merge.tex

   1 \section{Merge}
   2
   3 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
   4 \gathbegin
   5  C \hasparents \{ L, R \}
   6 \gathnext
   7  \patchof{C} = \patchof{L}
   8 \gathnext
   9  \mergeof{C}{L}{M}{R}
  10 \end{gather}
  11 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
  12
  13 This can also be used for dependency re-insertion, by setting
  14 $L \in \pn$, $R \in \pry$, $M = \baseof{R}$.
  15
  16 \subsection{Conditions}
  17 \[ \eqn{ Ingredients }{
  18  M \le L \land M \le R
  19 }\]
  20 \[ \eqn{ Tip Merge }{
  21  L \in \py \implies
  22    \begin{cases}
  23       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
  24               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
  25       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
  26       \text{otherwise} : & \false
  27    \end{cases}
  28 }\]
  29 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
  30     L \in \pn
  31    \implies
  32     R \nothaspatch \p
  33 }\]
  34 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
  35     X \not\haspatch \p \land
  36     M \haspatch \p \land
  37     Y \haspatch \p
  38   \implies
  39     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
  40 }\]
  41 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
  42     X \not\haspatch \p \land
  43     M \nothaspatch \p \land
  44     Y \haspatch \p
  45    \implies \left[
  46     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
  47    \right]
  48 }\]
  49 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
  50     \patchof{L} = \bot \implies \patchof{R} = \bot
  51 }\]
  52
  53 \subsection{Non-Topbloke merges}
  54
  55 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
  56 (Foreign Merges, above).
  57 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
  58 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
  59 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
  60
  61 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
  62 And by Foreign Contents for (wlog) Y, $\forall_{\p, D \in \py} D \not\le Y$
  63 so then by No Replay $D \not\isin Y$
  64 so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
  65 Merge Ends condition applies.
  66
  67 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
  68 is therefore consistent with our model.
  69
  70 \subsection{No Replay}
  71
  72 By definition of $\merge$,
  73 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
  74 So, by Ingredients,
  75 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
  76
  77 \subsection{Unique Base}
  78
  79 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
  80 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
  81 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
  82
  83 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
  84 But $C \in \py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
  85 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
  86
  87 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
  88 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
  89
  90 \subsubsection{For $R \in \py$:}
  91
  92 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
  93 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
  94
  95 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
  96 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
  97 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
  98 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
  99 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 100
 101 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 102
 103 By Tip Merge condition and since $M \le R$,
 104 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 105 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 106 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 107 That is, $\baseof{C} = R$.
 108
 109 $\qed$
 110
 111 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 112
 113 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 114 This involves considering $D \in \py$.
 115
 116 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 117 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 118 \in \py$ ie $\neg[ L \nothaspatch \p ]$ by Tip Self Inpatch for $L$).
 119 So $D \neq C$.
 120 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 121
 122 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 123 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 124 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 125
 126 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 127
 128 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 129  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 130 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 131
 132 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 133 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 134 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 135
 136 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 137 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 138 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 139 OK for $C \haspatch \p$.
 140
 141 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 142 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 143 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 144 OK for $C \haspatch \p$.
 145
 146 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 147
 148 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 149
 150 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 151 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 152
 153 \proofstarts
 154
 155 One of the Merge Ends conditions applies.
 156 Recall that we are considering $D \in \py$.
 157 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 158 We will show for each of
 159 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 160 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 161
 162 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$.
 163 By Tip Self Inpatch, $\neg[ L \nothaspatch \p ]$ so $L \neq R$,
 164 therefore we must have $L=Y$, $R=X$.
 165 By Tip Merge $M = \baseof{L}$ so $M \in \pn$ so
 166 by Base Acyclic $M \nothaspatch \p$.  By $\merge$, $D \isin C$,
 167 and $D \le C$, consistent with $C \haspatch \p$.  OK.
 168
 169 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \isin Y$:
 170 $D \le Y$ so $D \le C$.
 171 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 172
 173 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \not\isin Y$:
 174 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 175 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 176 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 177 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 178
 179 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \isin Y$:
 180 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 181 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 182 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 183
 184 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \not\isin Y$:
 185 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 186
 187 $\qed$
 188
 189 \subsection{Base Acyclic}
 190
 191 This applies when $C \in \pn$.
 192 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 193
 194 Consider some $D \in \py$.
 195
 196 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 197 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 198
 199 $\qed$
 200
 201 \subsection{Tip Contents}
 202
 203 We need worry only about $C \in \py$.
 204 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 205 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 206 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 207
 208 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 209 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 210 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 211 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 212 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 213
 214 We will consider an arbitrary commit $D$
 215 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 216
 217 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 218 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 219 \le C$.  OK.
 220
 221 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 222
 223 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 224 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, so by Tip Merge condition,
 225 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by $\merge$, $D \isin
 226 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 227 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 228
 229 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 230
 231 $D \neq C$.
 232
 233 By Tip Contents
 234 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 235 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 236
 237 Apply Tip Merge condition.
 238 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 239 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 240 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 241 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 242
 243 So $D \isin M \equiv D \isin L$ so by $\merge$,
 244 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 245 $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 246 Therefore $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 247
 248 $\qed$
 249
 250 \subsection{Foreign Inclusion}
 251
 252 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 253 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 254 $D \isin L \equiv D \le L$;
 255 $D \isin M \equiv D \le M$;
 256 $D \isin R \equiv D \le R$.
 257
 258 \subsubsection{For $D = C$:}
 259
 260 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 261
 262 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 263
 264 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 265 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 266
 267 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 268
 269 By $\merge$, $D \isin C$.
 270 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 271 OK.
 272
 273 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 274
 275 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 276 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 277 OK
 278
 279 $\qed$
 280
 281 \subsection{Foreign Contents}
 282
 283 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 284 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 285 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$