merge.tex

   1 \section{Merge}
   2
   3 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
   4 \gathbegin
   5  C \hasparents \{ L, R \}
   6 \gathnext
   7  \patchof{C} = \patchof{L}
   8 \gathnext
   9  \mergeof{C}{L}{M}{R}
  10 \end{gather}
  11 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
  12
  13 This can also be used for dependency re-insertion, by setting
  14 $L \in \pn$, $R \in \pry$, $M = \baseof{R}$.
  15
  16 \subsection{Conditions}
  17 \[ \eqn{ Ingredients }{
  18  M \le L \land M \le R
  19 }\]
  20 \[ \eqn{ Tip Merge }{
  21  L \in \py \implies
  22    \begin{cases}
  23       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
  24               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
  25       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
  26       \text{otherwise} : & \false
  27    \end{cases}
  28 }\]
  29 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
  30     L \in \pn
  31    \implies
  32     R \nothaspatch \p
  33 }\]
  34 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
  35     X \not\haspatch \p \land
  36     M \haspatch \p \land
  37     Y \haspatch \p
  38   \implies
  39     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
  40 }\]
  41 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
  42     X \not\haspatch \p \land
  43     M \nothaspatch \p \land
  44     Y \haspatch \p
  45    \implies \left[
  46     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
  47    \right]
  48 }\]
  49 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
  50     \patchof{L} = \bot \equiv \patchof{R} = \bot
  51 }\]
  52
  53 \subsection{Non-Topbloke merges}
  54
  55 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
  56 (Foreign Merges, above).
  57 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
  58 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
  59 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
  60
  61 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
  62 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
  63 Merge Ends condition applies.
  64
  65 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
  66 is therefore consistent with our model.
  67
  68 \subsection{No Replay}
  69
  70 By definition of $\merge$,
  71 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
  72 So, by Ingredients,
  73 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
  74
  75 \subsection{Unique Base}
  76
  77 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
  78 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
  79 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
  80
  81 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
  82 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
  83 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
  84
  85 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
  86 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
  87
  88 \subsubsection{For $R \in \py$:}
  89
  90 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
  91 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
  92
  93 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
  94 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
  95 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
  96 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
  97 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
  98
  99 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 100
 101 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
 102 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 103 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 104 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 105 That is, $\baseof{C} = R$.
 106
 107 $\qed$
 108
 109 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 110
 111 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 112 This involves considering $D \in \py$.
 113
 114 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 115 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 116 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch for $L$).  So $D \neq C$.
 117 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 118
 119 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 120 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 121 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 122
 123 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 124
 125 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 126  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 127 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 128
 129 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 130 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 131 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 132
 133 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 134 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 135 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 136 OK for $C \haspatch \p$.
 137
 138 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 139 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 140 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 141 OK for $C \haspatch \p$.
 142
 143 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 144
 145 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 146
 147 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 148 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 149
 150 \proofstarts
 151
 152 One of the Merge Ends conditions applies.
 153 Recall that we are considering $D \in \py$.
 154 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 155 We will show for each of
 156 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 157 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 158
 159 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
 160 Self Inpatch for $L$, $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
 161 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
 162 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 163
 164 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
 165 $D \le Y$ so $D \le C$.
 166 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 167
 168 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
 169 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 170 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 171 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 172 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 173
 174 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
 175 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 176 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 177 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 178
 179 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
 180 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 181
 182 $\qed$
 183
 184 \subsection{Base Acyclic}
 185
 186 This applies when $C \in \pn$.
 187 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 188
 189 Consider some $D \in \py$.
 190
 191 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 192 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 193
 194 $\qed$
 195
 196 \subsection{Tip Contents}
 197
 198 We need worry only about $C \in \py$.
 199 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 200 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 201 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 202
 203 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 204 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 205 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 206 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 207 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 208
 209 We will consider an arbitrary commit $D$
 210 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 211
 212 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 213 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 214 \le C$.  OK.
 215
 216 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 217
 218 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 219 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
 220 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
 221 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 222 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 223
 224 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 225
 226 $D \neq C$.
 227
 228 By Tip Contents
 229 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 230 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 231
 232 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 233 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 234 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 235 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 236
 237 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
 238 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 239 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 240
 241 $\qed$
 242
 243 \subsection{Foreign Inclusion}
 244
 245 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 246 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 247 $D \isin L \equiv D \le L$;
 248 $D \isin M \equiv D \le M$;
 249 $D \isin R \equiv D \le R$.
 250
 251 \subsubsection{For $D = C$:}
 252
 253 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 254
 255 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 256
 257 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 258 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 259
 260 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 261
 262 By $\merge$, $D \isin C$.
 263 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 264 OK.
 265
 266 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 267
 268 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 269 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 270 OK
 271
 272 $\qed$
 273
 274 \subsection{Foreign Contents}
 275
 276 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 277 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 278 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$