article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \errorcontextlines=50
   3 \let\numberwithin=\notdef
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{mathabx}
   6 \usepackage{txfonts}
   7 \usepackage{amsfonts}
   8 \usepackage{mdwlist}
   9 %\usepackage{accents}
  10
  11 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  12 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  13 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
  14 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
  15
  16 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  17 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  18
  19 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  20 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  21 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  22 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  23
  24         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
  25         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
  26           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
  27         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
  28
  29 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
  30 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  31 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  32
  33 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  34 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  35 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  36
  37 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
  38 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
  39 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
  40
  41 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  42 %\newcommand{\hasparents}{{%
  43 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  44 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  45 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  46
  47 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  48 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  49 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
  50 \renewcommand{\land}{\wedge}
  51 \renewcommand{\lor}{\vee}
  52
  53 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  54 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  55
  56 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  57 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  58
  59 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
  60 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
  61 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
  62
  63 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
  64 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
  65
  66 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
  67 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
  68
  69 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
  70 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  71
  72 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  73 \newcommand{\bigforall}{%
  74   \mathop{\mathchoice%
  75     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  76     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  77     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  78     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  79 }
  80
  81 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
  82 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
  83
  84 \newcommand{\qed}{\square}
  85 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
  86 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
  87
  88 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
  89 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
  90
  91 \newcommand{\true}{t}
  92 \newcommand{\false}{f}
  93
  94 \begin{document}
  95
  96 \section{Notation}
  97
  98 \begin{basedescript}{
  99 \desclabelwidth{5em}
 100 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
 101 }
 102 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
 103 The parents of commit $C$ are exactly the set
 104 $\set X$.
 105
 106 \item[ $ C \ge D $ ]
 107 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
 108 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
 109 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
 110
 111 \item[ $ C \has D $ ]
 112 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
 113 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
 114 the user or reversion, rebasing or rewinding in
 115 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
 116 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
 117 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
 118 is not transitive.
 119
 120 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
 121 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
 122 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
 123 where the context requires a set, in which case the statement
 124 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
 125 None of these sets overlap.  Hence:
 126
 127 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
 128 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
 129 A function from commits to patches' sets $\p$.
 130
 131 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 132 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 133 i.e. all the ancestors of $C$
 134 which are in $\set P$.
 135
 136 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 137 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 138   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 139   E \neq A \land E \le A \} $
 140 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 141
 142 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 143 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 144 A partial function from commits to commits.
 145 See Unique Base, below.
 146
 147 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 148 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 149 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 150
 151 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 152 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 153 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 154
 155 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
 156 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
 157 patch.  If a Topbloke
 158 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
 159 the relevant Topbloke branches, we hope that
 160 if the user still cares about the Topbloke patch,
 161 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
 162
 163 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
 164 The contents of a git merge result:
 165
 166 $\displaystyle D \isin C \equiv
 167   \begin{cases}
 168     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
 169     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
 170     \text{otherwise} : & D \not\isin M
 171   \end{cases}
 172 $
 173
 174 \end{basedescript}
 175 \newpage
 176 \section{Invariants}
 177
 178 We maintain these each time we construct a new commit. \\
 179 \[ \eqn{No Replay:}{
 180   C \has D \implies C \ge D
 181 }\]
 182 \[\eqn{Unique Base:}{
 183  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 184 }\]
 185 \[\eqn{Tip Contents:}{
 186   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 187     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 188       (D \in \py \land D \le C) }
 189 }\]
 190 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 191   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 192 }\]
 193 \[\eqn{Coherence:}{
 194   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 195 }\]
 196 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
 197   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
 198 }\]
 199
 200 \section{Some lemmas}
 201
 202 \[ \eqn{Alternative (overlapping) formulations defining
 203   $\mergeof{C}{L}{M}{R}$:}{
 204  D \isin C \equiv
 205   \begin{cases}
 206     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
 207     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
 208     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
 209     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
 210     \text{as above with L and R exchanged}
 211   \end{cases}
 212 }\]
 213 \proof{
 214   Truth table xxx
 215
 216   Original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
 217 }
 218
 219 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
 220   \bigforall_{C \in \py}
 221     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
 222       \Bigr]
 223 }\]
 224 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 225
 226 \proof{
 227 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 228 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 229 }
 230 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
 231   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 232   \begin{cases}
 233     D \in \py : & D \le C \\
 234     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 235   \end{cases}
 236 }\]
 237
 238 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
 239   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 240 }\]
 241 Ie, tip commits contain their own patch.
 242
 243 \proof{
 244 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 245 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 246   D \isin C \equiv D \le C $
 247 }
 248
 249 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
 250   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 251   D \le C \equiv
 252     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 253     \lor D = C
 254 }\]
 255
 256 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
 257   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 258   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 259 }\]
 260
 261 \proof{
 262 The implication from right to left is trivial because
 263 $ \pends() \subset \pancs() $.
 264 For the implication from left to right:
 265 by the definition of $\mathcal E$,
 266 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 267 $A \le M$ by the LHS directly,
 268 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 269 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 270 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 271 by the LHS.  And $A \le A''$.
 272 }
 273 \[ \eqn{Calculation Of Ends:}{
 274   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 275     \pendsof{C}{\set P} =
 276        \left\{ E \Big|
 277            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
 278                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
 279            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A}
 280                        E \neq B \land E \le B \Bigr]
 281        \right\}
 282 }\]
 283 XXX proof TBD.
 284
 285 \subsection{No Replay for Merge Results}
 286
 287 If we are constructing $C$, with,
 288 \gathbegin
 289   \mergeof{C}{L}{M}{R}
 290 \gathnext
 291   L \le C
 292 \gathnext
 293   R \le C
 294 \end{gather}
 295 No Replay is preserved.  \proofstarts
 296
 297 \subsubsection{For $D=C$:} $D \isin C, D \le C$.  OK.
 298
 299 \subsubsection{For $D \isin L \land D \isin R$:}
 300 $D \isin C$.  And $D \isin L \implies D \le L \implies D \le C$.  OK.
 301
 302 \subsubsection{For $D \neq C \land D \not\isin L \land D \not\isin R$:}
 303 $D \not\isin C$.  OK.
 304
 305 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 306  \land D \not\isin M$:}
 307 $D \isin C$.  Also $D \isin L \lor D \isin R$ so $D \le L \lor D \le
 308 R$ so $D \le C$.  OK.
 309
 310 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 311  \land D \isin M$:}
 312 $D \not\isin C$.  OK.
 313
 314 $\qed$
 315
 316 \section{Commit annotation}
 317
 318 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 319 \gathbegin
 320  \patchof{C}
 321 \gathnext
 322  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
 323 \gathnext
 324  \bigforall_{\pa{Q}}
 325    \text{ either } C \haspatch \pa{Q} \text{ or } C \nothaspatch \pa{Q}
 326 \gathnext
 327  \bigforall_{\pay{Q} \not\ni C} \pendsof{C}{\pay{Q}}
 328 \end{gather}
 329
 330 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
 331 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
 332 would have to be updated.  The annotation is not needed because
 333 $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 334
 335 \section{Simple commit}
 336
 337 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
 338 \begin{gather}
 339 \tag*{} C \hasparents \{ A \} \\
 340 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{A} \\
 341 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin A \lor D = C
 342 \end{gather}
 343 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
 344 Topbloke strips the metadata when exporting.
 345
 346 \subsection{No Replay}
 347 Trivial.
 348
 349 \subsection{Unique Base}
 350 If $A, C \in \py$ then $\baseof{C} = \baseof{A}$. $\qed$
 351
 352 \subsection{Tip Contents}
 353 We need to consider only $A, C \in \py$.  From Tip Contents for $A$:
 354 \[ D \isin A \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A ) \]
 355 Substitute into the contents of $C$:
 356 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A )
 357     \lor D = C \]
 358 Since $D = C \implies D \in \py$,
 359 and substituting in $\baseof{C}$, this gives:
 360 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 361     (D \in \py \land D \le A) \lor
 362     (D = C \land D \in \py) \]
 363 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 364    [ D \in \py \land ( D \le A \lor D = C ) ] \]
 365 So by Exact Ancestors:
 366 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
 367 ) \]
 368 $\qed$
 369
 370 \subsection{Base Acyclic}
 371
 372 Need to consider only $A, C \in \pn$.
 373
 374 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
 375
 376 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin A$, so by Base Acyclic for
 377 $A$, $D \isin C \implies D \not\in \py$. $\qed$
 378
 379 \subsection{Coherence and patch inclusion}
 380
 381 Need to consider $D \in \py$
 382
 383 \subsubsection{For $A \haspatch P, D = C$:}
 384
 385 Ancestors of $C$:
 386 $ D \le C $.
 387
 388 Contents of $C$:
 389 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
 390
 391 \subsubsection{For $A \haspatch P, D \neq C$:}
 392 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le A $.
 393
 394 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin A \lor f $
 395 so $ D \isin C \equiv D \isin A $.
 396
 397 So:
 398 \[ A \haspatch P \implies C \haspatch P \]
 399
 400 \subsubsection{For $A \nothaspatch P$:}
 401
 402 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $A \in \py$.
 403 Thus $D \neq C$.
 404
 405 Now by contents of $A$, $D \notin A$, so $D \notin C$.
 406
 407 So:
 408 \[ A \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
 409 $\qed$
 410
 411 \subsection{Foreign inclusion:}
 412
 413 If $D = C$, trivial.  For $D \neq C$:
 414 $D \isin C \equiv D \isin A \equiv D \le A \equiv D \le C$.  $\qed$
 415
 416 \section{Anticommit}
 417
 418 Given $L, R^+, R^-$ where
 419 $R^+ \in \pry, R^- = \baseof{R^+}$.
 420 Construct $C$ which has $\pr$ removed.
 421 Used for removing a branch dependency.
 422 \gathbegin
 423  C \hasparents \{ L \}
 424 \gathnext
 425  \patchof{C} = \patchof{L}
 426 \gathnext
 427  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
 428 \end{gather}
 429
 430 \subsection{Conditions}
 431
 432 \[ \eqn{ Into Base }{
 433  L \in \pn
 434 }\]
 435 \[ \eqn{ Unique Tip }{
 436  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
 437 }\]
 438 \[ \eqn{ Currently Included }{
 439  L \haspatch \pry
 440 }\]
 441
 442 \subsection{No Replay}
 443
 444 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
 445 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$ and No Replay for
 446 Merge Results applies. $\qed$
 447
 448 \subsection{Desired Contents}
 449
 450 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
 451 \proofstarts
 452
 453 \subsubsection{For $D = C$:}
 454
 455 Trivially $D \isin C$.  OK.
 456
 457 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
 458
 459 By No Replay $D \not\isin L$.  Also $D \not\le R^-$ hence
 460 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
 461
 462 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
 463
 464 By Currently Included, $D \isin L$.
 465
 466 By Tip Self Inpatch, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
 467 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.
 468 So $D \isin R^+$.
 469
 470 By Base Acyclic, $D \not\isin R^-$.
 471
 472 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
 473
 474 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
 475
 476 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 477
 478 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
 479
 480 $\qed$
 481
 482 \subsection{Unique Base}
 483
 484 Into Base means that $C \in \pn$, so Unique Base is not
 485 applicable. $\qed$
 486
 487 \subsection{Tip Contents}
 488
 489 Again, not applicable. $\qed$
 490
 491 \subsection{Base Acyclic}
 492
 493 By Base Acyclic for $L$, $D \isin L \implies D \not\in \py$.
 494 And by Into Base $C \not\in \py$.
 495 Now from Desired Contents, above, $D \isin C
 496 \implies D \isin L \lor D = C$, which thus
 497 $\implies D \not\in \py$.  $\qed$.
 498
 499 \section{Merge}
 500
 501 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$ ($M < L, M < R$):
 502 \gathbegin
 503  C \hasparents \{ L, R \}
 504 \gathnext
 505  \patchof{C} = \patchof{L}
 506 \gathnext
 507  \mergeof{C}{L}{M}{R}
 508 \end{gather}
 509 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
 510
 511 \subsection{Conditions}
 512
 513 \[ \eqn{ Tip Merge }{
 514  L \in \py \implies
 515    \begin{cases}
 516       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
 517               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
 518       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
 519       \text{otherwise} : & \false
 520    \end{cases}
 521 }\]
 522 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
 523     L \in \pn
 524    \implies
 525     R \nothaspatch \p
 526 }\]
 527 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
 528     X \not\haspatch \p \land
 529     Y \haspatch \p \land
 530     M \haspatch \p
 531   \implies
 532     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
 533 }\]
 534 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
 535     X \not\haspatch \p \land
 536     Y \haspatch \p \land
 537     M \nothaspatch \p
 538    \implies \left[
 539     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
 540    \right]
 541 }\]
 542
 543 \subsection{Non-Topbloke merges}
 544
 545 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$.
 546 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
 547 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
 548 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
 549
 550 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
 551 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
 552 Merge Ends condition applies.  Good.
 553
 554 \subsection{No Replay}
 555
 556 See No Replay for Merge Results.
 557
 558 \subsection{Unique Base}
 559
 560 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 561 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 562 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 563
 564 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 565 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 566 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 567
 568 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 569 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 570
 571 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 572
 573 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 574 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 575
 576 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 577 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 578 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 579 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 580 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 581
 582 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 583
 584 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
 585 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 586 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 587 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 588 That is, $\baseof{C} = R$.
 589
 590 $\qed$
 591
 592 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 593
 594 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 595 This involves considering $D \in \py$.
 596
 597 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 598 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 599 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch).  So $D \neq C$.
 600 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 601
 602 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 603 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 604 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 605
 606 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 607
 608 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 609  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 610 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 611
 612 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 613 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 614 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 615
 616 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 617 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 618 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 619 OK for $C \haspatch \p$.
 620
 621 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 622 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 623 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 624 OK for $C \haspatch \p$.
 625
 626 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 627
 628 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 629
 630 $C \haspatch \p \equiv M \nothaspatch \p$.
 631
 632 \proofstarts
 633
 634 One of the Merge Ends conditions applies.
 635 Recall that we are considering $D \in \py$.
 636 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 637 We will show for each of
 638 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 639 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 640
 641 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
 642 Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
 643 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
 644 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 645
 646 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
 647 $D \le Y$ so $D \le C$.
 648 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 649
 650 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
 651 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 652 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 653 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 654 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 655
 656 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
 657 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 658 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 659 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 660
 661 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
 662 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 663
 664 $\qed$
 665
 666 \subsection{Base Acyclic}
 667
 668 This applies when $C \in \pn$.
 669 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 670
 671 Consider some $D \in \py$.
 672
 673 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 674 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.  $\qed$
 675
 676 \subsection{Tip Contents}
 677
 678 We need worry only about $C \in \py$.
 679 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 680 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 681 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 682
 683 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 684 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 685 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 686 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 687 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 688
 689 We will consider an arbitrary commit $D$
 690 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 691
 692 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 693 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 694 \le C$.  OK.
 695
 696 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 697
 698 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 699 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
 700 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
 701 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 702 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 703
 704 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 705
 706 $D \neq C$.
 707
 708 By Tip Contents
 709 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 710 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 711
 712 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 713 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 714 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 715 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 716
 717 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
 718 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 719 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 720
 721 $\qed$
 722
 723 \subsection{Foreign Inclusion}
 724
 725 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 726 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 727 $D \isin L \equiv D \le L$;
 728 $D \isin M \equiv D \le M$;
 729 $D \isin R \equiv D \le R$.
 730
 731 \subsubsection{For $D = C$:}
 732
 733 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 734
 735 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 736
 737 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 738 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 739
 740 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 741
 742 By $\merge$, $D \isin C$.
 743 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 744 OK.
 745
 746 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 747
 748 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 749 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 750 OK
 751
 752 $\qed$
 753
 754 \end{document}