merge.tex

   1 \section{Merge}
   2
   3 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
   4 \gathbegin
   5  C \hasparents \{ L, R \}
   6 \gathnext
   7  \patchof{C} = \patchof{L}
   8 \gathnext
   9  \mergeof{C}{L}{M}{R}
  10 \end{gather}
  11 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
  12
  13 This can also be used for dependency re-insertion, by setting
  14 $L \in \pn$, $R \in \pry$, $M = \baseof{R}$.
  15
  16 \subsection{Conditions}
  17 \[ \eqn{ Ingredients }{
  18  M \le L \land M \le R
  19 }\]
  20 \[ \eqn{ Tip Merge }{
  21  L \in \py \implies
  22    \begin{cases}
  23       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
  24               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
  25       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
  26       \text{otherwise} : & \false
  27    \end{cases}
  28 }\]
  29 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
  30     L \in \pn
  31    \implies
  32     R \nothaspatch \p
  33 }\]
  34 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
  35     X \not\haspatch \p \land
  36     M \haspatch \p \land
  37     Y \haspatch \p
  38   \implies
  39     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
  40 }\]
  41 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
  42     X \not\haspatch \p \land
  43     M \nothaspatch \p \land
  44     Y \haspatch \p
  45    \implies \left[
  46     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
  47    \right]
  48 }\]
  49 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
  50     \patchof{L} = \bot \implies \patchof{R} = \bot
  51 }\]
  52
  53 \subsection{Non-Topbloke merges}
  54
  55 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
  56 (Foreign Merges, above).
  57 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
  58 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
  59 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
  60
  61 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
  62 By Foreign Contents of $L$, $\patchof{M} = \bot$ as well.
  63 So by Foreign Contents for any $A \in \{L,M,R\}$,
  64 $\forall_{\p, D \in \py} D \not\le A$
  65 so $\pendsof{A}{\py} = \{ \}$ and the RHS of both Merge Ends
  66 conditions are satisifed.
  67
  68 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
  69 is therefore consistent with our model.
  70
  71 \subsection{No Replay}
  72
  73 By definition of $\merge$,
  74 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
  75 So, by Ingredients,
  76 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
  77
  78 \subsection{Unique Base}
  79
  80 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
  81 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
  82 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
  83
  84 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
  85 But $C \in \py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
  86 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
  87
  88 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
  89 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
  90
  91 \subsubsection{For $R \in \py$:}
  92
  93 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
  94 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
  95
  96 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
  97 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
  98 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
  99 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 100 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 101
 102 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 103
 104 By Tip Merge condition and since $M \le R$,
 105 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 106 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 107 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 108 That is, $\baseof{C} = R$.
 109
 110 $\qed$
 111
 112 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 113
 114 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 115 This involves considering $D \in \py$.
 116
 117 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 118 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 119 \in \py$ ie $\neg[ L \nothaspatch \p ]$ by Tip Own Contents for $L$).
 120 So $D \neq C$.
 121 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 122
 123 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 124 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 125 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 126
 127 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 128
 129 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 130  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 131 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 132
 133 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 134 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 135 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 136
 137 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 138 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 139 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 140 OK for $C \haspatch \p$.
 141
 142 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 143 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 144 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 145 OK for $C \haspatch \p$.
 146
 147 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 148
 149 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 150
 151 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 152 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 153
 154 \proofstarts
 155
 156 One of the Merge Ends conditions applies.
 157 Recall that we are considering $D \in \py$.
 158 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 159 We will show for each of
 160 various cases that
 161 if $M \haspatch \p$, $D \not\isin C$,
 162 whereas if $M \nothaspatch \p$, $D \isin C \equiv \land D \le C$.
 163
 164 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$.
 165 By Tip Own Contents, $\neg[ L \nothaspatch \p ]$ so $L \neq X$,
 166 therefore we must have $L=Y$, $R=X$.
 167 By Tip Merge $M = \baseof{L}$ so $M \in \pn$ so
 168 by Base Acyclic $M \nothaspatch \p$.  By $\merge$, $D \isin C$,
 169 and $D \le C$.  OK.
 170
 171 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \isin Y$:
 172 $D \le Y$ so $D \le C$.
 173 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 174
 175 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \not\isin Y$:
 176 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 177 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 178 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 179 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 180
 181 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \isin Y$:
 182 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 183 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 184 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 185
 186 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \not\isin Y$:
 187 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 188
 189 $\qed$
 190
 191 \subsection{Base Acyclic}
 192
 193 This applies when $C \in \pn$.
 194 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 195
 196 Consider some $D \in \py$.
 197
 198 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 199 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 200
 201 $\qed$
 202
 203 \subsection{Tip Contents}
 204
 205 We need worry only about $C \in \py$.
 206 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 207 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 208 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 209
 210 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 211 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 212 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 213 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 214 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 215
 216 We will consider an arbitrary commit $D$
 217 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 218
 219 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 220 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 221 \le C$.  OK.
 222
 223 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 224
 225 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 226 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, so by Tip Merge condition,
 227 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by $\merge$, $D \isin
 228 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 229 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 230
 231 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 232
 233 $D \neq C$.
 234
 235 By Tip Contents
 236 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 237 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 238
 239 Apply Tip Merge condition.
 240 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 241 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 242 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 243 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 244
 245 So $D \isin M \equiv D \isin L$ so by $\merge$,
 246 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 247 $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 248 Therefore $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 249
 250 $\qed$
 251
 252 \subsection{Foreign Inclusion}
 253
 254 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 255 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 256 $D \isin L \equiv D \le L$;
 257 $D \isin M \equiv D \le M$;
 258 $D \isin R \equiv D \le R$.
 259
 260 \subsubsection{For $D = C$:}
 261
 262 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 263
 264 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 265
 266 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 267 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 268
 269 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 270
 271 By $\merge$, $D \isin C$.
 272 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 273 OK.
 274
 275 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 276
 277 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 278 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 279 OK
 280
 281 $\qed$
 282
 283 \subsection{Foreign Contents}
 284
 285 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 286 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 287 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$