chiark / gitweb /
index 714578d..01297a8 100644 (file)
@@ -65,8 +65,8 @@
\newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
\newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }

+\newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
\newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
-\newcommand{\corrolary}[1]{ #1 \tag*{\mbox{\it Corrolary.}} }

%\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
\newcommand{\bigforall}{%
@@ -206,7 +206,7 @@ Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
}
-$\corrolary{ +\[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{ \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv \begin{cases} D \in \py : & D \le C \\ @@ -488,12 +488,20 @@ We will occasionally use X,Y s.t. \{X,Y\} = \{L,R\}. \text{otherwise} : & \false \end{cases} }$
-$\eqn{ Merge Ends }{ +\[ \eqn{ Removal Merge Ends }{ X \not\haspatch \p \land Y \haspatch \p \land - E \in \pendsof{X}{\py} + M \haspatch \p \implies - E \le Y + \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py} +}$
+$\eqn{ Addition Merge Ends }{ + X \not\haspatch \p \land + Y \haspatch \p \land + M \nothaspatch \p + \implies \left[ + \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y + \right] }$

\subsection{No Replay}
@@ -572,14 +580,40 @@ So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.

\subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}

-$C \haspatch \p \equiv C \nothaspatch M$.
+$C \haspatch \p \equiv M \nothaspatch \p$.

\proofstarts

-Merge Ends applies.
-
+One of the Merge Ends conditions applies.
+Recall that we are considering $D \in \py$.
$D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
+We will show for each of
+various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
+(which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
+
+Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
+Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
+$M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
+$M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.

-Consider $D = C$.
+Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
+$D \le Y$ so $D \le C$.
+$D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
+
+Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
+$D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
+$D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
+Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
+Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
+
+Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
+$D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
+and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
+Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
+
+Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
+By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
+
+$\qed$

\end{document}