merge.tex

   1 \section{Merge}
   2
   3 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
   4 \gathbegin
   5  C \hasparents \{ L, R \}
   6 \gathnext
   7  \patchof{C} = \patchof{L}
   8 \gathnext
   9  \mergeof{C}{L}{M}{R}
  10 \end{gather}
  11 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
  12
  13 This can also be used for dependency re-insertion, by setting
  14 $L \in \pn$, $R \in \pry$, $M = \baseof{R}$.
  15
  16 \subsection{Conditions}
  17 \[ \eqn{ Ingredients }{
  18  M \le L \land M \le R
  19 }\]
  20 \[ \eqn{ Tip Merge }{
  21  L \in \py \implies
  22    \begin{cases}
  23       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
  24               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
  25       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
  26       \text{otherwise} : & \false
  27    \end{cases}
  28 }\]
  29 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
  30     L \in \pn
  31    \implies
  32     R \nothaspatch \p
  33 }\]
  34 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
  35     X \not\haspatch \p \land
  36     M \haspatch \p \land
  37     Y \haspatch \p
  38   \implies
  39     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
  40 }\]
  41 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
  42     X \not\haspatch \p \land
  43     M \nothaspatch \p \land
  44     Y \haspatch \p
  45    \implies \left[
  46     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
  47    \right]
  48 }\]
  49 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
  50     \patchof{L} = \bot \implies \patchof{R} = \bot
  51 }\]
  52
  53 \subsection{Non-Topbloke merges}
  54
  55 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
  56 (Foreign Merges, above).
  57 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
  58 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
  59 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
  60
  61 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
  62 By Foreign Contents of $L$, $\patchof{M} = \bot$ as well.
  63 So by Foreign Contents for any $A \in \{L,M,R\}$,
  64 $\forall_{\p, D \in \py} D \not\le A$
  65 so $\pendsof{A}{\py} = \{ \}$ and the RHS of both Merge Ends
  66 conditions are satisifed.
  67
  68 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
  69 is therefore consistent with our model.
  70
  71 \subsection{No Replay}
  72
  73 By definition of $\merge$,
  74 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
  75 So, by Ingredients,
  76 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
  77
  78 \subsection{Unique Base}
  79
  80 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
  81 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
  82 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
  83
  84 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
  85 But $C \in \py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
  86 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
  87
  88 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
  89 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
  90
  91 \subsubsection{For $R \in \py$:}
  92
  93 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
  94 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
  95
  96 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
  97 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
  98 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
  99 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 100 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 101
 102 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 103
 104 By Tip Merge condition and since $M \le R$,
 105 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 106 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 107 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 108 That is, $\baseof{C} = R$.
 109
 110 $\qed$
 111
 112 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 113
 114 $$
 115 \begin{cases}
 116   L \nothaspatch \p \land R \nothaspatch \p : & C \nothaspatch \p  \\
 117   L \haspatch    \p \land R \haspatch    \p : & C \haspatch    \p  \\
 118   \text{otherwise} \land M \haspatch    \p  : & C \nothaspatch \p  \\
 119   \text{otherwise} \land M \nothaspatch \p  : & C \haspatch    \p
 120 \end{cases}
 121 $$
 122 \proofstarts
 123 ~ Consider $D \in \py$.
 124
 125 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 126 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 127 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Own Contents for $L$).
 128 So $D \neq C$.
 129 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 130 OK.
 131
 132 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 133 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 134 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 135
 136 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \zhaspatch \p$.
 137
 138 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 139  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 140 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 141
 142 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 143 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 144 so $D \le C$.  OK for $C \zhaspatch \p$.
 145
 146 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 147 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 148 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 149 OK for $C \zhaspatch \p$.
 150
 151 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 152 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 153 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 154 OK for $C \zhaspatch \p$.
 155
 156 So, in all cases, $C \zhaspatch \p$.
 157 And by $L \haspatch \p$, $\exists_{F \in \py} F \le L$
 158 and this $F \le C$ so indeed $C \haspatch \p$.
 159
 160 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 161
 162 One of the Merge Ends conditions applies.
 163 Recall that we are considering $D \in \py$.
 164 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 165 We will show for each of
 166 various cases that
 167 if $M \haspatch \p$, $D \not\isin C$,
 168 whereas if $M \nothaspatch \p$, $D \isin C \equiv D \le C$.
 169 And by $Y \haspatch \p$, $\exists_{F \in \py} F \le Y$ and this
 170 $F \le C$ so this suffices.
 171
 172 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$.
 173 By Tip Own Contents, $\neg[ L \nothaspatch \p ]$ so $L \neq X$,
 174 therefore we must have $L=Y$, $R=X$.
 175 By Tip Merge $M = \baseof{L}$ so $M \in \pn$ so
 176 by Base Acyclic $M \nothaspatch \p$.  By $\merge$, $D \isin C$,
 177 and $D \le C$.  OK.
 178
 179 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \isin Y$:
 180 $D \le Y$ so $D \le C$.
 181 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 182
 183 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \not\isin Y$:
 184 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 185 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 186 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 187 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 188
 189 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \isin Y$:
 190 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 191 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 192 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 193
 194 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \not\isin Y$:
 195 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 196
 197 $\qed$
 198
 199 \subsection{Base Acyclic}
 200
 201 This applies when $C \in \pn$.
 202 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 203
 204 Consider some $D \in \py$.
 205
 206 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 207 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 208
 209 $\qed$
 210
 211 \subsection{Tip Contents}
 212
 213 We need worry only about $C \in \py$.
 214 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 215 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 216 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 217
 218 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 219 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 220 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 221 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 222 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 223
 224 We will consider an arbitrary commit $D$
 225 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 226
 227 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 228 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 229 \le C$.  OK.
 230
 231 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 232
 233 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 234 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, so by Tip Merge condition,
 235 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by $\merge$, $D \isin
 236 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 237 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 238
 239 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 240
 241 $D \neq C$.
 242
 243 By Tip Contents
 244 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 245 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 246
 247 Apply Tip Merge condition.
 248 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 249 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 250 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 251 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 252
 253 So $D \isin M \equiv D \isin L$ so by $\merge$,
 254 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 255 $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 256 Therefore $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 257
 258 $\qed$
 259
 260 \subsection{Foreign Inclusion}
 261
 262 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 263 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 264 $D \isin L \equiv D \le L$;
 265 $D \isin M \equiv D \le M$;
 266 $D \isin R \equiv D \le R$.
 267
 268 \subsubsection{For $D = C$:}
 269
 270 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 271
 272 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 273
 274 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 275 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 276
 277 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 278
 279 By $\merge$, $D \isin C$.
 280 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 281 OK.
 282
 283 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 284
 285 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 286 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 287 OK
 288
 289 $\qed$
 290
 291 \subsection{Foreign Contents}
 292
 293 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 294 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 295 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$