chiark / gitweb /
merge fixes/clarifications - relax Foreign Merges
[topbloke-formulae.git] / lemmas.tex
1 \section{Some lemmas}
2
3 \subsection{Alternative (overlapping) formulations of $\mergeof{C}{L}{M}{R}$}
4 $$
5  D \isin C \equiv
6   \begin{cases}
7     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
8     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
9     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
10     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
11     \text{as above with L and R exchanged}
12   \end{cases}
13 $$
14 \proof{ ~ Truth table (ordered by original definition): \\
15   \begin{tabular}{cccc|c|cc}
16      $D = C$ &
17           $\isin L$ &
18                $\isin M$ &
19                     $\isin R$ & $\isin C$ &
20                                       $L$ vs. $R$ & $L$ vs. $M$
21   \\\hline
22      y &  ? &  ? &  ?      &      y   & ?         & ?            \\
23      n &  y &  y &  y      &      y   & $\equiv$  & $\equiv$     \\
24      n &  y &  n &  y      &      y   & $\equiv$  & $\nequiv$    \\
25      n &  n &  y &  n      &      n   & $\equiv$  & $\nequiv$    \\
26      n &  n &  n &  n      &      n   & $\equiv$  & $\equiv$     \\
27      n &  y &  y &  n      &      n   & $\nequiv$ & $\equiv$     \\
28      n &  n &  y &  y      &      n   & $\nequiv$ & $\nequiv$    \\
29      n &  y &  n &  n      &      y   & $\nequiv$ & $\nequiv$    \\
30      n &  n &  n &  y      &      y   & $\nequiv$ & $\equiv$     \\
31   \end{tabular} \\
32   And original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
33 }
34
35 \subsection{Exclusive Tip Contents}
36 Given Base Acyclic for $C$,
37 $$
38   \bigforall_{C \in \py}
39     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
40       \Bigr]
41 $$
42 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
43
44 \proof{
45 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
46 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
47 }
48 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
49   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
50   \begin{cases}
51     D \in \py : & D \le C \\
52     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
53   \end{cases}
54 }\]
55
56 \subsection{Tip Self Inpatch}
57 Given Exclusive Tip Contents and Base Acyclic for $C$,
58 $$
59   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
60 $$
61 Ie, tip commits contain their own patch.
62
63 \proof{
64 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
65 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
66   D \isin C \equiv D \le C $
67 }
68
69 \subsection{Exact Ancestors}
70 $$
71   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
72   \left[
73   D \le C \equiv
74     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
75     \lor D = C
76   \right]
77 $$
78 \proof{ ~ Trivial.}
79
80 \subsection{Transitive Ancestors}
81 $$
82   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
83   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
84 $$
85
86 \proof{
87 The implication from right to left is trivial because
88 $ \pends() \subset \pancs() $.
89 For the implication from left to right:
90 by the definition of $\mathcal E$,
91 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
92 $A \le M$ by the LHS directly,
93 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
94 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
95 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
96 by the LHS.  And $A \le A''$.
97 }
98
99 \subsection{Calculation of Ends}
100 $$
101   \bigforall_{C \hasparents \set A}
102     \pendsof{C}{\set P} =
103       \begin{cases}
104        C \in \p : & \{ C \}
105       \\
106        C \not\in \p : & \displaystyle
107        \left\{ E \Big|
108            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
109                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
110            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A, F \in \pendsof{B}{\p}}
111                        E \neq F \land E \le F \Bigr]
112        \right\}
113       \end{cases}
114 $$
115 \proof{
116 Trivial for $C \in \set P$.  For $C \not\in \set P$,
117 $\pancsof{C}{\set P} = \bigcup_{A \in \set A} \pancsof{A}{\set P}$.
118 So $\pendsof{C}{\set P} \subset \bigcup_{E in \set E} \pendsof{E}{\set P}$.
119 Consider some $E \in \pendsof{A}{\set P}$.  If $\exists_{B,F}$ as
120 specified, then either $F$ is going to be in our result and
121 disqualifies $E$, or there is some other $F'$ (or, eventually,
122 an $F''$) which disqualifies $F$.
123 Otherwise, $E$ meets all the conditions for $\pends$.
124 }
125
126 \subsection{Ingredients Prevent Replay}
127 $$
128   \left[
129     {C \hasparents \set A} \land
130    \\
131     \bigforall_{D}
132     \left(
133        D \isin C \implies
134        D = C \lor
135        \Largeexists_{A \in \set A} D \isin A
136     \right)
137   \right] \implies \left[ \bigforall_{D}
138     D \isin C \implies D \le C
139   \right]
140 $$
141 \proof{
142   Trivial for $D = C$.  Consider some $D \neq C$, $D \isin C$.
143   By the preconditions, there is some $A$ s.t. $D \in \set A$
144   and $D \isin A$.  By No Replay for $A$, $D \le A$.  And
145   $A \le C$ so $D \le C$.
146 }
147
148 \subsection{Simple Foreign Inclusion}
149 $$
150   \left[
151     C \hasparents \{ L \}
152    \land
153     \bigforall_{D} D \isin C \equiv D \isin L \lor D = C
154   \right]
155  \implies
156   \left[
157    \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot}
158      D \isin C \equiv D \le C
159   \right]
160 $$
161 \proof{
162 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
163 If $D = C$, trivially true.  For $D \neq C$,
164 by Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
165 And by Exact Ancestors $D \le L \equiv D \le C$.
166 So $D \isin C \equiv D \le C$.
167 }
168
169 \subsection{Totally Foreign Contents}
170 $$
171    \left[
172     C \hasparents \set A \land
173     \patchof{C} = \bot \land
174       \bigforall_{A \in \set A} \patchof{A} = \bot
175    \right]
176   \implies
177    \left[
178   \bigforall_{D}
179     D \le C
180    \implies
181     \patchof{D} = \bot
182    \right]
183 $$
184 \proof{
185 Consider some $D \le C$.  If $D = C$, $\patchof{D} = \bot$ trivially.
186 If $D \neq C$ then $D \le A$ where $A \in \set A$.  By Foreign
187 Contents of $A$, $\patchof{D} = \bot$.
188 }
189