cdirect/cdirect.c

   1 /* Copyright (c) 2007-2008 Massachusetts Institute of Technology
   2  *
   3  * Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining
   4  * a copy of this software and associated documentation files (the
   5  * "Software"), to deal in the Software without restriction, including
   6  * without limitation the rights to use, copy, modify, merge, publish,
   7  * distribute, sublicense, and/or sell copies of the Software, and to
   8  * permit persons to whom the Software is furnished to do so, subject to
   9  * the following conditions:
  10  *
  11  * The above copyright notice and this permission notice shall be
  12  * included in all copies or substantial portions of the Software.
  13  *
  14  * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND,
  15  * EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF
  16  * MERCHANTABILITY, FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND
  17  * NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE
  18  * LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION
  19  * OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION
  20  * WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE SOFTWARE.
  21  */
  22
  23 #include <math.h>
  24 #include <stdlib.h>
  25 #include <string.h>
  26
  27 #include "nlopt-util.h"
  28 #include "nlopt.h"
  29 #include "cdirect.h"
  30 #include "redblack.h"
  31 #include "config.h"
  32
  33 #define MIN(a,b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
  34 #define MAX(a,b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
  35
  36 /***************************************************************************/
  37 /* basic data structure:
  38  *
  39  * a hyper-rectangle is stored as an array of length L = 2n+3, where [1]
  40  * is the value (f) of the function at the center, [0] is the "size"
  41  * measure (d) of the rectangle, [3..n+2] are the coordinates of the
  42  * center (c), [n+3..2n+2] are the widths of the sides (w), and [2]
  43  * is an "age" measure for tie-breaking purposes.
  44  *
  45  * we store the hyper-rectangles in a red-black tree, sorted by (d,f)
  46  * in lexographic order, to allow us to perform quick convex-hull
  47  * calculations (in the future, we might make this data structure
  48  * more sophisticated based on the dynamic convex-hull literature).
  49  *
  50  * n > 0 always, of course.
  51  */
  52
  53 /* parameters of the search algorithm and various information that
  54    needs to be passed around */
  55 typedef struct {
  56      int n; /* dimension */
  57      int L; /* size of each rectangle (2n+3) */
  58      double magic_eps; /* Jones' epsilon parameter (1e-4 is recommended) */
  59      int which_diam; /* which measure of hyper-rectangle diam to use:
  60                         0 = Jones, 1 = Gablonsky */
  61      int which_div; /* which way to divide rects:
  62                        0: orig. Jones (divide all longest sides)
  63                        1: Gablonsky (cubes divide all, rects longest)
  64                        2: Jones Encyc. Opt.: pick random longest side */
  65      int which_opt; /* which rects are considered "potentially optimal"
  66                        0: Jones (all pts on cvx hull, even equal pts)
  67                        1: Gablonsky DIRECT-L (pick one pt, if equal pts)
  68                        2: ~ 1, but pick points randomly if equal pts
  69                     ... 2 seems to suck compared to just picking oldest pt */
  70
  71      const double *lb, *ub;
  72      nlopt_stopping *stop; /* stopping criteria */
  73      nlopt_func f; void *f_data;
  74      double *work; /* workspace, of length >= 2*n */
  75      int *iwork; /* workspace, length >= n */
  76      double minf, *xmin; /* minimum so far */
  77
  78      /* red-black tree of hyperrects, sorted by (d,f,age) in
  79         lexographical order */
  80      rb_tree rtree;
  81      int age; /* age for next new rect */
  82      double **hull; /* array to store convex hull */
  83      int hull_len; /* allocated length of hull array */
  84 } params;
  85
  86 /***************************************************************************/
  87
  88 /* Evaluate the "diameter" (d) of a rectangle of widths w[n]
  89
  90    We round the result to single precision, which should be plenty for
  91    the use we put the diameter to (rect sorting), to allow our
  92    performance hack in convex_hull to work (in the Jones and Gablonsky
  93    DIRECT algorithms, all of the rects fall into a few diameter
  94    values, and we don't want rounding error to spoil this) */
  95 static double rect_diameter(int n, const double *w, const params *p)
  96 {
  97      int i;
  98      if (p->which_diam == 0) { /* Jones measure */
  99           double sum = 0;
 100           for (i = 0; i < n; ++i)
 101                sum += w[i] * w[i];
 102           /* distance from center to a vertex */
 103           return ((float) (sqrt(sum) * 0.5));
 104      }
 105      else { /* Gablonsky measure */
 106           double maxw = 0;
 107           for (i = 0; i < n; ++i)
 108                if (w[i] > maxw)
 109                     maxw = w[i];
 110           /* half-width of longest side */
 111           return ((float) (maxw * 0.5));
 112      }
 113 }
 114
 115 #define ALLOC_RECT(rect, L) if (!(rect = (double*) malloc(sizeof(double)*(L)))) return NLOPT_OUT_OF_MEMORY
 116
 117 static double *fv_qsort = 0;
 118 static int sort_fv_compare(const void *a_, const void *b_)
 119 {
 120      int a = *((const int *) a_), b = *((const int *) b_);
 121      double fa = MIN(fv_qsort[2*a], fv_qsort[2*a+1]);
 122      double fb = MIN(fv_qsort[2*b], fv_qsort[2*b+1]);
 123      if (fa < fb)
 124           return -1;
 125      else if (fa > fb)
 126           return +1;
 127      else
 128           return 0;
 129 }
 130 static void sort_fv(int n, double *fv, int *isort)
 131 {
 132      int i;
 133      for (i = 0; i < n; ++i) isort[i] = i;
 134      fv_qsort = fv; /* not re-entrant, sigh... */
 135      qsort(isort, (unsigned) n, sizeof(int), sort_fv_compare);
 136      fv_qsort = 0;
 137 }
 138
 139 static double function_eval(const double *x, params *p) {
 140      double f = p->f(p->n, x, NULL, p->f_data);
 141      if (f < p->minf) {
 142           p->minf = f;
 143           memcpy(p->xmin, x, sizeof(double) * p->n);
 144      }
 145      p->stop->nevals++;
 146      return f;
 147 }
 148 #define FUNCTION_EVAL(fv,x,p,freeonerr) fv = function_eval(x, p); if (p->minf < p->stop->minf_max) { free(freeonerr); return NLOPT_MINF_MAX_REACHED; } else if (nlopt_stop_evals((p)->stop)) { free(freeonerr); return NLOPT_MAXEVAL_REACHED; } else if (nlopt_stop_time((p)->stop)) { free(freeonerr); return NLOPT_MAXTIME_REACHED; }
 149
 150 #define THIRD (0.3333333333333333333333)
 151
 152 #define EQUAL_SIDE_TOL 5e-2 /* tolerance to equate side sizes */
 153
 154 /* divide rectangle idiv in the list p->rects */
 155 static nlopt_result divide_rect(double *rdiv, params *p)
 156 {
 157      int i;
 158      const const int n = p->n;
 159      const int L = p->L;
 160      double *c = rdiv + 3; /* center of rect to divide */
 161      double *w = c + n; /* widths of rect to divide */
 162      double wmax = w[0];
 163      int imax = 0, nlongest = 0;
 164      rb_node *node;
 165
 166      for (i = 1; i < n; ++i)
 167           if (w[i] > wmax)
 168                wmax = w[imax = i];
 169      for (i = 0; i < n; ++i)
 170           if (wmax - w[i] <= wmax * EQUAL_SIDE_TOL)
 171                ++nlongest;
 172      if (p->which_div == 1 || (p->which_div == 0 && nlongest == n)) {
 173           /* trisect all longest sides, in increasing order of the average
 174              function value along that direction */
 175           double *fv = p->work;
 176           int *isort = p->iwork;
 177           for (i = 0; i < n; ++i) {
 178                if (wmax - w[i] <= wmax * EQUAL_SIDE_TOL) {
 179                     double csave = c[i];
 180                     c[i] = csave - w[i] * THIRD;
 181                     FUNCTION_EVAL(fv[2*i], c, p, 0);
 182                     c[i] = csave + w[i] * THIRD;
 183                     FUNCTION_EVAL(fv[2*i+1], c, p, 0);
 184                     c[i] = csave;
 185                }
 186                else {
 187                     fv[2*i] = fv[2*i+1] = HUGE_VAL;
 188                }
 189           }
 190           sort_fv(n, fv, isort);
 191           if (!(node = rb_tree_find(&p->rtree, rdiv)))
 192                return NLOPT_FAILURE;
 193           for (i = 0; i < nlongest; ++i) {
 194                int k;
 195                w[isort[i]] *= THIRD;
 196                rdiv[0] = rect_diameter(n, w, p);
 197                rdiv[2] = p->age++;
 198                node = rb_tree_resort(&p->rtree, node);
 199                for (k = 0; k <= 1; ++k) {
 200                     double *rnew;
 201                     ALLOC_RECT(rnew, L);
 202                     memcpy(rnew, rdiv, sizeof(double) * L);
 203                     rnew[3 + isort[i]] += w[isort[i]] * (2*k-1);
 204                     rnew[1] = fv[2*isort[i]+k];
 205                     rnew[2] = p->age++;
 206                     if (!rb_tree_insert(&p->rtree, rnew)) {
 207                          free(rnew);
 208                          return NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 209                     }
 210                }
 211           }
 212      }
 213      else {
 214           int k;
 215           if (nlongest > 1 && p->which_div == 2) {
 216                /* randomly choose longest side */
 217                i = nlopt_iurand(nlongest);
 218                for (k = 0; k < n; ++k)
 219                     if (wmax - w[k] <= wmax * EQUAL_SIDE_TOL) {
 220                          if (!i) { i = k; break; }
 221                          --i;
 222                     }
 223           }
 224           else
 225                i = imax; /* trisect longest side */
 226           if (!(node = rb_tree_find(&p->rtree, rdiv)))
 227                return NLOPT_FAILURE;
 228           w[i] *= THIRD;
 229           rdiv[0] = rect_diameter(n, w, p);
 230           rdiv[2] = p->age++;
 231           node = rb_tree_resort(&p->rtree, node);
 232           for (k = 0; k <= 1; ++k) {
 233                double *rnew;
 234                ALLOC_RECT(rnew, L);
 235                memcpy(rnew, rdiv, sizeof(double) * L);
 236                rnew[3 + i] += w[i] * (2*k-1);
 237                FUNCTION_EVAL(rnew[1], rnew + 3, p, rnew);
 238                rnew[2] = p->age++;
 239                if (!rb_tree_insert(&p->rtree, rnew)) {
 240                     free(rnew);
 241                     return NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 242                }
 243           }
 244      }
 245      return NLOPT_SUCCESS;
 246 }
 247
 248 /***************************************************************************/
 249 /* Convex hull algorithm, used later to find the potentially optimal
 250    points.  What we really have in DIRECT is a "dynamic convex hull"
 251    problem, since we are dynamically adding/removing points and
 252    updating the hull, but I haven't implemented any of the fancy
 253    algorithms for this problem yet. */
 254
 255 /* Find the lower convex hull of a set of points (x,y) stored in a rb-tree
 256    of pointers to {x,y} arrays sorted in lexographic order by (x,y).
 257
 258    Unlike standard convex hulls, we allow redundant points on the hull,
 259    and even allow duplicate points if allow_dups is nonzero.
 260
 261    The return value is the number of points in the hull, with pointers
 262    stored in hull[i] (should be an array of length >= t->N).
 263 */
 264 static int convex_hull(rb_tree *t, double **hull, int allow_dups)
 265 {
 266      int nhull = 0;
 267      double minslope;
 268      double xmin, xmax, yminmin, ymaxmin;
 269      rb_node *n, *nmax;
 270
 271      /* Monotone chain algorithm [Andrew, 1979]. */
 272
 273      n = rb_tree_min(t);
 274      if (!n) return 0;
 275      nmax = rb_tree_max(t);
 276
 277      xmin = n->k[0];
 278      yminmin = n->k[1];
 279      xmax = nmax->k[0];
 280
 281      if (allow_dups)
 282           do { /* include any duplicate points at (xmin,yminmin) */
 283                hull[nhull++] = n->k;
 284                n = rb_tree_succ(n);
 285           } while (n && n->k[0] == xmin && n->k[1] == yminmin);
 286      else
 287           hull[nhull++] = n->k;
 288
 289      if (xmin == xmax) return nhull;
 290
 291      /* set nmax = min mode with x == xmax */
 292 #if 0
 293      while (nmax->k[0] == xmax)
 294           nmax = rb_tree_pred(nmax); /* non-NULL since xmin != xmax */
 295      nmax = rb_tree_succ(nmax);
 296 #else
 297      /* performance hack (see also below) */
 298      {
 299           double kshift[2];
 300           kshift[0] = xmax * (1 - 1e-13);
 301           kshift[1] = -HUGE_VAL;
 302           nmax = rb_tree_find_gt(t, kshift); /* non-NULL since xmin != xmax */
 303      }
 304 #endif
 305
 306      ymaxmin = nmax->k[1];
 307      minslope = (ymaxmin - yminmin) / (xmax - xmin);
 308
 309      /* set n = first node with x != xmin */
 310 #if 0
 311      while (n->k[0] == xmin)
 312           n = rb_tree_succ(n); /* non-NULL since xmin != xmax */
 313 #else
 314      /* performance hack (see also below) */
 315      {
 316           double kshift[2];
 317           kshift[0] = xmin * (1 + 1e-13);
 318           kshift[1] = -HUGE_VAL;
 319           n = rb_tree_find_gt(t, kshift); /* non-NULL since xmin != xmax */
 320      }
 321 #endif
 322
 323      for (; n != nmax; n = rb_tree_succ(n)) {
 324           double *k = n->k;
 325           if (k[1] > yminmin + (k[0] - xmin) * minslope)
 326                continue;
 327
 328           /* performance hack: most of the points in DIRECT lie along
 329              vertical lines at a few x values, and we can exploit this */
 330           if (nhull && k[0] == hull[nhull - 1][0]) { /* x == previous x */
 331                if (k[1] > hull[nhull - 1][1]) {
 332                     double kshift[2];
 333                     /* because of the round to float in rect_diameter, above,
 334                        it shouldn't be possible for two diameters (x values)
 335                        to have a fractional difference < 1e-13.  Note
 336                        that k[0] > 0 always in DIRECT */
 337                     kshift[0] = k[0] * (1 + 1e-13);
 338                     kshift[1] = -HUGE_VAL;
 339                     n = rb_tree_pred(rb_tree_find_gt(t, kshift));
 340                     continue;
 341                }
 342                else { /* equal y values, add to hull */
 343                     if (allow_dups)
 344                          hull[nhull++] = k;
 345                     continue;
 346                }
 347           }
 348
 349           /* remove points until we are making a "left turn" to k */
 350           while (nhull > 1) {
 351                double *t1 = hull[nhull - 1], *t2;
 352
 353                /* because we allow equal points in our hull, we have
 354                   to modify the standard convex-hull algorithm slightly:
 355                   we need to look backwards in the hull list until we
 356                   find a point t2 != t1 */
 357                int it2 = nhull - 2;
 358                do {
 359                     t2 = hull[it2--];
 360                } while (it2 >= 0 && t2[0] == t1[0] && t2[1] == t1[1]);
 361                if (it2 < 0) break;
 362
 363                /* cross product (t1-t2) x (k-t2) > 0 for a left turn: */
 364                if ((t1[0]-t2[0]) * (k[1]-t2[1])
 365                    - (t1[1]-t2[1]) * (k[0]-t2[0]) >= 0)
 366                     break;
 367                --nhull;
 368           }
 369           hull[nhull++] = k;
 370      }
 371
 372      if (allow_dups)
 373           do { /* include any duplicate points at (xmax,ymaxmin) */
 374                hull[nhull++] = nmax->k;
 375                nmax = rb_tree_succ(nmax);
 376           } while (nmax && nmax->k[0] == xmax && n->k[1] == ymaxmin);
 377      else
 378           hull[nhull++] = nmax->k;
 379
 380      return nhull;
 381 }
 382
 383 /***************************************************************************/
 384
 385 static int small(double *w, params *p)
 386 {
 387      int i;
 388      for (i = 0; i < p->n; ++i)
 389           if (w[i] > p->stop->xtol_abs[i] &&
 390               w[i] > (p->ub[i] - p->lb[i]) * p->stop->xtol_rel)
 391                return 0;
 392      return 1;
 393 }
 394
 395 static nlopt_result divide_good_rects(params *p)
 396 {
 397      const int n = p->n;
 398      double **hull;
 399      int nhull, i, xtol_reached = 1, divided_some = 0;
 400      double magic_eps = p->magic_eps;
 401
 402      if (p->hull_len < p->rtree.N) {
 403           p->hull_len += p->rtree.N;
 404           p->hull = (double **) realloc(p->hull, sizeof(double*)*p->hull_len);
 405           if (!p->hull) return NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 406      }
 407      nhull = convex_hull(&p->rtree, hull = p->hull, p->which_opt != 1);
 408  divisions:
 409      for (i = 0; i < nhull; ++i) {
 410           double K1 = -HUGE_VAL, K2 = -HUGE_VAL, K;
 411           int im, ip;
 412
 413           /* find unequal points before (im) and after (ip) to get slope */
 414           for (im = i-1; im >= 0 && hull[im][0] == hull[i][0]; --im);
 415           for (ip = i+1; ip < nhull && hull[ip][0] == hull[i][0]; ++ip);
 416
 417           if (im >= 0)
 418                K1 = (hull[i][1] - hull[im][1]) / (hull[i][0] - hull[im][0]);
 419           if (ip < nhull)
 420                K1 = (hull[i][1] - hull[ip][1]) / (hull[i][0] - hull[ip][0]);
 421           K = MAX(K1, K2);
 422           if (hull[i][1] - K * hull[i][0]
 423               <= p->minf - magic_eps * fabs(p->minf) || ip == nhull) {
 424                /* "potentially optimal" rectangle, so subdivide */
 425                nlopt_result ret = divide_rect(hull[i], p);
 426                divided_some = 1;
 427                if (ret != NLOPT_SUCCESS) return ret;
 428                xtol_reached = xtol_reached && small(hull[i] + 3+n, p);
 429           }
 430
 431           /* for the DIRECT-L variant, we only divide one rectangle out
 432              of all points with equal diameter and function values
 433              ... note that for p->which_opt == 1, i == ip-1 should be a no-op
 434                  anyway, since we set allow_dups=0 in convex_hull above */
 435           if (p->which_opt == 1)
 436                i = ip - 1; /* skip to next unequal point for next iteration */
 437           else if (p->which_opt == 2) /* like DIRECT-L but randomized */
 438                i += nlopt_iurand(ip - i); /* possibly do another equal pt */
 439      }
 440      if (!divided_some) {
 441           if (magic_eps != 0) {
 442                magic_eps = 0;
 443                goto divisions; /* try again */
 444           }
 445           else { /* WTF? divide largest rectangle with smallest f */
 446                /* (note that this code actually gets called from time
 447                   to time, and the heuristic here seems to work well,
 448                   but I don't recall this situation being discussed in
 449                   the references?) */
 450                rb_node *max = rb_tree_max(&p->rtree);
 451                rb_node *pred = max;
 452                double wmax = max->k[0];
 453                do { /* note: this loop is O(N) worst-case time */
 454                     max = pred;
 455                     pred = rb_tree_pred(max);
 456                } while (pred && pred->k[0] == wmax);
 457                return divide_rect(max->k, p);
 458           }
 459      }
 460      return xtol_reached ? NLOPT_XTOL_REACHED : NLOPT_SUCCESS;
 461 }
 462
 463 /***************************************************************************/
 464
 465 /* lexographic sort order (d,f,age) of hyper-rects, for red-black tree */
 466 int cdirect_hyperrect_compare(double *a, double *b)
 467 {
 468      if (a[0] < b[0]) return -1;
 469      if (a[0] > b[0]) return +1;
 470      if (a[1] < b[1]) return -1;
 471      if (a[1] > b[1]) return +1;
 472      if (a[2] < b[2]) return -1;
 473      if (a[2] > b[2]) return +1;
 474      return (int) (a - b); /* tie-breaker, shouldn't be needed */
 475 }
 476
 477 /***************************************************************************/
 478
 479 nlopt_result cdirect_unscaled(int n, nlopt_func f, void *f_data,
 480                               const double *lb, const double *ub,
 481                               double *x,
 482                               double *minf,
 483                               nlopt_stopping *stop,
 484                               double magic_eps, int which_alg)
 485 {
 486      params p;
 487      int i;
 488      double *rnew;
 489      nlopt_result ret = NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 490
 491      p.magic_eps = magic_eps;
 492      p.which_diam = which_alg % 3;
 493      p.which_div = (which_alg / 3) % 3;
 494      p.which_opt = (which_alg / (3*3)) % 3;
 495      p.lb = lb; p.ub = ub;
 496      p.stop = stop;
 497      p.n = n;
 498      p.L = 2*n+3;
 499      p.f = f;
 500      p.f_data = f_data;
 501      p.xmin = x;
 502      p.minf = HUGE_VAL;
 503      p.work = 0;
 504      p.iwork = 0;
 505      p.hull = 0;
 506      p.age = 0;
 507
 508      rb_tree_init(&p.rtree, cdirect_hyperrect_compare);
 509
 510      p.work = (double *) malloc(sizeof(double) * (2*n));
 511      if (!p.work) goto done;
 512      p.iwork = (int *) malloc(sizeof(int) * n);
 513      if (!p.iwork) goto done;
 514      p.hull_len = 128; /* start with a reasonable number */
 515      p.hull = (double **) malloc(sizeof(double *) * p.hull_len);
 516      if (!p.hull) goto done;
 517
 518      if (!(rnew = (double *) malloc(sizeof(double) * p.L))) goto done;
 519      for (i = 0; i < n; ++i) {
 520           rnew[3+i] = 0.5 * (lb[i] + ub[i]);
 521           rnew[3+n+i] = ub[i] - lb[i];
 522      }
 523      rnew[0] = rect_diameter(n, rnew+3+n, &p);
 524      rnew[1] = function_eval(rnew+3, &p);
 525      rnew[2] = p.age++;
 526      if (!rb_tree_insert(&p.rtree, rnew)) {
 527           free(rnew);
 528           goto done;
 529      }
 530
 531      ret = divide_rect(rnew, &p);
 532      if (ret != NLOPT_SUCCESS) goto done;
 533
 534      while (1) {
 535           double minf0 = p.minf;
 536           ret = divide_good_rects(&p);
 537           if (ret != NLOPT_SUCCESS) goto done;
 538           if (p.minf < minf0 && nlopt_stop_f(p.stop, p.minf, minf0)) {
 539                ret = NLOPT_FTOL_REACHED;
 540                goto done;
 541           }
 542      }
 543
 544  done:
 545      rb_tree_destroy_with_keys(&p.rtree);
 546      free(p.hull);
 547      free(p.iwork);
 548      free(p.work);
 549
 550      *minf = p.minf;
 551      return ret;
 552 }
 553
 554 /* in the conventional DIRECT-type algorithm, we first rescale our
 555    coordinates to a unit hypercube ... we do this simply by
 556    wrapping cdirect() around cdirect_unscaled(). */
 557
 558 double cdirect_uf(int n, const double *xu, double *grad, void *d_)
 559 {
 560      cdirect_uf_data *d = (cdirect_uf_data *) d_;
 561      double f;
 562      int i;
 563      for (i = 0; i < n; ++i)
 564           d->x[i] = d->lb[i] + xu[i] * (d->ub[i] - d->lb[i]);
 565      f = d->f(n, d->x, grad, d->f_data);
 566      if (grad)
 567           for (i = 0; i < n; ++i)
 568                grad[i] *= d->ub[i] - d->lb[i];
 569      return f;
 570 }
 571
 572 nlopt_result cdirect(int n, nlopt_func f, void *f_data,
 573                      const double *lb, const double *ub,
 574                      double *x,
 575                      double *minf,
 576                      nlopt_stopping *stop,
 577                      double magic_eps, int which_alg)
 578 {
 579      cdirect_uf_data d;
 580      nlopt_result ret;
 581      const double *xtol_abs_save;
 582      int i;
 583
 584      d.f = f; d.f_data = f_data; d.lb = lb; d.ub = ub;
 585      d.x = (double *) malloc(sizeof(double) * n*4);
 586      if (!d.x) return NLOPT_OUT_OF_MEMORY;
 587
 588      for (i = 0; i < n; ++i) {
 589           x[i] = (x[i] - lb[i]) / (ub[i] - lb[i]);
 590           d.x[n+i] = 0;
 591           d.x[2*n+i] = 1;
 592           d.x[3*n+i] = stop->xtol_abs[i] / (ub[i] - lb[i]);
 593      }
 594      xtol_abs_save = stop->xtol_abs;
 595      stop->xtol_abs = d.x + 3*n;
 596      ret = cdirect_unscaled(n, cdirect_uf, &d, d.x+n, d.x+2*n, x, minf, stop,
 597                             magic_eps, which_alg);
 598      stop->xtol_abs = xtol_abs_save;
 599      for (i = 0; i < n; ++i)
 600           x[i] = lb[i]+ x[i] * (ub[i] - lb[i]);
 601      free(d.x);
 602      return ret;
 603 }