chiark / gitweb /
create base foreign inclusion
[topbloke-formulae.git] / article.tex
1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
2 \errorcontextlines=50
3 \let\numberwithin=\notdef
4 \usepackage{amsmath}
5 \usepackage{mathabx}
6 \usepackage{txfonts}
7 \usepackage{amsfonts}
8 \usepackage{mdwlist}
9 %\usepackage{accents}
10
11 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
12 \renewcommand{\le}{\leqslant}
13 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
14 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
15
16 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
17 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
18
19 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
20 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
21 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
22 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
23
24         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
25         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
26           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
27         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
28
29 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
30 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
31 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
32
33 \newcommand{\p}{\pa{P}}
34 \newcommand{\py}{\pay{P}}
35 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
36
37 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
38 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
39 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
40
41 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
42 %\newcommand{\hasparents}{{%
43 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
44 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
45 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
46
47 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
48 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
49 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
50 \renewcommand{\land}{\wedge}
51 \renewcommand{\lor}{\vee}
52
53 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
54 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
55
56 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
57 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
58
59 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
60 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
61 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
62
63 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
64 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
65
66 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
67 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
68
69 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
70 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
71
72 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
73 \newcommand{\bigforall}{%
74   \mathop{\mathchoice%
75     {\hbox{\huge$\forall$}}%
76     {\hbox{\Large$\forall$}}%
77     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
78     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
79 }
80
81 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
82 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
83
84 \newcommand{\qed}{\square}
85 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
86 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
87
88 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
89 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
90
91 \newcommand{\true}{t}
92 \newcommand{\false}{f}
93
94 \begin{document}
95
96 \section{Notation}
97
98 \begin{basedescript}{
99 \desclabelwidth{5em}
100 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
101 }
102 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
103 The parents of commit $C$ are exactly the set
104 $\set X$.
105
106 \item[ $ C \ge D $ ]
107 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
108 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of 
109 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
110
111 \item[ $ C \has D $ ]
112 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
113 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
114 the user or reversion, rebasing or rewinding in
115 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
116 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
117 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
118 is not transitive.
119
120 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
121 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
122 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
123 where the context requires a set, in which case the statement
124 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
125 None of these sets overlap.  Hence:
126
127 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
128 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.  
129 A function from commits to patches' sets $\p$.
130
131 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
132 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $ 
133 i.e. all the ancestors of $C$
134 which are in $\set P$.
135
136 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
137 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
138   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
139   E \neq A \land E \le A \} $ 
140 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
141
142 \item[ $ \baseof{C} $ ]
143 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
144 A partial function from commits to commits.
145 See Unique Base, below.
146
147 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
148 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
149 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
150
151 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
152 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
153 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.  
154
155 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
156 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
157 patch.  If a Topbloke
158 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
159 the relevant Topbloke branches, we hope that 
160 if the user still cares about the Topbloke patch,
161 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
162
163 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
164 The contents of a git merge result:
165
166 $\displaystyle D \isin C \equiv
167   \begin{cases}
168     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
169     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
170     \text{otherwise} : & D \not\isin M
171   \end{cases}
172
173
174 \end{basedescript}
175 \newpage
176 \section{Invariants}
177
178 We maintain these each time we construct a new commit. \\
179 \[ \eqn{No Replay:}{
180   C \has D \implies C \ge D
181 }\]
182 \[\eqn{Unique Base:}{
183  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
184 }\]
185 \[\eqn{Tip Contents:}{
186   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
187     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
188       (D \in \py \land D \le C) }
189 }\]
190 \[\eqn{Base Acyclic:}{
191   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
192 }\]
193 \[\eqn{Coherence:}{
194   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
195 }\]
196 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
197   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
198 }\]
199 \[\eqn{Foreign Contents:}{
200   \bigforall_{C \text{ s.t. } \patchof{C} = \bot}
201     D \le C \implies \patchof{D} = \bot
202 }\]
203
204 \section{Some lemmas}
205
206 \[ \eqn{Alternative (overlapping) formulations defining
207   $\mergeof{C}{L}{M}{R}$:}{
208  D \isin C \equiv
209   \begin{cases}
210     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
211     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
212     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
213     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
214     \text{as above with L and R exchanged}
215   \end{cases}
216 }\]
217 \proof{
218   Truth table xxx
219
220   Original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
221 }
222
223 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
224   \bigforall_{C \in \py} 
225     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
226       \Bigr]
227 }\]
228 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
229
230 \proof{
231 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
232 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
233 }
234 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
235   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
236   \begin{cases}
237     D \in \py : & D \le C \\
238     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
239   \end{cases}
240 }\]
241
242 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
243   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
244 }\]
245 Ie, tip commits contain their own patch.
246
247 \proof{
248 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
249 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
250   D \isin C \equiv D \le C $
251 }
252
253 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
254   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
255   D \le C \equiv
256     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
257     \lor D = C
258 }\]
259 xxx proof tbd
260
261 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
262   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
263   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
264 }\]
265
266 \proof{
267 The implication from right to left is trivial because
268 $ \pends() \subset \pancs() $.
269 For the implication from left to right: 
270 by the definition of $\mathcal E$,
271 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
272 $A \le M$ by the LHS directly,
273 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
274 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
275 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
276 by the LHS.  And $A \le A''$.
277 }
278
279 \[ \eqn{Calculation Of Ends:}{
280   \bigforall_{C \hasparents \set A}
281     \pendsof{C}{\set P} =
282       \begin{cases}
283        C \in \p : & \{ C \}
284       \\
285        C \not\in \p : & \displaystyle
286        \left\{ E \Big|
287            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A} 
288                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
289            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A} 
290                        E \neq B \land E \le B \Bigr]
291        \right\}
292       \end{cases}
293 }\]
294 xxx proof tbd
295
296 \[ \eqn{Totally Foreign Contents:}{
297   \bigforall_{C \hasparents \set A}
298    \left[
299     \patchof{C} = \bot \land
300       \bigforall_{A \in \set A} \patchof{A} = \bot
301    \right]
302   \implies
303    \left[
304     D \le C
305    \implies
306     \patchof{D} = \bot
307    \right]
308 }\]
309 \proof{
310 Consider some $D \le C$.  If $D = C$, $\patchof{D} = \bot$ trivially.
311 If $D \neq C$ then $D \le A$ where $A \in \set A$.  By Foreign
312 Contents of $A$, $\patchof{D} = \bot$.
313 }
314
315 \subsection{No Replay for Merge Results}
316
317 If we are constructing $C$, with,
318 \gathbegin
319   \mergeof{C}{L}{M}{R}
320 \gathnext
321   L \le C
322 \gathnext
323   R \le C
324 \end{gather}
325 No Replay is preserved.  \proofstarts
326
327 \subsubsection{For $D=C$:} $D \isin C, D \le C$.  OK.
328
329 \subsubsection{For $D \isin L \land D \isin R$:}
330 $D \isin C$.  And $D \isin L \implies D \le L \implies D \le C$.  OK.
331
332 \subsubsection{For $D \neq C \land D \not\isin L \land D \not\isin R$:}
333 $D \not\isin C$.  OK.
334
335 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
336  \land D \not\isin M$:}
337 $D \isin C$.  Also $D \isin L \lor D \isin R$ so $D \le L \lor D \le
338 R$ so $D \le C$.  OK.
339
340 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
341  \land D \isin M$:}
342 $D \not\isin C$.  OK.
343
344 $\qed$
345
346 \section{Commit annotation}
347
348 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
349 \gathbegin
350  \patchof{C}
351 \gathnext
352  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
353 \gathnext
354  \bigforall_{\pa{Q}} 
355    \text{ either } C \haspatch \pa{Q} \text{ or } C \nothaspatch \pa{Q}
356 \gathnext
357  \bigforall_{\pay{Q} \not\ni C} \pendsof{C}{\pay{Q}}
358 \end{gather}
359
360 $\patchof{C}$, for each kind of Topbloke-generated commit, is stated
361 in the summary in the section for that kind of commit.
362
363 Whether $\baseof{C}$ is required, and if so what the value is, is
364 stated in the proof of Unique Base for each kind of commit.
365
366 $C \haspatch \pa{Q}$ or $\nothaspatch \pa{Q}$ is represented as the
367 set $\{ \pa{Q} | C \haspatch \pa{Q} \}$.  Whether $C \haspatch \pa{Q}$
368 is in stated
369 (in terms of $I \haspatch \pa{Q}$ or $I \nothaspatch \pa{Q}$
370 for the ingredients $I$),
371 in the proof of Coherence for each kind of commit.
372
373 $\pendsof{C}{\pa{Q}^+}$ is computed, for all Topbloke-generated commits,
374 using the lemma Calculation of Ends, above.
375 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
376 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
377 would have to be updated.  The annotation is not needed in that case
378 because $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
379
380 \section{Simple commit}
381
382 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
383 \begin{gather}
384 \tag*{} C \hasparents \{ A \} \\
385 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{A} \\
386 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin A \lor D = C
387 \end{gather}
388 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
389 Topbloke strips the metadata when exporting.
390
391 \subsection{No Replay}
392 Trivial.
393
394 \subsection{Unique Base}
395 If $A, C \in \py$ then by Calculation of Ends for
396 $C, \py, C \not\in \py$:
397 $\pendsof{C}{\pn} = \pendsof{A}{\pn}$ so
398 $\baseof{C} = \baseof{A}$. $\qed$
399
400 \subsection{Tip Contents}
401 We need to consider only $A, C \in \py$.  From Tip Contents for $A$:
402 \[ D \isin A \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A ) \]
403 Substitute into the contents of $C$:
404 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A )
405     \lor D = C \]
406 Since $D = C \implies D \in \py$, 
407 and substituting in $\baseof{C}$, this gives:
408 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
409     (D \in \py \land D \le A) \lor
410     (D = C \land D \in \py) \]
411 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
412    [ D \in \py \land ( D \le A \lor D = C ) ] \]
413 So by Exact Ancestors:
414 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
415 ) \]
416 $\qed$
417
418 \subsection{Base Acyclic}
419
420 Need to consider only $A, C \in \pn$.  
421
422 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
423
424 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin A$, so by Base Acyclic for
425 $A$, $D \isin C \implies D \not\in \py$.
426
427 $\qed$
428
429 \subsection{Coherence and patch inclusion}
430
431 Need to consider $D \in \py$
432
433 \subsubsection{For $A \haspatch P, D = C$:}
434
435 Ancestors of $C$:
436 $ D \le C $.
437
438 Contents of $C$:
439 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
440
441 \subsubsection{For $A \haspatch P, D \neq C$:}
442 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le A $.
443
444 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin A \lor f $
445 so $ D \isin C \equiv D \isin A $.
446
447 So:
448 \[ A \haspatch P \implies C \haspatch P \]
449
450 \subsubsection{For $A \nothaspatch P$:}
451
452 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $A \in \py$.  
453 Thus $D \neq C$.
454
455 Now by contents of $A$, $D \notin A$, so $D \notin C$.
456
457 So:
458 \[ A \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
459 $\qed$
460
461 \subsection{Foreign inclusion:}
462
463 If $D = C$, trivial.  For $D \neq C$:
464 $D \isin C \equiv D \isin A \equiv D \le A \equiv D \le C$.  $\qed$
465
466 \subsection{Foreign Contents:}
467
468 Only relevant if $\patchof{C} = \bot$, and in that case Totally
469 Foreign Contents applies. $\qed$
470
471 \section{Create Base}
472
473 Given $L$, create a Topbloke base branch initial commit $B$.
474 \gathbegin
475  B \hasparents \{ L \}
476 \gathnext
477  \patchof{B} = \pan{B}
478 \gathnext
479  D \isin B \equiv D \isin L \lor D = B
480 \end{gather}
481
482 \subsection{Conditions}
483
484 \[ \eqn{ Ingredients }{
485  \patchof{L} = \pa{L} \lor \patchof{L} = \bot
486 }\]
487 \[ \eqn{ Non-recursion }{
488  L \not\in \pa{B}
489 }\]
490
491 \subsection{No Replay}
492
493 If $\patchof{L} = \pa{L}$, trivial by Base Acyclic for $L$.
494
495 If $\patchof{L} = \bot$, consider some $D \isin B$.  $D \neq B$.
496 Thus $D \isin L$.  So by No Replay of $D$ in $L$, $D \le L$.
497 Thus $D \le B$.
498
499 \subsection{Unique Base}
500
501 Not applicable. $\qed$
502
503 \subsection{Tip Contents}
504
505 Not applicable. $\qed$
506
507 \subsection{Base Acyclic}
508
509 Consider some $D \isin B$.  If $D = B$, $D \in \pn$, OK.
510
511 If $D \neq B$, $D \isin L$.  By No Replay of $D$ in $L$, $D \le L$.
512 Thus by Foreign Contents of $L$, $\patchof{D} = \bot$.  OK.
513
514 $\qed$
515
516 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
517
518 Consider some $D \in \p$.
519 $B \not\in \py$ so $D \neq B$.  So $D \isin B \equiv D \isin L$.
520
521 Thus $L \haspatch \p \implies B \haspatch P$
522 and $L \nothaspatch \p \implies B \nothaspatch P$.
523
524 $\qed$.
525
526 \subsection{Foreign Inclusion}
527
528 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq B$
529 so $D \isin B \equiv D \isin L$.
530 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
531 And by Exact Ancestors $D \le L \equiv D \le B$.
532 So $D \isin B \equiv D \le B$.  $\qed$
533
534 \section{Create Tip}
535
536 xxx tbd
537
538 \section{Anticommit}
539
540 Given $L$ and $\pr$ as represented by $R^+, R^-$.
541 Construct $C$ which has $\pr$ removed.
542 Used for removing a branch dependency.
543 \gathbegin
544  C \hasparents \{ L \}
545 \gathnext
546  \patchof{C} = \patchof{L}
547 \gathnext
548  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
549 \end{gather}
550
551 \subsection{Conditions}
552
553 \[ \eqn{ Ingredients }{
554 R^+ \in \pry \land R^- = \baseof{R^+}
555 }\]
556 \[ \eqn{ Into Base }{
557  L \in \pn
558 }\]
559 \[ \eqn{ Unique Tip }{
560  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
561 }\]
562 \[ \eqn{ Currently Included }{
563  L \haspatch \pry
564 }\]
565
566 \subsection{Ordering of ${L, R^+, R^-}$:}
567
568 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
569 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$.
570 $\qed$
571
572 (Note that $R^+ \not\le R^-$, i.e. the merge base
573 is a descendant, not an ancestor, of the 2nd parent.)
574
575 \subsection{No Replay}
576
577 No Replay for Merge Results applies.  $\qed$
578
579 \subsection{Desired Contents}
580
581 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
582 \proofstarts
583
584 \subsubsection{For $D = C$:}
585
586 Trivially $D \isin C$.  OK.
587
588 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
589
590 By No Replay $D \not\isin L$.  Also $D \not\le R^-$ hence
591 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
592
593 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
594
595 By Currently Included, $D \isin L$.
596
597 By Tip Self Inpatch, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
598 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.  
599 So $D \isin R^+$.
600
601 By Base Acyclic, $D \not\isin R^-$.
602
603 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
604
605 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
606
607 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
608
609 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
610
611 $\qed$
612
613 \subsection{Unique Base}
614
615 Into Base means that $C \in \pn$, so Unique Base is not
616 applicable. $\qed$
617
618 \subsection{Tip Contents}
619
620 Again, not applicable. $\qed$
621
622 \subsection{Base Acyclic}
623
624 By Base Acyclic for $L$, $D \isin L \implies D \not\in \py$.
625 And by Into Base $C \not\in \py$.
626 Now from Desired Contents, above, $D \isin C
627 \implies D \isin L \lor D = C$, which thus
628 $\implies D \not\in \py$.  $\qed$.
629
630 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
631
632 Need to consider some $D \in \py$.  By Into Base, $D \neq C$.
633
634 \subsubsection{For $\p = \pr$:}
635 By Desired Contents, above, $D \not\isin C$.
636 So $C \nothaspatch \pr$.
637
638 \subsubsection{For $\p \neq \pr$:}
639 By Desired Contents, $D \isin C \equiv D \isin L$
640 (since $D \in \py$ so $D \not\in \pry$).
641
642 If $L \nothaspatch \p$, $D \not\isin L$ so $D \not\isin C$.
643 So $L \nothaspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
644
645 Whereas if $L \haspatch \p$, $D \isin L \equiv D \le L$.
646 so $L \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
647
648 $\qed$
649
650 \subsection{Foreign Inclusion}
651
652 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq C$.
653 So by Desired Contents $D \isin C \equiv D \isin L$.
654 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
655
656 And $D \le C \equiv D \le L$.
657 Thus $D \isin C \equiv D \le C$.
658
659 $\qed$
660
661 \subsection{Foreign Contents}
662
663 Not applicable. $\qed$
664
665 \section{Merge}
666
667 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
668 \gathbegin
669  C \hasparents \{ L, R \}
670 \gathnext
671  \patchof{C} = \patchof{L}
672 \gathnext
673  \mergeof{C}{L}{M}{R}
674 \end{gather}
675 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
676
677 \subsection{Conditions}
678 \[ \eqn{ Ingredients }{
679  M \le L, M \le R
680 }\]
681 \[ \eqn{ Tip Merge }{
682  L \in \py \implies
683    \begin{cases}
684       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
685               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
686       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
687       \text{otherwise} : & \false
688    \end{cases}
689 }\]
690 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
691     L \in \pn
692    \implies
693     R \nothaspatch \p
694 }\]
695 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
696     X \not\haspatch \p \land
697     Y \haspatch \p \land
698     M \haspatch \p
699   \implies
700     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
701 }\]
702 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
703     X \not\haspatch \p \land
704     Y \haspatch \p \land
705     M \nothaspatch \p
706    \implies \left[
707     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
708    \right]
709 }\]
710 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
711     \patchof{L} = \bot \equiv \patchof{R} = \bot
712 }\]
713
714 \subsection{Non-Topbloke merges}
715
716 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
717 (Foreign Merges, above).
718 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
719 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
720 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
721
722 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
723 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
724 Merge Ends condition applies.
725
726 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
727 is therefore consistent with our scheme.
728
729 \subsection{No Replay}
730
731 No Replay for Merge Results applies.  $\qed$
732
733 \subsection{Unique Base}
734
735 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
736 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
737 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
738
739 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
740 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.  
741 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
742
743 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
744 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
745
746 \subsubsection{For $R \in \py$:}
747
748 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
749 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
750
751 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
752 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
753 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
754 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.  
755 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
756
757 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
758
759 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
760 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
761 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.  
762 Thus $A \le C \equiv A \le R$.  
763 That is, $\baseof{C} = R$.
764
765 $\qed$
766
767 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
768
769 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
770 This involves considering $D \in \py$.  
771
772 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
773 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
774 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch).  So $D \neq C$.
775 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
776
777 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
778 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
779 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
780
781 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
782
783 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
784  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.  
785 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
786
787 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
788 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$ 
789 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
790
791 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
792 By $\merge$, $D \not\isin C$.  
793 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.  
794 OK for $C \haspatch \p$.
795
796 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
797 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.  
798 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
799 OK for $C \haspatch \p$.
800
801 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
802
803 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
804
805 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
806 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
807
808 \proofstarts
809
810 One of the Merge Ends conditions applies.  
811 Recall that we are considering $D \in \py$.
812 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
813 We will show for each of
814 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
815 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
816
817 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
818 Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
819 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
820 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
821
822 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
823 $D \le Y$ so $D \le C$.  
824 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
825
826 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
827 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
828 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and 
829 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
830 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
831
832 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
833 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
834 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
835 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
836
837 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
838 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
839
840 $\qed$
841
842 \subsection{Base Acyclic}
843
844 This applies when $C \in \pn$.
845 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
846
847 Consider some $D \in \py$.
848
849 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
850 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
851
852 $\qed$
853
854 \subsection{Tip Contents}
855
856 We need worry only about $C \in \py$.  
857 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
858 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
859 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
860
861 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
862 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
863 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
864 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
865 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
866
867 We will consider an arbitrary commit $D$
868 and prove the Exclusive Tip Contents form.
869
870 \subsubsection{For $D \in \py$:}
871 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
872 \le C$.  OK.
873
874 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
875
876 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
877 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
878 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
879 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
880 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
881
882 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
883
884 $D \neq C$.
885
886 By Tip Contents
887 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
888 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
889
890 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
891 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
892 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
893 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
894
895 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
896 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
897 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
898
899 $\qed$
900
901 \subsection{Foreign Inclusion}
902
903 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
904 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
905 $D \isin L \equiv D \le L$;
906 $D \isin M \equiv D \le M$;
907 $D \isin R \equiv D \le R$.
908
909 \subsubsection{For $D = C$:}
910
911 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
912
913 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
914
915 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
916 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
917
918 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
919
920 By $\merge$, $D \isin C$.
921 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
922 OK.
923
924 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
925
926 By $\merge$, $D \not\isin C$.
927 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
928 OK
929
930 $\qed$
931
932 \subsection{Foreign Contents}
933
934 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
935 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
936 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$
937
938 \end{document}