merge.tex

   1 \section{Merge}
   2
   3 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
   4 \gathbegin
   5  C \hasparents \{ L, R \}
   6 \gathnext
   7  \patchof{C} = \patchof{L}
   8 \gathnext
   9  \mergeof{C}{L}{M}{R}
  10 \end{gather}
  11 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
  12
  13 This can also be used for dependency re-insertion, by setting $L \in
  14 \pn$, $R \in \pry$, $M = \baseof{R}$, provided that the Conditions are
  15 satisfied; in particular, provided that $L \ge \baseof{R}$.
  16
  17 \subsection{Conditions}
  18 \[ \eqn{ Ingredients }{
  19  M \le L \land M \le R
  20 }\]
  21 \[ \eqn{ Tip Merge }{
  22  L \in \py \implies
  23    \begin{cases}
  24       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
  25               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
  26       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
  27       \text{otherwise} : & \false
  28    \end{cases}
  29 }\]
  30 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
  31     L \in \pn
  32    \implies
  33     R \nothaspatch \p
  34 }\]
  35 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
  36     X \not\haspatch \p \land
  37     M \haspatch \p \land
  38     Y \haspatch \p
  39   \implies
  40     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
  41 }\]
  42 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
  43     X \not\haspatch \p \land
  44     M \nothaspatch \p \land
  45     Y \haspatch \p
  46    \implies \left[
  47     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
  48    \right]
  49 }\]
  50 \[ \eqn{ Suitable Tip }{
  51     \bigexists_T
  52       \pendsof{J}{\py} = \{ T \}
  53      \land
  54       \forall_{E \in \pendsof{K}{\py}} T \ge E
  55     , \text{where} \{J,K\} = \{L,R\}
  56 }\]
  57 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
  58     \patchof{L} = \bot \implies \patchof{R} = \bot
  59 }\]
  60
  61 \subsection{Non-Topbloke merges}
  62
  63 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
  64 (Foreign Merges, above).
  65 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
  66 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
  67 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
  68
  69 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
  70 By Foreign Contents of $L$, $\patchof{M} = \bot$ as well.
  71 So by Foreign Contents for any $A \in \{L,M,R\}$,
  72 $\forall_{\p, D \in \py} D \not\le A$
  73 so $\pendsof{A}{\py} = \{ \}$ and the RHS of both Merge Ends
  74 conditions are satisifed.
  75
  76 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
  77 is therefore consistent with our model.
  78
  79 \subsection{No Replay}
  80
  81 By definition of $\merge$,
  82 $D \isin C \implies D \isin L \lor D \isin R \lor D = C$.
  83 So, by Ingredients,
  84 Ingredients Prevent Replay applies.  $\qed$
  85
  86 \subsection{Unique Base}
  87
  88 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
  89 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
  90 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
  91
  92 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
  93 But $C \in \py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
  94 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
  95
  96 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
  97 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
  98
  99 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 100
 101 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 102 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 103
 104 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 105 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 106 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 107 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 108 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 109
 110 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 111
 112 By Tip Merge condition and since $M \le R$,
 113 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 114 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 115 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 116 That is, $\baseof{C} = R$.
 117
 118 $\qed$
 119
 120 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 121
 122 $$
 123 \begin{cases}
 124   L \nothaspatch \p \land R \nothaspatch \p : & C \nothaspatch \p  \\
 125   L \haspatch    \p \land R \haspatch    \p : & C \haspatch    \p  \\
 126   \text{otherwise} \land M \haspatch    \p  : & C \nothaspatch \p  \\
 127   \text{otherwise} \land M \nothaspatch \p  : & C \haspatch    \p
 128 \end{cases}
 129 $$
 130 \proofstarts
 131 ~ Consider $D \in \py$.
 132
 133 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 134 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 135 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Own Contents for $L$).
 136 So $D \neq C$.
 137 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 138 OK.
 139
 140 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 141 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 142 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 143
 144 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \zhaspatch \p$.
 145
 146 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 147  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 148 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 149
 150 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 151 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 152 so $D \le C$.  OK for $C \zhaspatch \p$.
 153
 154 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 155 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 156 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 157 OK for $C \zhaspatch \p$.
 158
 159 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 160 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 161 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 162 OK for $C \zhaspatch \p$.
 163
 164 So, in all cases, $C \zhaspatch \p$.
 165 And by $L \haspatch \p$, $\exists_{F \in \py} F \le L$
 166 and this $F \le C$ so indeed $C \haspatch \p$.
 167
 168 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 169
 170 One of the Merge Ends conditions applies.
 171 Recall that we are considering $D \in \py$.
 172 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 173 We will show for each of
 174 various cases that
 175 if $M \haspatch \p$, $D \not\isin C$,
 176 whereas if $M \nothaspatch \p$, $D \isin C \equiv D \le C$.
 177 And by $Y \haspatch \p$, $\exists_{F \in \py} F \le Y$ and this
 178 $F \le C$ so this suffices.
 179
 180 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$.
 181 By Tip Own Contents, $L \haspatch \p$ so $L \neq X$,
 182 therefore we must have $L=Y$, $R=X$.
 183 Conversely $R \not\in \py$
 184 so by Tip Merge $M = \baseof{L}$.  Thus $M \in \pn$ so
 185 by Base Acyclic $M \nothaspatch \p$.  By $\merge$, $D \isin C$,
 186 and $D \le C$.  OK.
 187
 188 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \isin Y$:
 189 $D \le Y$ so $D \le C$.
 190 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 191
 192 Consider $D \neq C, M \nothaspatch \p, D \not\isin Y$:
 193 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 194 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 195 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 196 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 197
 198 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \isin Y$:
 199 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 200 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 201 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 202
 203 Consider $D \neq C, M \haspatch \p, D \not\isin Y$:
 204 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 205
 206 $\qed$
 207
 208 \subsection{Base Acyclic}
 209
 210 This applies when $C \in \pn$.
 211 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 212
 213 Consider some $D \in \py$.
 214
 215 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 216 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 217
 218 $\qed$
 219
 220 \subsection{Tip Contents}
 221
 222 We need worry only about $C \in \py$.
 223 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 224 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 225 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 226
 227 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 228 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 229 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 230 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 231 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 232
 233 We will consider an arbitrary commit $D$
 234 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 235
 236 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 237 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 238 \le C$.  OK.
 239
 240 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 241
 242 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 243 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, so by Tip Merge condition,
 244 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by $\merge$, $D \isin
 245 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 246 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 247
 248 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 249
 250 $D \neq C$.
 251
 252 By Tip Contents
 253 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 254 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 255
 256 Apply Tip Merge condition.
 257 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 258 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 259 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 260 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 261
 262 So $D \isin M \equiv D \isin L$ so by $\merge$,
 263 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 264 $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 265 Therefore $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 266
 267 $\qed$
 268
 269 \subsection{Unique Tips}
 270
 271 For $L \in \py$, trivially $\pendsof{C}{\py} = C$ so $T = C$ is
 272 suitable.
 273
 274 For $L \not\in \py$, $\pancsof{C}{\py} = \pancsof{L}{\py} \cup
 275 \pancsof{R}{\py}$.  So $T$ from Suitable Tip is a suitable $T$ for
 276 Unique Tips.
 277
 278 $\qed$
 279
 280 \subsection{Foreign Inclusion}
 281
 282 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 283 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 284 $D \isin L \equiv D \le L$;
 285 $D \isin M \equiv D \le M$;
 286 $D \isin R \equiv D \le R$.
 287
 288 \subsubsection{For $D = C$:}
 289
 290 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 291
 292 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 293
 294 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 295 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 296
 297 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 298
 299 By $\merge$, $D \isin C$.
 300 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 301 OK.
 302
 303 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 304
 305 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 306 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 307 OK
 308
 309 $\qed$
 310
 311 \subsection{Foreign Contents}
 312
 313 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 314 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 315 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$