
 594      ret = cdirect_unscaled(n, cdirect_uf, &d, d.x+n, d.x+2*n, x, minf, stop,
 595                             magic_eps, which_alg);
 596      stop->xtol_abs = xtol_abs_save;
 597      for (i = 0; i < n; ++i)
 598           x[i] = lb[i]+ x[i] * (ub[i] - lb[i]);
 599      free(d.x);
 600      return ret;
 601 }