api/nlopt.3

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   2 .\" Copyright (c) 2007 Massachusetts Institute of Technology
   3 .\"
   4 .\" Copying and distribution of this file, with or without modification,
   5 .\" are permitted in any medium without royalty provided the copyright
   6 .\" notice and this notice are preserved.
   7 .\"
   8 .TH NLOPT 3  2007-08-23 "MIT" "NLopt programming manual"
   9 .SH NAME
  10 nlopt \- Nonlinear optimization library
  11 .SH SYNOPSIS
  12 .nf
  13 .B #include <nlopt.h>
  14 .sp
  15 .BI "nlopt_opt " "opt" " = nlopt_create(" "algorithm" , " n" );
  16 .BI "nlopt_set_min_objective(" "opt" , " f" , " f_data" );
  17 .BI "nlopt_set_ftol_rel(" "opt" , " tol");
  18 .BI "..."
  19 .BI "nlopt_optimize(" "opt" , " x " , " &opt_f" );
  20 .BI "nlopt_destroy(" "opt" );
  21 .sp
  22 The "..." indicates any number of calls to NLopt functions, below, to
  23 set parameters of the optimization, constraints, and stopping
  24 criteria.  Here, \fBnlopt_set_ftol_rel\fR is merely an example of a
  25 possible stopping criterion.  You should link the resulting program
  26 with the linker flags -lnlopt -lm on Unix.
  27 .fi
  28 .SH DESCRIPTION
  29 NLopt is a library for nonlinear optimization.  It attempts to
  30 minimize (or maximize) a given nonlinear objective function
  31 .I f
  32 of
  33 .I n
  34 design variables, using the specified
  35 .IR algorithm ,
  36 possibly subject to linear or nonlinear constraints.  The optimum
  37 function value found is returned in \fIopt_f\fR (type double) with the
  38 corresponding design variable values returned in the (double) array
  39 .I x
  40 of length
  41 .IR n .
  42 The input values in
  43 .I x
  44 should be a starting guess for the optimum.
  45 .sp
  46 The parameters of the optimization are controlled via the object
  47 .I opt
  48 of type
  49 .BR nlopt_opt ,
  50 which is created by the function
  51 .B nlopt_create
  52 and disposed of by
  53 .BR nlopt_destroy .
  54 By calling various functions in the NLopt library, one can specify
  55 stopping criteria (e.g., a relative tolerance on the objective
  56 function value is specified by
  57 .BR nlopt_set_ftol_rel ),
  58 upper and/or lower bounds on the design parameters
  59 .IR x ,
  60 and even arbitrary nonlinear inequality and equality constraints.
  61 .sp
  62 By changing the parameter
  63 .I algorithm
  64 among several predefined constants described below, one can switch easily
  65 between a variety of minimization algorithms.  Some of these algorithms
  66 require the gradient (derivatives) of the function to be supplied via
  67 .IR f ,
  68 and other algorithms do not require derivatives.  Some of the
  69 algorithms attempt to find a global optimum within the given bounds,
  70 and others find only a local optimum.  Most of the algorithms only
  71 handle the case where there are no nonlinear constraints.  The NLopt
  72 library is a wrapper around several free/open-source minimization
  73 packages, as well as some new implementations of published
  74 optimization algorithms.  You could, of course, compile and call these
  75 packages separately, and in some cases this will provide greater
  76 flexibility than is available via NLopt.  However, depending upon the
  77 specific function being optimized, the different algorithms will vary
  78 in effectiveness.  The intent of NLopt is to allow you to quickly
  79 switch between algorithms in order to experiment with them for your
  80 problem, by providing a simple unified interface to these subroutines.
  81 .SH OBJECTIVE FUNCTION
  82 The objective function is specified by calling one of:
  83 .sp
  84 .BI "  nlopt_result nlopt_set_min_objective(nlopt_opt " "opt" ,
  85 .br
  86 .BI "                                       nlopt_func " "f" ,
  87 .br
  88 .BI "                                       void* " "f_data" );
  89 .br
  90 .BI "  nlopt_result nlopt_set_max_objective(nlopt_opt " "opt" ,
  91 .br
  92 .BI "                                       nlopt_func " "f" ,
  93 .br
  94 .BI "                                       void* " "f_data" );
  95 .sp
  96 depending on whether one wishes to minimize or maximize the objective
  97 function
  98 .IR f ,
  99 respectively.  The function
 100 .I f
 101 should be of the form:
 102 .sp
 103 .BI "  double f(unsigned " "n" ,
 104 .br
 105 .BI "           const double* " "x" ,
 106 .br
 107 .BI "           double* " "grad" ,
 108 .br
 109 .BI "           void* " "f_data" );
 110 .sp
 111 The return value should be the value of the function at the point
 112 .IR x ,
 113 where
 114 .I x
 115 points to an array of length
 116 .I n
 117 of the design variables.  The dimension
 118 .I n
 119 is identical to the one passed to
 120 .BR nlopt_create .
 121 .sp
 122 In addition, if the argument
 123 .I grad
 124 is not NULL, then
 125 .I grad
 126 points to an array of length
 127 .I n
 128 which should (upon return) be set to the gradient of the function with
 129 respect to the design variables at
 130 .IR x .
 131 That is,
 132 .IR grad[i]
 133 should upon return contain the partial derivative df/dx[i],
 134 for 0 <= i < n, if
 135 .I grad
 136 is non-NULL.
 137 Not all of the optimization algorithms (below) use the gradient information:
 138 for algorithms listed as "derivative-free," the
 139 .I grad
 140 argument will always be NULL and need never be computed.  (For
 141 algorithms that do use gradient information, however,
 142 .I grad
 143 may still be NULL for some calls.)
 144 .sp
 145 The
 146 .I f_data
 147 argument is the same as the one passed to
 148 .B nlopt_set_min_objective
 149 or
 150 .BR nlopt_set_max_objective ,
 151 and may be used to pass any additional data through to the function.
 152 (That is, it may be a pointer to some caller-defined data
 153 structure/type containing information your function needs, which you
 154 convert from void* by a typecast.)
 155 .SH BOUND CONSTRAINTS
 156 Most of the algorithms in NLopt are designed for minimization of
 157 functions with simple bound constraints on the inputs.  That is, the
 158 input vectors x[i] are constrainted to lie in a hyperrectangle lb[i]
 159 <= x[i] <= ub[i] for 0 <= i < n.  These bounds are specified by
 160 passing arrays
 161 .I lb
 162 and
 163 .I ub
 164 of length
 165 .I n
 166 to one or both of the functions:
 167 .sp
 168 .BI "  nlopt_result nlopt_set_lower_bounds(nlopt_opt " "opt" ,
 169 .br
 170 .BI "                                      const double* " "lb" );
 171 .br
 172 .BI "  nlopt_result nlopt_set_upper_bounds(nlopt_opt " "opt" ,
 173 .br
 174 .BI "                                      const double* " "ub" );
 175 .sp
 176 If a lower/upper bound is not set, the default is no bound
 177 (unconstrained, i.e. a bound of infinity); it is possible to have
 178 lower bounds but not upper bounds or vice versa.  Alternatively, the
 179 user can call one of the above functions and explicitly pass a lower
 180 bound of -HUGE_VAL and/or an upper bound of +HUGE_VAL for some design
 181 variables to make them have no lower/upper bound, respectively.
 182 (HUGE_VAL is the standard C constant for a floating-point infinity,
 183 found in the math.h header file.)
 184 .sp
 185 Note, however, that some of the algorithms in NLopt, in particular
 186 most of the global-optimization algorithms, do not support unconstrained
 187 optimization and will return an error if you do not supply finite lower
 188 and upper bounds.
 189 .sp
 190 For convenience, the following two functions are supplied in order to
 191 set the lower/upper bounds for all design variables to a single
 192 constant (so that you don't have to fill an array with a constant value):
 193 .sp
 194 .BI "  nlopt_result nlopt_set_lower_bounds1(nlopt_opt " "opt" ,
 195 .br
 196 .BI "                                       double " "lb" );
 197 .br
 198 .BI "  nlopt_result nlopt_set_upper_bounds1(nlopt_opt " "opt" ,
 199 .br
 200 .BI "                                       double " "ub" );
 201 .sp
 202 .SH NONLINEAR CONSTRAINTS
 203 Several of the algorithms in NLopt (MMA and ORIG_DIRECT) also support
 204 arbitrary nonlinear inequality constraints, and some also allow
 205 nonlinear equality constraints (COBYLA, ISRES, and AUGLAG).  For these
 206 algorithms, you can specify as many nonlinear constraints as you wish
 207 by calling the following functions multiple times.
 208 .sp
 209 In particular, a nonlinear inequality constraint of the form
 210 \fIfc\fR(\fIx\fR) <= 0, where the function
 211 .I fc
 212 is of the same form as the objective function described above,
 213 can be specified by calling:
 214 .sp
 215 .BI "  nlopt_result nlopt_add_inequality_constraint(nlopt_opt " "opt" ,
 216 .br
 217 .BI "                                               nlopt_func " "fc" ,
 218 .br
 219 .BI "                                               void* " "fc_data" ,
 220 .br
 221 .BI "                                               double " "tol" );
 222 .sp
 223 Just as for the objective function,
 224 .I fc_data
 225 is a pointer to arbitrary user data that will be passed through to the
 226 .I fc
 227 function whenever it is called.  The parameter
 228 .I tol
 229 is a tolerance that is used for the purpose of stopping criteria only:
 230 a point
 231 .I x
 232 is considered feasible for judging whether to stop the optimization if
 233 \fIfc\fR(\fIx\fR) <= \fItol\fR.  A tolerance of zero means that NLopt
 234 will try not to consider any \fIx\fR to be converged unless
 235 .I fc
 236 is strictly non-positive; generally, at least a small positive tolerance is
 237 advisable to reduce sensitivity to rounding errors.
 238
 239 A nonlinear equality constraint of the form
 240 \fIh\fR(\fIx\fR) = 0, where the function
 241 .I h
 242 is of the same form as the objective function described above,
 243 can be specified by calling:
 244 .sp
 245 .BI "  nlopt_result nlopt_add_equality_constraint(nlopt_opt " "opt" ,
 246 .br
 247 .BI "                                             nlopt_func " "h" ,
 248 .br
 249 .BI "                                             void* " "h_data" ,
 250 .br
 251 .BI "                                             double " "tol" );
 252 .sp
 253 Just as for the objective function,
 254 .I h_data
 255 is a pointer to arbitrary user data that will be passed through to the
 256 .I h
 257 function whenever it is called.  The parameter
 258 .I tol
 259 is a tolerance that is used for the purpose of stopping criteria only:
 260 a point
 261 .I x
 262 is considered feasible for judging whether to stop the optimization if
 263 |\fIh\fR(\fIx\fR)| <= \fItol\fR.  For equality constraints, a small
 264 positive tolerance is strongly advised in order to allow NLopt to
 265 converge even if the equality constraint is slightly nonzero.
 266 .sp
 267 (For any algorithm listed as "derivative-free" below, the
 268 .I grad
 269 argument to \fIfc\fR or \fIh\fR will always be NULL and need never be
 270 computed.)
 271 .sp
 272 To remove all of the inequality and/or equality constraints from
 273 a given problem \fIopt\fR, you can call the following functions:
 274 .sp
 275 .BI "  nlopt_result nlopt_remove_inequality_constraints(nlopt_opt " "opt" );
 276 .br
 277 .BI "  nlopt_result nlopt_remove_equality_constraints(nlopt_opt " "opt" );
 278 .SH ALGORITHMS
 279 The
 280 .I algorithm
 281 parameter specifies the optimization algorithm (for more detail on
 282 these, see the README files in the source-code subdirectories), and
 283 can take on any of the following constant values.
 284 .sp
 285 Constants with
 286 .B _G{N,D}_
 287 in their names
 288 refer to global optimization methods, whereas
 289 .B _L{N,D}_
 290 refers to local optimization methods (that try to find a local optimum
 291 starting from the starting guess
 292 .IR x ).
 293 Constants with
 294 .B _{G,L}N_
 295 refer to non-gradient (derivative-free) algorithms that do not require the
 296 objective function to supply a gradient, whereas
 297 .B _{G,L}D_
 298 refers to derivative-based algorithms that require the objective
 299 function to supply a gradient.  (Especially for local optimization,
 300 derivative-based algorithms are generally superior to derivative-free
 301 ones: the gradient is good to have
 302 .I if
 303 you can compute it cheaply, e.g. via an adjoint method.)
 304 .sp
 305 The algorithm specified for a given problem
 306 .I opt
 307 is returned by the function:
 308 .sp
 309 .BI "  nlopt_algorithm nlopt_get_algorithm(nlopt_opt " "opt" );
 310 .sp
 311 The available algorithms are:
 312 .TP
 313 .B NLOPT_GN_DIRECT_L
 314 Perform a global (G) derivative-free (N) optimization using the
 315 DIRECT-L search algorithm by Jones et al. as modified by Gablonsky et
 316 al. to be more weighted towards local search.  Does not support
 317 unconstrainted optimization.  There are also several other variants of
 318 the DIRECT algorithm that are supported:
 319 .BR NLOPT_GLOBAL_DIRECT ,
 320 which is the original DIRECT algorithm;
 321 .BR NLOPT_GLOBAL_DIRECT_L_RAND ,
 322 a slightly randomized version of DIRECT-L that may be better in
 323 high-dimensional search spaces;
 324 .BR NLOPT_GLOBAL_DIRECT_NOSCAL ,
 325 .BR NLOPT_GLOBAL_DIRECT_L_NOSCAL ,
 326 and
 327 .BR NLOPT_GLOBAL_DIRECT_L_RAND_NOSCAL ,
 328 which are versions of DIRECT where the dimensions are not rescaled to
 329 a unit hypercube (which means that dimensions with larger bounds are
 330 given more weight).
 331 .TP
 332 .B NLOPT_GN_ORIG_DIRECT_L
 333 A global (G) derivative-free optimization using the DIRECT-L algorithm
 334 as above, along with
 335 .B NLOPT_GN_ORIG_DIRECT
 336 which is the original DIRECT algorithm.  Unlike
 337 .B NLOPT_GN_DIRECT_L
 338 above, these two algorithms refer to code based on the original
 339 Fortran code of Gablonsky et al., which has some hard-coded
 340 limitations on the number of subdivisions etc. and does not support
 341 all of the NLopt stopping criteria, but on the other hand it supports
 342 arbitrary nonlinear inequality constraints.
 343 .TP
 344 .B NLOPT_GD_STOGO
 345 Global (G) optimization using the StoGO algorithm by Madsen et al.  StoGO
 346 exploits gradient information (D) (which must be supplied by the
 347 objective) for its local searches, and performs the global search by a
 348 branch-and-bound technique.  Only bound-constrained optimization
 349 is supported.  There is also another variant of this algorithm,
 350 .BR NLOPT_GD_STOGO_RAND ,
 351 which is a randomized version of the StoGO search scheme.  The StoGO
 352 algorithms are only available if NLopt is compiled with C++ code
 353 enabled, and should be linked via -lnlopt_cxx instead of -lnlopt (via
 354 a C++ compiler, in order to link the C++ standard libraries).
 355 .TP
 356 .B NLOPT_LN_NELDERMEAD
 357 Perform a local (L) derivative-free (N) optimization, starting at
 358 .IR x ,
 359 using the Nelder-Mead simplex algorithm, modified to support bound
 360 constraints.  Nelder-Mead, while popular, is known to occasionally
 361 fail to converge for some objective functions, so it should be used
 362 with caution.  Anecdotal evidence, on the other hand, suggests that it
 363 works fairly well for some cases that are hard to handle otherwise,
 364 e.g. noisy/discontinuous objectives.  See also
 365 .B NLOPT_LN_SBPLX
 366 below.
 367 .TP
 368 .B NLOPT_LN_SBPLX
 369 Perform a local (L) derivative-free (N) optimization, starting at
 370 .IR x ,
 371 using an algorithm based on the Subplex algorithm of Rowan et al.,
 372 which is an improved variant of Nelder-Mead (above).  Our
 373 implementation does not use Rowan's original code, and has some minor
 374 modifications such as explicit support for bound constraints.  (Like
 375 Nelder-Mead, Subplex often works well in practice, even for
 376 noisy/discontinuous objectives, but there is no rigorous guarantee that it
 377 will converge.)
 378 .TP
 379 .B NLOPT_LN_PRAXIS
 380 Local (L) derivative-free (N) optimization using the principal-axis
 381 method, based on code by Richard Brent.  Designed for unconstrained
 382 optimization, although bound constraints are supported too (via the
 383 inefficient method of returning +Inf when the constraints are violated).
 384 .TP
 385 .B NLOPT_LD_LBFGS
 386 Local (L) gradient-based (D) optimization using the limited-memory BFGS
 387 (L-BFGS) algorithm.  (The objective function must supply the
 388 gradient.)  Unconstrained optimization is supported in addition to
 389 simple bound constraints (see above).  Based on an implementation by
 390 Luksan et al.
 391 .TP
 392 .B NLOPT_LD_VAR2
 393 Local (L) gradient-based (D) optimization using a shifted limited-memory
 394 variable-metric method based on code by Luksan et al., supporting both
 395 unconstrained and bound-constrained optimization.
 396 .B NLOPT_LD_VAR2
 397 uses a rank-2 method, while
 398 .B .B NLOPT_LD_VAR1
 399 is another variant using a rank-1 method.
 400 .TP
 401 .B NLOPT_LD_TNEWTON_PRECOND_RESTART
 402 Local (L) gradient-based (D) optimization using an
 403 LBFGS-preconditioned truncated Newton method with steepest-descent
 404 restarting, based on code by Luksan et al., supporting both
 405 unconstrained and bound-constrained optimization.  There are several
 406 other variants of this algorithm:
 407 .B NLOPT_LD_TNEWTON_PRECOND
 408 (same without restarting),
 409 .B NLOPT_LD_TNEWTON_RESTART
 410 (same without preconditioning), and
 411 .B NLOPT_LD_TNEWTON
 412 (same without restarting or preconditioning).
 413 .TP
 414 .B NLOPT_GN_CRS2_LM
 415 Global (G) derivative-free (N) optimization using the controlled random
 416 search (CRS2) algorithm of Price, with the "local mutation" (LM)
 417 modification suggested by Kaelo and Ali.
 418 .TP
 419 .B NLOPT_GN_ISRES
 420 Global (G) derivative-free (N) optimization using a genetic algorithm
 421 (mutation and differential evolution), using a stochastic ranking to
 422 handle nonlinear inequality and equality constraints as suggested by
 423 Runarsson and Yao.
 424 .TP
 425 \fBNLOPT_G_MLSL_LDS\fR, \fBNLOPT_G_MLSL\fR
 426 Global (G) optimization using the multi-level single-linkage (MLSL)
 427 algorithm with a low-discrepancy sequence (LDS) or pseudorandom
 428 numbers, respectively.  This algorithm executes a low-discrepancy
 429 or pseudorandom sequence of local searches, with a clustering
 430 heuristic to avoid multiple local searches for the same local optimum.
 431 The local search algorithm must be specified, along with termination
 432 criteria/tolerances for the local searches, by
 433 \fInlopt_set_local_optimizer\fR.  (This subsidiary algorithm can be
 434 with or without derivatives, and determines whether the objective
 435 function needs gradients.)
 436 .TP
 437 .B NLOPT_LD_MMA
 438 Local (L) gradient-based (D) optimization using the method of moving
 439 asymptotes (MMA), or rather a refined version of the algorithm as
 440 published by Svanberg (2002).  (NLopt uses an independent
 441 free-software/open-source implementation of Svanberg's algorithm.)
 442 The
 443 .B NLOPT_LD_MMA
 444 algorithm supports both bound-constrained and unconstrained optimization,
 445 and also supports an arbitrary number (\fIm\fR) of nonlinear constraints
 446 as described above.
 447 .TP
 448 .B NLOPT_LN_COBYLA
 449 Local (L) derivative-free (N) optimization using the COBYLA algorithm
 450 of Powell (Constrained Optimization BY Linear Approximations).
 451 The
 452 .B NLOPT_LN_COBYLA
 453 algorithm supports both bound-constrained and unconstrained
 454 optimization, and also supports an arbitrary number (\fIm\fR) of
 455 nonlinear inequality/equality constraints as described above.
 456 .TP
 457 .B NLOPT_LN_NEWUOA
 458 Local (L) derivative-free (N) optimization using a variant of the
 459 NEWUOA algorithm of Powell, based on successive quadratic
 460 approximations of the objective function. We have modified the
 461 algorithm to support bound constraints.  The original NEWUOA algorithm
 462 is also available, as
 463 .BR NLOPT_LN_NEWUOA ,
 464 but this algorithm ignores the bound constraints
 465 .I lb
 466 and
 467 .IR ub ,
 468 and so it should only be used for unconstrained problems.  Mostly
 469 superseded by BOBYQA.
 470 .TP
 471 .B NLOPT_LN_BOBYQA
 472 Local (L) derivative-free (N) optimization using the BOBYQA algorithm
 473 of Powell, based on successive quadratic approximations of the
 474 objective function, supporting bound constraints.
 475 .TP
 476 .B NLOPT_AUGLAG
 477 Optimize an objective with nonlinear inequality/equality constraints
 478 via an unconstrained (or bound-constrained) optimization algorithm,
 479 using a gradually increasing "augmented Lagrangian" penalty for
 480 violated constraints.  Requires you to specify another optimization
 481 algorithm for optimizing the objective+penalty function, using
 482 \fInlopt_set_local_optimizer\fR.  (This subsidiary algorithm can be
 483 global or local and with or without derivatives, but you must specify
 484 its own termination criteria.)  A variant, \fBNLOPT_AUGLAG_EQ\fR, only
 485 uses the penalty approach for equality constraints, while inequality
 486 constraints are handled directly by the subsidiary algorithm (restricting
 487 the choice of subsidiary algorithms to those that can handle inequality
 488 constraints).
 489 .SH STOPPING CRITERIA
 490 Multiple stopping criteria for the optimization are supported, as
 491 specified by the functions to modify a given optimization problem
 492 .BR opt .
 493 The optimization halts whenever any one of these criteria is
 494 satisfied.  In some cases, the precise interpretation of the stopping
 495 criterion depends on the optimization algorithm above (although we
 496 have tried to make them as consistent as reasonably possible), and
 497 some algorithms do not support all of the stopping criteria.
 498 .sp
 499 Important: you do not need to use all of the stopping criteria!  In most
 500 cases, you only need one or two, and can omit the remainder (all criteria
 501 are disabled by default).
 502 .TP
 503 .BI "nlopt_result nlopt_set_stopval(nlopt_opt " "opt" ,
 504 .br
 505 .BI "                        double " stopval );
 506 .sp
 507 Stop when an objective value of at least
 508 .I stopval
 509 is found: stop minimizing when a value <= \fIstopval\fR is found, or
 510 stop maximizing when a value >= \fIstopval\fR is found.  (Setting
 511 \fIstopval\fR to -HUGE_VAL for minimizing or +HUGE_VAL for maximizing
 512 disables this stopping criterion.)
 513 .TP
 514 .BI "nlopt_result nlopt_set_ftol_rel(nlopt_opt " "opt" ,
 515 .br
 516 .BI "                         double " tol );
 517 .sp
 518 Set relative tolerance on function value: stop when an optimization step
 519 (or an estimate of the optimum) changes the function value by less
 520 than
 521 .I tol
 522 multiplied by the absolute value of the function value.  (If there is any chance that your optimum function value is close to zero, you might want to set an absolute tolerance with
 523 .B nlopt_set_ftol_abs
 524 as well.)  Criterion is disabled if \fItol\fR is non-positive.
 525 .TP
 526 .BI "nlopt_result nlopt_set_ftol_abs(nlopt_opt " "opt" ,
 527 .br
 528 .BI "                         double " tol );
 529 .sp
 530 Set absolute tolerance on function value: stop when an optimization step
 531 (or an estimate of the optimum) changes the function value by less
 532 than
 533 .IR tol .
 534 Criterion is disabled if \fItol\fR is non-positive.
 535 .TP
 536 .BI "nlopt_result nlopt_set_xtol_rel(nlopt_opt " "opt" ,
 537 .br
 538 .BI "                         double " tol );
 539 .sp
 540 Set relative tolerance on design variables: stop when an optimization step
 541 (or an estimate of the optimum) changes every design variable by less
 542 than
 543 .I tol
 544 multiplied by the absolute value of the design variable.  (If there is
 545 any chance that an optimal design variable is close to zero, you
 546 might want to set an absolute tolerance with
 547 .B nlopt_set_xtol_abs
 548 as well.)  Criterion is disabled if \fItol\fR is non-positive.
 549 .TP
 550 .BI "nlopt_result nlopt_set_xtol_abs(nlopt_opt " "opt" ,
 551 .br
 552 .BI "                         const double* " tol );
 553 .sp
 554 Set absolute tolerances on design variables.  \fItol\fR is a pointer
 555 to an array of length
 556 .I
 557 n giving the tolerances: stop when an
 558 optimization step (or an estimate of the optimum) changes every design
 559 variable
 560 .IR x [i]
 561 by less than
 562 .IR tol [i].
 563 .sp
 564 For convenience, the following function may be used to set the absolute tolerances in all \fIn\fR design variables to the same value:
 565 .sp
 566 .BI "  nlopt_result nlopt_set_xtol_abs1(nlopt_opt " "opt" ,
 567 .br
 568 .BI "                                   double " tol );
 569 .sp
 570 Criterion is disabled if \fItol\fR is non-positive.
 571 .TP
 572 .BI "nlopt_result nlopt_set_maxeval(nlopt_opt " "opt" ,
 573 .br
 574 .BI "                        int " maxeval );
 575 .sp
 576 Stop when the number of function evaluations exceeds
 577 .IR maxeval .
 578 (This is not a strict maximum: the number of function evaluations may
 579 exceed
 580 .I maxeval
 581 slightly, depending upon the algorithm.)  Criterion is disabled
 582 if \fImaxeval\fR is non-positive.
 583 .TP
 584 .BI "nlopt_result nlopt_set_maxtime(nlopt_opt " "opt" ,
 585 .br
 586 .BI "                        double " maxtime );
 587 .sp
 588 Stop when the optimization time (in seconds) exceeds
 589 .IR maxtime .
 590 (This is not a strict maximum: the time may
 591 exceed
 592 .I maxtime
 593 slightly, depending upon the algorithm and on how slow your function
 594 evaluation is.)  Criterion is disabled if \fImaxtime\fR is non-positive.
 595 .SH RETURN VALUE
 596 Most of the NLopt functions return an enumerated constant
 597 of type
 598 .BR nlopt_result ,
 599 which takes on one of the following values:
 600 .SS Successful termination (positive return values):
 601 .TP
 602 .B NLOPT_SUCCESS
 603 Generic success return value.
 604 .TP
 605 .B NLOPT_STOPVAL_REACHED
 606 Optimization stopped because
 607 .I stopval
 608 (above) was reached.
 609 .TP
 610 .B NLOPT_FTOL_REACHED
 611 Optimization stopped because
 612 .I ftol_rel
 613 or
 614 .I ftol_abs
 615 (above) was reached.
 616 .TP
 617 .B NLOPT_XTOL_REACHED
 618 Optimization stopped because
 619 .I xtol_rel
 620 or
 621 .I xtol_abs
 622 (above) was reached.
 623 .TP
 624 .B NLOPT_MAXEVAL_REACHED
 625 Optimization stopped because
 626 .I maxeval
 627 (above) was reached.
 628 .TP
 629 .B NLOPT_MAXTIME_REACHED
 630 Optimization stopped because
 631 .I maxtime
 632 (above) was reached.
 633 .SS Error codes (negative return values):
 634 .TP
 635 .B NLOPT_FAILURE
 636 Generic failure code.
 637 .TP
 638 .B NLOPT_INVALID_ARGS
 639 Invalid arguments (e.g. lower bounds are bigger than upper bounds, an
 640 unknown algorithm was specified, etcetera).
 641 .TP
 642 .B NLOPT_OUT_OF_MEMORY
 643 Ran out of memory.
 644 .TP
 645 .B NLOPT_ROUNDOFF_LIMITED
 646 Halted because roundoff errors limited progress.
 647 .TP
 648 .B NLOPT_FORCED_STOP
 649 Halted because the user called \fBnlopt_force_stop\fR(\fIopt\fR) on
 650 the optimization's \fBnlopt_opt\fR object \fIopt\fR from the user's
 651 objective function.
 652 .SH LOCAL OPTIMIZER
 653 Some of the algorithms, especially MLSL and AUGLAG, use a different
 654 optimization algorithm as a subroutine, typically for local
 655 optimization.  You can change the local search algorithm and its
 656 tolerances by calling:
 657 .sp
 658 .BI "  nlopt_result nlopt_set_local_optimizer(nlopt_opt " "opt" ,
 659 .br
 660 .BI "                                         const nlopt_opt " "local_opt" );
 661 .sp
 662 Here, \fIlocal_opt\fR is another \fBnlopt_opt\fR object whose
 663 parameters are used to determine the local search algorithm and
 664 stopping criteria.  (The objective function, bounds, and
 665 nonlinear-constraint parameters of \fIlocal_opt\fR are ignored.)  The
 666 dimension \fIn\fR of \fIlocal_opt\fR must match that of \fIopt\fR.
 667 .sp
 668 This function makes a copy of the \fIlocal_opt\fR object, so you can
 669 freely destroy your original \fIlocal_opt\fR afterwards.
 670 .SH INITIAL STEP SIZE
 671 For derivative-free local-optimization algorithms, the optimizer must
 672 somehow decide on some initial step size to perturb \fIx\fR by when it
 673 begins the optimization.  This step size should be big enough that the
 674 value of the objective changes significantly, but not too big if you
 675 want to find the local optimum nearest to \fIx\fR.  By default, NLopt
 676 chooses this initial step size heuristically from the bounds,
 677 tolerances, and other information, but this may not always be the best
 678 choice.
 679 .sp
 680 You can modify the initial step size by calling:
 681 .sp
 682 .BI "  nlopt_result nlopt_set_initial_step(nlopt_opt " "opt" ,
 683 .br
 684 .BI "                                      const double* " "dx" );
 685 .sp
 686 Here, \fIdx\fR is an array of length \fIn\fR containing the (nonzero)
 687 initial step size for each component of the design parameters \fIx\fR.
 688 For convenience, if you want to set the step sizes in every direction
 689 to be the same value, you can instead call:
 690 .sp
 691 .BI "  nlopt_result nlopt_set_initial_step1(nlopt_opt " "opt" ,
 692 .br
 693 .BI "                                       double " "dx" );
 694 .SH STOCHASTIC POPULATION
 695 Several of the stochastic search algorithms (e.g., CRS, MLSL, and
 696 ISRES) start by generating some initial "population" of random points
 697 \fIx\fR.  By default, this initial population size is chosen
 698 heuristically in some algorithm-specific way, but the initial
 699 population can by changed by calling:
 700 .sp
 701 .BI "  nlopt_result nlopt_set_population(nlopt_opt " "opt" ,
 702 .br
 703 .BI "                                    unsigned " "pop" );
 704 .sp
 705 (A \fIpop\fR of zero implies that the heuristic default will be used.)
 706 .SH PSEUDORANDOM NUMBERS
 707 For stochastic optimization algorithms, we use pseudorandom numbers generated
 708 by the Mersenne Twister algorithm, based on code from Makoto Matsumoto.
 709 By default, the seed for the random numbers is generated from the system
 710 time, so that they will be different each time you run the program.  If
 711 you want to use deterministic random numbers, you can set the seed by
 712 calling:
 713 .sp
 714 .BI "            void nlopt_srand(unsigned long " "seed" );
 715 .sp
 716 Some of the algorithms also support using low-discrepancy sequences (LDS),
 717 sometimes known as quasi-random numbers.  NLopt uses the Sobol LDS, which
 718 is implemented for up to 1111 dimensions.
 719 .SH AUTHORS
 720 Written by Steven G. Johnson.
 721 .PP
 722 Copyright (c) 2007-2010 Massachusetts Institute of Technology.
 723 .SH "SEE ALSO"
 724 nlopt_minimize(3)