merge.tex

   1 \section{Merge}
   2 \label{commit-merge}
   3
   4 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
   5 \gathbegin
   6  C \hasparents \{ L, R \}
   7 \gathnext
   8  \patchof{C} = \patchof{L}
   9 \gathnext
  10  \commitmergeof{C}{L}{M}{R}
  11 \end{gather}
  12 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
  13
  14 This can also be used for dependency re-insertion, by setting $L \in
  15 \pn$, $R \in \pry$, $M = \baseof{R}$, provided that the Conditions are
  16 satisfied; in particular, provided that $L \ge \baseof{R}$.
  17
  18 \subsection{Conditions}
  19 \[ \eqn{ Ingredients }{
  20  M \le L \land M \le R
  21 }\]
  22 \[ \eqn{ Tip Merge }{
  23  L \in \py \implies
  24    \begin{cases}
  25       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
  26               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
  27       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
  28       \text{otherwise} : & \false
  29    \end{cases}
  30 }\]
  31 \[ \eqn{ Base Merge }{
  32  L \in \pn \implies
  33   \big[
  34    R \in \pn
  35      \lor
  36    R \in \foreign
  37      \lor
  38    ( R \in \pqy \land \pq \neq \p )
  39   \big]
  40 }\]
  41 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
  42     L \in \pn
  43    \implies
  44     R \nothaspatch \p
  45 }\]
  46 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
  47     X \not\haspatch \p \land
  48     M \haspatch \p \land
  49     Y \haspatch \p
  50   \implies
  51     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
  52 }\]
  53 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
  54     X \not\haspatch \p \land
  55     M \nothaspatch \p \land
  56     Y \haspatch \p
  57    \implies \left[
  58     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
  59    \right]
  60 }\]
  61 \[ \eqn{ Suitable Tips }{
  62     \bigforall_{\p \patchisin C, \; \py \neq \patchof{L}}
  63     \bigexists_T
  64       \pendsof{J}{\py} = \{ T \}
  65      \land
  66       \forall_{E \in \pendsof{K}{\py}} T \ge E
  67     , \text{where} \{J,K\} = \{L,R\}
  68 }\]
  69 \[ \eqn{ Foreign Merge }{
  70     \isforeign{L} \implies \isforeign{R}
  71 }\]
  72
  73 \subsection{Non-Topbloke merges}
  74
  75 We require both $\isforeign{L}$ and $\isforeign{R}$
  76 (Foreign Merge, above).
  77 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
  78 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
  79 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
  80
  81 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
  82 By Foreign Ancestry of $L$, $\isforeign{M}$ as well.
  83 So by Foreign Ancestry for any $A \in \{L,M,R\}$,
  84 $\forall_{\p, D \in \py} D \not\le A$
  85 so $\pendsof{A}{\py} = \{ \}$ and the RHS of both Merge Ends
  86 conditions are satisifed.
  87
  88 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
  89 is therefore consistent with our model.
  90
  91 \subsection{No Replay}
  92
  93 By definition of \commitmergename,
  94 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
  95 So, by Ingredients,
  96 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
  97
  98 \subsection{Unique Base}
  99
 100 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 101 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 102 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 103
 104 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 105 But $C \in \py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 106 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 107
 108 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 109 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 110
 111 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 112
 113 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 114 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 115
 116 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 117 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 118 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 119 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 120 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 121
 122 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 123
 124 By Tip Merge condition and since $M \le R$,
 125 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 126 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 127 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 128 That is, $\baseof{C} = R$.
 129
 130 $\qed$
 131
 132 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 133
 134 $C$ satisfies
 135 \gathbegin
 136   C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 137 \gathnext
 138 C \haspatch \p \equiv
 139   \stmtmergeof{L \haspatch \p}{M \haspatch \p}{R \haspatch \p}
 140 \end{gather}
 141 which (given Coherence of $L$,$M$,$R$) is equivalent to
 142 $$
 143 \begin{cases}
 144   L \nothaspatch \p \land R \nothaspatch \p : & C \nothaspatch \p  \\
 145   L \haspatch    \p \land R \haspatch    \p : & C \haspatch    \p  \\
 146   \text{otherwise} \land M \haspatch    \p  : & C \nothaspatch \p  \\
 147   \text{otherwise} \land M \nothaspatch \p  : & C \haspatch    \p
 148 \end{cases}
 149 $$
 150 \proofstarts
 151 ~ Consider $D \in \py$.
 152
 153 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 154 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 155 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Own Contents for $L$).
 156 So $D \neq C$.
 157 Applying \commitmergename\ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 158 OK.
 159
 160 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 161 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 162 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 163
 164 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \zhaspatch \p$.
 165
 166 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 167  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 168 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 169
 170 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 171 By \commitmergename, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 172 so $D \le C$.  OK for $C \zhaspatch \p$.
 173
 174 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 175 By \commitmergename, $D \not\isin C$.
 176 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 177 OK for $C \zhaspatch \p$.
 178
 179 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 180 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 181 Thus by \commitmergename, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 182 OK for $C \zhaspatch \p$.
 183
 184 So, in all cases, $C \zhaspatch \p$.
 185 And by $L \haspatch \p$, $\exists_{F \in \py} F \le L$
 186 and this $F \le C$ so indeed $C \haspatch \p$.
 187
 188 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 189
 190 One of the Merge Ends conditions applies.
 191 Recall that we are considering $D \in \py$.
 192 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 193 We will show for each of
 194 various cases that
 195 if $M \haspatch \p$, $D \not\isin C$,
 196 whereas if $M \nothaspatch \p$, $D \isin C \equiv D \le C$.
 197 And by $Y \haspatch \p$, $\exists_{F \in \py} F \le Y$ and this
 198 $F \le C$ so this suffices.
 199
 200 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$.
 201 By Tip Own Contents, $L \haspatch \p$ so $L \neq X$,
 202 therefore we must have $L=Y$, $R=X$.
 203 Conversely $R \not\in \py$
 204 so by Tip Merge $M = \baseof{L}$.  Thus $M \in \pn$ so
 205 by Base Acyclic $M \nothaspatch \p$.  By \commitmergename, $D \isin C$,
 206 and $D \le C$.  OK.
 207
 208 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \isin Y$:
 209 $D \le Y$ so $D \le C$.
 210 $D \not\isin M$ so by \commitmergename, $D \isin C$.  OK.
 211
 212 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \not\isin Y$:
 213 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 214 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 215 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 216 Thus $D \not\le C$.  By \commitmergename, $D \not\isin C$.  OK.
 217
 218 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \isin Y$:
 219 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 220 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 221 Thus $D \isin M$.  By \commitmergename, $D \not\isin C$.  OK.
 222
 223 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \not\isin Y$:
 224 By \commitmergename, $D \not\isin C$.  OK.
 225
 226 $\qed$
 227
 228 \subsection{Base Acyclic}
 229
 230 This applies when $C \in \pn$.
 231 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 232
 233 Consider some $D \in \py$.
 234
 235 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 236 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 237
 238 $\qed$
 239
 240 \subsection{Tip Contents}
 241
 242 We need worry only about $C \in \py$.
 243 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 244 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 245 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 246
 247 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 248 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 249 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 250 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 251 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 252
 253 We will consider an arbitrary commit $D$
 254 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 255
 256 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 257 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 258 \le C$.  OK.
 259
 260 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 261
 262 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 263 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, so by Tip Merge condition,
 264 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by \commitmergename, $D \isin
 265 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 266 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 267
 268 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 269
 270 $D \neq C$.
 271
 272 By Tip Contents
 273 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 274 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 275
 276 Apply Tip Merge condition.
 277 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 278 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 279 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 280 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 281
 282 So $D \isin M \equiv D \isin L$ so by \commitmergename,
 283 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 284 $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 285 Therefore $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 286
 287 $\qed$
 288
 289 \subsection{Unique Tips}
 290
 291 For $L \in \py$, trivially $\pendsof{C}{\py} = C$ so $T = C$ is
 292 suitable.
 293
 294 For $L \not\in \py$, $\pancsof{C}{\py} = \pancsof{L}{\py} \cup
 295 \pancsof{R}{\py}$.  So $T$ from Suitable Tips is a suitable $T$ for
 296 Unique Tips.
 297
 298 $\qed$
 299
 300 \subsection{Foreign Inclusion}
 301
 302 Consider some $D \in \foreign$.
 303 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 304 $D \isin L \equiv D \le L$;
 305 $D \isin M \equiv D \le M$;
 306 $D \isin R \equiv D \le R$.
 307
 308 \subsubsection{For $D = C$:}
 309
 310 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 311
 312 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 313
 314 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 315 R$.  So by \commitmergename, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 316
 317 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 318
 319 By \commitmergename, $D \isin C$.
 320 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 321 OK.
 322
 323 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 324
 325 By \commitmergename, $D \not\isin C$.
 326 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 327 OK
 328
 329 $\qed$
 330
 331 \subsection{Foreign Ancestry}
 332
 333 Only relevant if $\isforeign{L}$, in which case
 334 $\isforeign{C}$ and by Foreign Merge $\isforeign{R}$,
 335 so Totally Foreign Ancestry applies.  $\qed$
 336
 337 \subsection{Bases' Children}
 338
 339 If $L \in \py, R \in \py$: not applicable for either $D=L$ or $D=R$.
 340
 341 If $L \in \py, R \in \pn$: not applicable for $L$, OK for $R$.
 342
 343 Other possibilities for $L \in \py$ are excluded by Tip Merge.
 344
 345 If $L \in \pn, R \in \pn$: satisfied for both $L$ and $R$.
 346
 347 If $L \in \pn, R \in \foreign$: satisfied for $L$, not applicable for
 348 $R$.
 349
 350 If $L \in \pn, R \in \pqy$: satisfied for $L$, not applicable for
 351 $R$.
 352
 353 Other possibilities for $L \in \pn$ are excluded by Base Merge.
 354
 355 If $L \in \foreign$: not applicable for $L$; nor for $R$, by Foreign Merge.
 356
 357 $\qed$