article.tex

   1 \documentclass[a4paper,leqno]{strayman}
   2 \errorcontextlines=50
   3 \let\numberwithin=\notdef
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{mathabx}
   6 \usepackage{txfonts}
   7 \usepackage{amsfonts}
   8 \usepackage{mdwlist}
   9 %\usepackage{accents}
  10
  11 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
  12 \renewcommand{\le}{\leqslant}
  13 \newcommand{\nge}{\ngeqslant}
  14 \newcommand{\nle}{\nleqslant}
  15
  16 \newcommand{\has}{\sqsupseteq}
  17 \newcommand{\isin}{\sqsubseteq}
  18
  19 \newcommand{\nothaspatch}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\haspatch}}
  20 \newcommand{\notpatchisin}{\mathrel{\,\not\!\not\relax\patchisin}}
  21 \newcommand{\haspatch}{\sqSupset}
  22 \newcommand{\patchisin}{\sqSubset}
  23
  24         \newif\ifhidehack\hidehackfalse
  25         \DeclareRobustCommand\hidefromedef[2]{%
  26           \hidehacktrue\ifhidehack#1\else#2\fi\hidehackfalse}
  27         \newcommand{\pa}[1]{\hidefromedef{\varmathbb{#1}}{#1}}
  28
  29 \newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
  30 \newcommand{\pay}[1]{\pa{#1}^+}
  31 \newcommand{\pan}[1]{\pa{#1}^-}
  32
  33 \newcommand{\p}{\pa{P}}
  34 \newcommand{\py}{\pay{P}}
  35 \newcommand{\pn}{\pan{P}}
  36
  37 \newcommand{\pr}{\pa{R}}
  38 \newcommand{\pry}{\pay{R}}
  39 \newcommand{\prn}{\pan{R}}
  40
  41 %\newcommand{\hasparents}{\underaccent{1}{>}}
  42 %\newcommand{\hasparents}{{%
  43 %  \declareslashed{}{_{_1}}{0}{-0.8}{>}\slashed{>}}}
  44 \newcommand{\hasparents}{>_{\mkern-7.0mu _1}}
  45 \newcommand{\areparents}{<_{\mkern-14.0mu _1\mkern+5.0mu}}
  46
  47 \renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
  48 \renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
  49 \renewcommand{\nequiv}{\nLeftrightarrow}
  50 \renewcommand{\land}{\wedge}
  51 \renewcommand{\lor}{\vee}
  52
  53 \newcommand{\pancs}{{\mathcal A}}
  54 \newcommand{\pends}{{\mathcal E}}
  55
  56 \newcommand{\pancsof}[2]{\pancs ( #1 , #2 ) }
  57 \newcommand{\pendsof}[2]{\pends ( #1 , #2 ) }
  58
  59 \newcommand{\merge}{{\mathcal M}}
  60 \newcommand{\mergeof}[4]{\merge(#1,#2,#3,#4)}
  61 %\newcommand{\merge}[4]{{#2 {{\frac{ #1 }{ #3 } #4}}}}
  62
  63 \newcommand{\patch}{{\mathcal P}}
  64 \newcommand{\base}{{\mathcal B}}
  65
  66 \newcommand{\patchof}[1]{\patch ( #1 ) }
  67 \newcommand{\baseof}[1]{\base ( #1 ) }
  68
  69 \newcommand{\eqntag}[2]{ #2 \tag*{\mbox{#1}} }
  70 \newcommand{\eqn}[2]{ #2 \tag*{\mbox{\bf #1}} }
  71
  72 %\newcommand{\bigforall}{\mathop{\hbox{\huge$\forall$}}}
  73 \newcommand{\bigforall}{%
  74   \mathop{\mathchoice%
  75     {\hbox{\huge$\forall$}}%
  76     {\hbox{\Large$\forall$}}%
  77     {\hbox{\normalsize$\forall$}}%
  78     {\hbox{\scriptsize$\forall$}}}%
  79 }
  80
  81 \newcommand{\Largeexists}{\mathop{\hbox{\Large$\exists$}}}
  82 \newcommand{\Largenexists}{\mathop{\hbox{\Large$\nexists$}}}
  83
  84 \newcommand{\qed}{\square}
  85 \newcommand{\proofstarts}{{\it Proof:}}
  86 \newcommand{\proof}[1]{\proofstarts #1 $\qed$}
  87
  88 \newcommand{\gathbegin}{\begin{gather} \tag*{}}
  89 \newcommand{\gathnext}{\\ \tag*{}}
  90
  91 \newcommand{\true}{t}
  92 \newcommand{\false}{f}
  93
  94 \begin{document}
  95
  96 \section{Notation}
  97
  98 \begin{basedescript}{
  99 \desclabelwidth{5em}
 100 \desclabelstyle{\nextlinelabel}
 101 }
 102 \item[ $ C \hasparents \set X $ ]
 103 The parents of commit $C$ are exactly the set
 104 $\set X$.
 105
 106 \item[ $ C \ge D $ ]
 107 $C$ is a descendant of $D$ in the git commit
 108 graph.  This is a partial order, namely the transitive closure of
 109 $ D \in \set X $ where $ C \hasparents \set X $.
 110
 111 \item[ $ C \has D $ ]
 112 Informally, the tree at commit $C$ contains the change
 113 made in commit $D$.  Does not take account of deliberate reversions by
 114 the user or reversion, rebasing or rewinding in
 115 non-Topbloke-controlled branches.  For merges and Topbloke-generated
 116 anticommits or re-commits, the ``change made'' is only to be thought
 117 of as any conflict resolution.  This is not a partial order because it
 118 is not transitive.
 119
 120 \item[ $ \p, \py, \pn $ ]
 121 A patch $\p$ consists of two sets of commits $\pn$ and $\py$, which
 122 are respectively the base and tip git branches.  $\p$ may be used
 123 where the context requires a set, in which case the statement
 124 is to be taken as applying to both $\py$ and $\pn$.
 125 None of these sets overlap.  Hence:
 126
 127 \item[ $ \patchof{ C } $ ]
 128 Either $\p$ s.t. $ C \in \p $, or $\bot$.
 129 A function from commits to patches' sets $\p$.
 130
 131 \item[ $ \pancsof{C}{\set P} $ ]
 132 $ \{ A \; | \; A \le C \land A \in \set P \} $
 133 i.e. all the ancestors of $C$
 134 which are in $\set P$.
 135
 136 \item[ $ \pendsof{C}{\set P} $ ]
 137 $ \{ E \; | \; E \in \pancsof{C}{\set P}
 138   \land \mathop{\not\exists}_{A \in \pancsof{C}{\set P}}
 139   E \neq A \land E \le A \} $
 140 i.e. all $\le$-maximal commits in $\pancsof{C}{\set P}$.
 141
 142 \item[ $ \baseof{C} $ ]
 143 $ \pendsof{C}{\pn} = \{ \baseof{C} \} $ where $ C \in \py $.
 144 A partial function from commits to commits.
 145 See Unique Base, below.
 146
 147 \item[ $ C \haspatch \p $ ]
 148 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \isin C \equiv D \le C $.
 149 ~ Informally, $C$ has the contents of $\p$.
 150
 151 \item[ $ C \nothaspatch \p $ ]
 152 $\displaystyle \bigforall_{D \in \py} D \not\isin C $.
 153 ~ Informally, $C$ has none of the contents of $\p$.
 154
 155 Non-Topbloke commits are $\nothaspatch \p$ for all $\p$.  This
 156 includes commits on plain git branches made by applying a Topbloke
 157 patch.  If a Topbloke
 158 patch is applied to a non-Topbloke branch and then bubbles back to
 159 the relevant Topbloke branches, we hope that
 160 if the user still cares about the Topbloke patch,
 161 git's merge algorithm will DTRT when trying to re-apply the changes.
 162
 163 \item[ $\displaystyle \mergeof{C}{L}{M}{R} $ ]
 164 The contents of a git merge result:
 165
 166 $\displaystyle D \isin C \equiv
 167   \begin{cases}
 168     (D \isin L \land D \isin R) \lor D = C : & \true \\
 169     (D \not\isin L \land D \not\isin R) \land D \neq C : & \false \\
 170     \text{otherwise} : & D \not\isin M
 171   \end{cases}
 172 $
 173
 174 \end{basedescript}
 175 \newpage
 176 \section{Invariants}
 177
 178 We maintain these each time we construct a new commit. \\
 179 \[ \eqn{No Replay:}{
 180   C \has D \implies C \ge D
 181 }\]
 182 \[\eqn{Unique Base:}{
 183  \bigforall_{C \in \py} \pendsof{C}{\pn} = \{ B \}
 184 }\]
 185 \[\eqn{Tip Contents:}{
 186   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 187     { D \isin \baseof{C} \lor \atop
 188       (D \in \py \land D \le C) }
 189 }\]
 190 \[\eqn{Base Acyclic:}{
 191   \bigforall_{B \in \pn} D \isin B \implies D \notin \py
 192 }\]
 193 \[\eqn{Coherence:}{
 194   \bigforall_{C,\p} C \haspatch \p \lor C \nothaspatch \p
 195 }\]
 196 \[\eqn{Foreign Inclusion:}{
 197   \bigforall_{D \text{ s.t. } \patchof{D} = \bot} D \isin C \equiv D \leq C
 198 }\]
 199 \[\eqn{Foreign Contents:}{
 200   \bigforall_{C \text{ s.t. } \patchof{C} = \bot}
 201     D \le C \implies \patchof{D} = \bot
 202 }\]
 203
 204 \section{Some lemmas}
 205
 206 \[ \eqn{Alternative (overlapping) formulations defining
 207   $\mergeof{C}{L}{M}{R}$:}{
 208  D \isin C \equiv
 209   \begin{cases}
 210     D \isin L  \equiv D \isin R  : & D = C \lor D \isin L     \\
 211     D \isin L \nequiv D \isin R  : & D = C \lor D \not\isin M \\
 212     D \isin L  \equiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin R     \\
 213     D \isin L \nequiv D \isin M  : & D = C \lor D \isin L     \\
 214     \text{as above with L and R exchanged}
 215   \end{cases}
 216 }\]
 217 \proof{
 218   Truth table xxx
 219
 220   Original definition is symmetrical in $L$ and $R$.
 221 }
 222
 223 \[ \eqn{Exclusive Tip Contents:}{
 224   \bigforall_{C \in \py}
 225     \neg \Bigl[ D \isin \baseof{C} \land ( D \in \py \land D \le C )
 226       \Bigr]
 227 }\]
 228 Ie, the two limbs of the RHS of Tip Contents are mutually exclusive.
 229
 230 \proof{
 231 Let $B = \baseof{C}$ in $D \isin \baseof{C}$.  Now $B \in \pn$.
 232 So by Base Acyclic $D \isin B \implies D \notin \py$.
 233 }
 234 \[ \eqntag{{\it Corollary - equivalent to Tip Contents}}{
 235   \bigforall_{C \in \py} D \isin C \equiv
 236   \begin{cases}
 237     D \in \py : & D \le C \\
 238     D \not\in \py : & D \isin \baseof{C}
 239   \end{cases}
 240 }\]
 241
 242 \[ \eqn{Tip Self Inpatch:}{
 243   \bigforall_{C \in \py} C \haspatch \p
 244 }\]
 245 Ie, tip commits contain their own patch.
 246
 247 \proof{
 248 Apply Exclusive Tip Contents to some $D \in \py$:
 249 $ \bigforall_{C \in \py}\bigforall_{D \in \py}
 250   D \isin C \equiv D \le C $
 251 }
 252
 253 \[ \eqn{Exact Ancestors:}{
 254   \bigforall_{ C \hasparents \set{R} }
 255   D \le C \equiv
 256     ( \mathop{\hbox{\huge{$\vee$}}}_{R \in \set R} D \le R )
 257     \lor D = C
 258 }\]
 259 xxx proof tbd
 260
 261 \[ \eqn{Transitive Ancestors:}{
 262   \left[ \bigforall_{ E \in \pendsof{C}{\set P} } E \le M \right] \equiv
 263   \left[ \bigforall_{ A \in \pancsof{C}{\set P} } A \le M \right]
 264 }\]
 265
 266 \proof{
 267 The implication from right to left is trivial because
 268 $ \pends() \subset \pancs() $.
 269 For the implication from left to right:
 270 by the definition of $\mathcal E$,
 271 for every such $A$, either $A \in \pends()$ which implies
 272 $A \le M$ by the LHS directly,
 273 or $\exists_{A' \in \pancs()} \; A' \neq A \land A \le A' $
 274 in which case we repeat for $A'$.  Since there are finitely many
 275 commits, this terminates with $A'' \in \pends()$, ie $A'' \le M$
 276 by the LHS.  And $A \le A''$.
 277 }
 278
 279 \[ \eqn{Calculation Of Ends:}{
 280   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 281     \pendsof{C}{\set P} =
 282       \begin{cases}
 283        C \in \p : & \{ C \}
 284       \\
 285        C \not\in \p : & \displaystyle
 286        \left\{ E \Big|
 287            \Bigl[ \Largeexists_{A \in \set A}
 288                        E \in \pendsof{A}{\set P} \Bigr] \land
 289            \Bigl[ \Largenexists_{B \in \set A}
 290                        E \neq B \land E \le B \Bigr]
 291        \right\}
 292       \end{cases}
 293 }\]
 294 xxx proof tbd
 295
 296 \[ \eqn{Totally Foreign Contents:}{
 297   \bigforall_{C \hasparents \set A}
 298    \left[
 299     \patchof{C} = \bot \land
 300       \bigforall_{A \in \set A} \patchof{A} = \bot
 301    \right]
 302   \implies
 303    \left[
 304     D \le C
 305    \implies
 306     \patchof{D} = \bot
 307    \right]
 308 }\]
 309 \proof{
 310 Consider some $D \le C$.  If $D = C$, $\patchof{D} = \bot$ trivially.
 311 If $D \neq C$ then $D \le A$ where $A \in \set A$.  By Foreign
 312 Contents of $A$, $\patchof{D} = \bot$.
 313 }
 314
 315 \subsection{No Replay for Merge Results}
 316
 317 If we are constructing $C$, with,
 318 \gathbegin
 319   \mergeof{C}{L}{M}{R}
 320 \gathnext
 321   L \le C
 322 \gathnext
 323   R \le C
 324 \end{gather}
 325 No Replay is preserved.  \proofstarts
 326
 327 \subsubsection{For $D=C$:} $D \isin C, D \le C$.  OK.
 328
 329 \subsubsection{For $D \isin L \land D \isin R$:}
 330 $D \isin C$.  And $D \isin L \implies D \le L \implies D \le C$.  OK.
 331
 332 \subsubsection{For $D \neq C \land D \not\isin L \land D \not\isin R$:}
 333 $D \not\isin C$.  OK.
 334
 335 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 336  \land D \not\isin M$:}
 337 $D \isin C$.  Also $D \isin L \lor D \isin R$ so $D \le L \lor D \le
 338 R$ so $D \le C$.  OK.
 339
 340 \subsubsection{For $D \neq C \land (D \isin L \equiv D \not\isin R)
 341  \land D \isin M$:}
 342 $D \not\isin C$.  OK.
 343
 344 $\qed$
 345
 346 \section{Commit annotation}
 347
 348 We annotate each Topbloke commit $C$ with:
 349 \gathbegin
 350  \patchof{C}
 351 \gathnext
 352  \baseof{C}, \text{ if } C \in \py
 353 \gathnext
 354  \bigforall_{\pa{Q}}
 355    \text{ either } C \haspatch \pa{Q} \text{ or } C \nothaspatch \pa{Q}
 356 \gathnext
 357  \bigforall_{\pay{Q} \not\ni C} \pendsof{C}{\pay{Q}}
 358 \end{gather}
 359
 360 $\patchof{C}$, for each kind of Topbloke-generated commit, is stated
 361 in the summary in the section for that kind of commit.
 362
 363 Whether $\baseof{C}$ is required, and if so what the value is, is
 364 stated in the proof of Unique Base for each kind of commit.
 365
 366 $C \haspatch \pa{Q}$ or $\nothaspatch \pa{Q}$ is represented as the
 367 set $\{ \pa{Q} | C \haspatch \pa{Q} \}$.  Whether $C \haspatch \pa{Q}$
 368 is in stated
 369 (in terms of $I \haspatch \pa{Q}$ or $I \nothaspatch \pa{Q}$
 370 for the ingredients $I$),
 371 in the proof of Coherence for each kind of commit.
 372
 373 $\pendsof{C}{\pa{Q}^+}$ is computed, for all Topbloke-generated commits,
 374 using the lemma Calculation of Ends, above.
 375 We do not annotate $\pendsof{C}{\py}$ for $C \in \py$.  Doing so would
 376 make it wrong to make plain commits with git because the recorded $\pends$
 377 would have to be updated.  The annotation is not needed in that case
 378 because $\forall_{\py \ni C} \; \pendsof{C}{\py} = \{C\}$.
 379
 380 \section{Simple commit}
 381
 382 A simple single-parent forward commit $C$ as made by git-commit.
 383 \begin{gather}
 384 \tag*{} C \hasparents \{ A \} \\
 385 \tag*{} \patchof{C} = \patchof{A} \\
 386 \tag*{} D \isin C \equiv D \isin A \lor D = C
 387 \end{gather}
 388 This also covers Topbloke-generated commits on plain git branches:
 389 Topbloke strips the metadata when exporting.
 390
 391 \subsection{No Replay}
 392 Trivial.
 393
 394 \subsection{Unique Base}
 395 If $A, C \in \py$ then by Calculation of Ends for
 396 $C, \py, C \not\in \py$:
 397 $\pendsof{C}{\pn} = \pendsof{A}{\pn}$ so
 398 $\baseof{C} = \baseof{A}$. $\qed$
 399
 400 \subsection{Tip Contents}
 401 We need to consider only $A, C \in \py$.  From Tip Contents for $A$:
 402 \[ D \isin A \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A ) \]
 403 Substitute into the contents of $C$:
 404 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{A} \lor ( D \in \py \land D \le A )
 405     \lor D = C \]
 406 Since $D = C \implies D \in \py$,
 407 and substituting in $\baseof{C}$, this gives:
 408 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 409     (D \in \py \land D \le A) \lor
 410     (D = C \land D \in \py) \]
 411 \[ \equiv D \isin \baseof{C} \lor
 412    [ D \in \py \land ( D \le A \lor D = C ) ] \]
 413 So by Exact Ancestors:
 414 \[ D \isin C \equiv D \isin \baseof{C} \lor ( D \in \py \land D \le C
 415 ) \]
 416 $\qed$
 417
 418 \subsection{Base Acyclic}
 419
 420 Need to consider only $A, C \in \pn$.
 421
 422 For $D = C$: $D \in \pn$ so $D \not\in \py$. OK.
 423
 424 For $D \neq C$: $D \isin C \equiv D \isin A$, so by Base Acyclic for
 425 $A$, $D \isin C \implies D \not\in \py$.
 426
 427 $\qed$
 428
 429 \subsection{Coherence and patch inclusion}
 430
 431 Need to consider $D \in \py$
 432
 433 \subsubsection{For $A \haspatch P, D = C$:}
 434
 435 Ancestors of $C$:
 436 $ D \le C $.
 437
 438 Contents of $C$:
 439 $ D \isin C \equiv \ldots \lor \true \text{ so } D \haspatch C $.
 440
 441 \subsubsection{For $A \haspatch P, D \neq C$:}
 442 Ancestors: $ D \le C \equiv D \le A $.
 443
 444 Contents: $ D \isin C \equiv D \isin A \lor f $
 445 so $ D \isin C \equiv D \isin A $.
 446
 447 So:
 448 \[ A \haspatch P \implies C \haspatch P \]
 449
 450 \subsubsection{For $A \nothaspatch P$:}
 451
 452 Firstly, $C \not\in \py$ since if it were, $A \in \py$.
 453 Thus $D \neq C$.
 454
 455 Now by contents of $A$, $D \notin A$, so $D \notin C$.
 456
 457 So:
 458 \[ A \nothaspatch P \implies C \nothaspatch P \]
 459 $\qed$
 460
 461 \subsection{Foreign inclusion:}
 462
 463 If $D = C$, trivial.  For $D \neq C$:
 464 $D \isin C \equiv D \isin A \equiv D \le A \equiv D \le C$.  $\qed$
 465
 466 \subsection{Foreign Contents:}
 467
 468 Only relevant if $\patchof{C} = \bot$, and in that case Totally
 469 Foreign Contents applies. $\qed$
 470
 471 \section{Create Base}
 472
 473 Given $L$, create a Topbloke base branch initial commit $B$.
 474 \gathbegin
 475  B \hasparents \{ L \}
 476 \gathnext
 477  \patchof{B} = \pan{B}
 478 \gathnext
 479  D \isin B \equiv D \isin L \lor D = B
 480 \end{gather}
 481
 482 \subsection{Conditions}
 483
 484 \[ \eqn{ Ingredients }{
 485  \patchof{L} = \pa{L} \lor \patchof{L} = \bot
 486 }\]
 487 \[ \eqn{ Non-recursion }{
 488  L \not\in \pa{B}
 489 }\]
 490
 491 \subsection{No Replay}
 492
 493 If $\patchof{L} = \pa{L}$, trivial by Base Acyclic for $L$.
 494
 495 If $\patchof{L} = \bot$, consider some $D \isin B$.  $D \neq B$.
 496 Thus $D \isin L$.  So by No Replay of $D$ in $L$, $D \le L$.
 497 Thus $D \le B$.
 498
 499 \subsection{Unique Base}
 500
 501 Not applicable.
 502
 503 \subsection{Tip Contents}
 504
 505 Not applicable.
 506
 507 \subsection{Base Acyclic}
 508
 509 Consider some $D \isin B$.  If $D = B$, $D \in \pn$, OK.
 510
 511 If $D \neq B$, $D \isin L$.  By No Replay of $D$ in $L$, $D \le L$.
 512 Thus by Foreign Contents of $L$, $\patchof{D} = \bot$.  OK.
 513
 514 $\qed$
 515
 516 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 517
 518 Consider some $D \in \p$.
 519 $B \not\in \py$ so $D \neq B$.  So $D \isin B \equiv D \isin L$.
 520
 521 Thus $L \haspatch \p \implies B \haspatch P$
 522 and $L \nothaspatch \p \implies B \nothaspatch P$.
 523
 524 $\qed$.
 525
 526 \subsection{Foreign Inclusion}
 527
 528 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq B$
 529 so $D \isin B \equiv D \isin L$.
 530 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 531 And by Exact Ancestors $D \le L \equiv D \le B$.
 532 So $D \isin B \equiv D \le B$.  $\qed$
 533
 534 \section{Create Tip}
 535
 536 xxx tbd
 537
 538 \section{Anticommit}
 539
 540 Given $L$ and $\pr$ as represented by $R^+, R^-$.
 541 Construct $C$ which has $\pr$ removed.
 542 Used for removing a branch dependency.
 543 \gathbegin
 544  C \hasparents \{ L \}
 545 \gathnext
 546  \patchof{C} = \patchof{L}
 547 \gathnext
 548  \mergeof{C}{L}{R^+}{R^-}
 549 \end{gather}
 550
 551 \subsection{Conditions}
 552
 553 \[ \eqn{ Ingredients }{
 554 R^+ \in \pry \land R^- = \baseof{R^+}
 555 }\]
 556 \[ \eqn{ Into Base }{
 557  L \in \pn
 558 }\]
 559 \[ \eqn{ Unique Tip }{
 560  \pendsof{L}{\pry} = \{ R^+ \}
 561 }\]
 562 \[ \eqn{ Currently Included }{
 563  L \haspatch \pry
 564 }\]
 565
 566 \subsection{Ordering of ${L, R^+, R^-}$:}
 567
 568 By Unique Tip, $R^+ \le L$.  By definition of $\base$, $R^- \le R^+$
 569 so $R^- \le L$.  So $R^+ \le C$ and $R^- \le C$.
 570 $\qed$
 571
 572 (Note that $R^+ \not\le R^-$, i.e. the merge base
 573 is a descendant, not an ancestor, of the 2nd parent.)
 574
 575 \subsection{No Replay}
 576
 577 No Replay for Merge Results applies.  $\qed$
 578
 579 \subsection{Desired Contents}
 580
 581 \[ D \isin C \equiv [ D \notin \pry \land D \isin L ] \lor D = C \]
 582 \proofstarts
 583
 584 \subsubsection{For $D = C$:}
 585
 586 Trivially $D \isin C$.  OK.
 587
 588 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\le L$:}
 589
 590 By No Replay $D \not\isin L$.  Also $D \not\le R^-$ hence
 591 $D \not\isin R^-$.  Thus $D \not\isin C$.  OK.
 592
 593 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \in \pry$:}
 594
 595 By Currently Included, $D \isin L$.
 596
 597 By Tip Self Inpatch, $D \isin R^+ \equiv D \le R^+$, but by
 598 by Unique Tip, $D \le R^+ \equiv D \le L$.
 599 So $D \isin R^+$.
 600
 601 By Base Acyclic, $D \not\isin R^-$.
 602
 603 Apply $\merge$: $D \not\isin C$.  OK.
 604
 605 \subsubsection{For $D \neq C, D \le L, D \notin \pry$:}
 606
 607 By Tip Contents for $R^+$, $D \isin R^+ \equiv D \isin R^-$.
 608
 609 Apply $\merge$: $D \isin C \equiv D \isin L$.  OK.
 610
 611 $\qed$
 612
 613 \subsection{Unique Base}
 614
 615 Into Base means that $C \in \pn$, so Unique Base is not
 616 applicable. $\qed$
 617
 618 \subsection{Tip Contents}
 619
 620 Again, not applicable. $\qed$
 621
 622 \subsection{Base Acyclic}
 623
 624 By Base Acyclic for $L$, $D \isin L \implies D \not\in \py$.
 625 And by Into Base $C \not\in \py$.
 626 Now from Desired Contents, above, $D \isin C
 627 \implies D \isin L \lor D = C$, which thus
 628 $\implies D \not\in \py$.  $\qed$.
 629
 630 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 631
 632 Need to consider some $D \in \py$.  By Into Base, $D \neq C$.
 633
 634 \subsubsection{For $\p = \pr$:}
 635 By Desired Contents, above, $D \not\isin C$.
 636 So $C \nothaspatch \pr$.
 637
 638 \subsubsection{For $\p \neq \pr$:}
 639 By Desired Contents, $D \isin C \equiv D \isin L$
 640 (since $D \in \py$ so $D \not\in \pry$).
 641
 642 If $L \nothaspatch \p$, $D \not\isin L$ so $D \not\isin C$.
 643 So $L \nothaspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 644
 645 Whereas if $L \haspatch \p$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 646 so $L \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 647
 648 $\qed$
 649
 650 \subsection{Foreign Inclusion}
 651
 652 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.  $D \neq C$.
 653 So by Desired Contents $D \isin C \equiv D \isin L$.
 654 By Foreign Inclusion of $D$ in $L$, $D \isin L \equiv D \le L$.
 655
 656 And $D \le C \equiv D \le L$.
 657 Thus $D \isin C \equiv D \le C$.
 658
 659 $\qed$
 660
 661 \subsection{Foreign Contents}
 662
 663 Not applicable.
 664
 665 \section{Merge}
 666
 667 Merge commits $L$ and $R$ using merge base $M$:
 668 \gathbegin
 669  C \hasparents \{ L, R \}
 670 \gathnext
 671  \patchof{C} = \patchof{L}
 672 \gathnext
 673  \mergeof{C}{L}{M}{R}
 674 \end{gather}
 675 We will occasionally use $X,Y$ s.t. $\{X,Y\} = \{L,R\}$.
 676
 677 \subsection{Conditions}
 678 \[ \eqn{ Ingredients }{
 679  M \le L, M \le R
 680 }\]
 681 \[ \eqn{ Tip Merge }{
 682  L \in \py \implies
 683    \begin{cases}
 684       R \in \py : & \baseof{R} \ge \baseof{L}
 685               \land [\baseof{L} = M \lor \baseof{L} = \baseof{M}] \\
 686       R \in \pn : & M = \baseof{L} \\
 687       \text{otherwise} : & \false
 688    \end{cases}
 689 }\]
 690 \[ \eqn{ Merge Acyclic }{
 691     L \in \pn
 692    \implies
 693     R \nothaspatch \p
 694 }\]
 695 \[ \eqn{ Removal Merge Ends }{
 696     X \not\haspatch \p \land
 697     Y \haspatch \p \land
 698     M \haspatch \p
 699   \implies
 700     \pendsof{Y}{\py} = \pendsof{M}{\py}
 701 }\]
 702 \[ \eqn{ Addition Merge Ends }{
 703     X \not\haspatch \p \land
 704     Y \haspatch \p \land
 705     M \nothaspatch \p
 706    \implies \left[
 707     \bigforall_{E \in \pendsof{X}{\py}} E \le Y
 708    \right]
 709 }\]
 710 \[ \eqn{ Foreign Merges }{
 711     \patchof{L} = \bot \equiv \patchof{R} = \bot
 712 }\]
 713
 714 \subsection{Non-Topbloke merges}
 715
 716 We require both $\patchof{L} = \bot$ and $\patchof{R} = \bot$
 717 (Foreign Merges, above).
 718 I.e. not only is it forbidden to merge into a Topbloke-controlled
 719 branch without Topbloke's assistance, it is also forbidden to
 720 merge any Topbloke-controlled branch into any plain git branch.
 721
 722 Given those conditions, Tip Merge and Merge Acyclic do not apply.
 723 And $Y \not\in \py$ so $\neg [ Y \haspatch \p ]$ so neither
 724 Merge Ends condition applies.
 725
 726 So a plain git merge of non-Topbloke branches meets the conditions and
 727 is therefore consistent with our scheme.
 728
 729 \subsection{No Replay}
 730
 731 No Replay for Merge Results applies.  $\qed$
 732
 733 \subsection{Unique Base}
 734
 735 Need to consider only $C \in \py$, ie $L \in \py$,
 736 and calculate $\pendsof{C}{\pn}$.  So we will consider some
 737 putative ancestor $A \in \pn$ and see whether $A \le C$.
 738
 739 By Exact Ancestors for C, $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R \lor A = C$.
 740 But $C \in py$ and $A \in \pn$ so $A \neq C$.
 741 Thus $A \le C \equiv A \le L \lor A \le R$.
 742
 743 By Unique Base of L and Transitive Ancestors,
 744 $A \le L \equiv A \le \baseof{L}$.
 745
 746 \subsubsection{For $R \in \py$:}
 747
 748 By Unique Base of $R$ and Transitive Ancestors,
 749 $A \le R \equiv A \le \baseof{R}$.
 750
 751 But by Tip Merge condition on $\baseof{R}$,
 752 $A \le \baseof{L} \implies A \le \baseof{R}$, so
 753 $A \le \baseof{R} \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le \baseof{R}$.
 754 Thus $A \le C \equiv A \le \baseof{R}$.
 755 That is, $\baseof{C} = \baseof{R}$.
 756
 757 \subsubsection{For $R \in \pn$:}
 758
 759 By Tip Merge condition on $R$ and since $M \le R$,
 760 $A \le \baseof{L} \implies A \le R$, so
 761 $A \le R \lor A \le \baseof{L} \equiv A \le R$.
 762 Thus $A \le C \equiv A \le R$.
 763 That is, $\baseof{C} = R$.
 764
 765 $\qed$
 766
 767 \subsection{Coherence and Patch Inclusion}
 768
 769 Need to determine $C \haspatch \p$ based on $L,M,R \haspatch \p$.
 770 This involves considering $D \in \py$.
 771
 772 \subsubsection{For $L \nothaspatch \p, R \nothaspatch \p$:}
 773 $D \not\isin L \land D \not\isin R$.  $C \not\in \py$ (otherwise $L
 774 \in \py$ ie $L \haspatch \p$ by Tip Self Inpatch).  So $D \neq C$.
 775 Applying $\merge$ gives $D \not\isin C$ i.e. $C \nothaspatch \p$.
 776
 777 \subsubsection{For $L \haspatch \p, R \haspatch \p$:}
 778 $D \isin L \equiv D \le L$ and $D \isin R \equiv D \le R$.
 779 (Likewise $D \isin X \equiv D \le X$ and $D \isin Y \equiv D \le Y$.)
 780
 781 Consider $D = C$: $D \isin C$, $D \le C$, OK for $C \haspatch \p$.
 782
 783 For $D \neq C$: $D \le C \equiv D \le L \lor D \le R
 784  \equiv D \isin L \lor D \isin R$.
 785 (Likewise $D \le C \equiv D \le X \lor D \le Y$.)
 786
 787 Consider $D \neq C, D \isin X \land D \isin Y$:
 788 By $\merge$, $D \isin C$.  Also $D \le X$
 789 so $D \le C$.  OK for $C \haspatch \p$.
 790
 791 Consider $D \neq C, D \not\isin X \land D \not\isin Y$:
 792 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 793 And $D \not\le X \land D \not\le Y$ so $D \not\le C$.
 794 OK for $C \haspatch \p$.
 795
 796 Remaining case, wlog, is $D \not\isin X \land D \isin Y$.
 797 $D \not\le X$ so $D \not\le M$ so $D \not\isin M$.
 798 Thus by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le Y$ so $D \le C$.
 799 OK for $C \haspatch \p$.
 800
 801 So indeed $L \haspatch \p \land R \haspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 802
 803 \subsubsection{For (wlog) $X \not\haspatch \p, Y \haspatch \p$:}
 804
 805 $M \haspatch \p \implies C \nothaspatch \p$.
 806 $M \nothaspatch \p \implies C \haspatch \p$.
 807
 808 \proofstarts
 809
 810 One of the Merge Ends conditions applies.
 811 Recall that we are considering $D \in \py$.
 812 $D \isin Y \equiv D \le Y$.  $D \not\isin X$.
 813 We will show for each of
 814 various cases that $D \isin C \equiv M \nothaspatch \p \land D \le C$
 815 (which suffices by definition of $\haspatch$ and $\nothaspatch$).
 816
 817 Consider $D = C$:  Thus $C \in \py, L \in \py$, and by Tip
 818 Self Inpatch $L \haspatch \p$, so $L=Y, R=X$.  By Tip Merge,
 819 $M=\baseof{L}$.  So by Base Acyclic $D \not\isin M$, i.e.
 820 $M \nothaspatch \p$.  And indeed $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 821
 822 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \isin Y$:
 823 $D \le Y$ so $D \le C$.
 824 $D \not\isin M$ so by $\merge$, $D \isin C$.  OK.
 825
 826 Consider $D \neq C, M \nothaspatch P, D \not\isin Y$:
 827 $D \not\le Y$.  If $D \le X$ then
 828 $D \in \pancsof{X}{\py}$, so by Addition Merge Ends and
 829 Transitive Ancestors $D \le Y$ --- a contradiction, so $D \not\le X$.
 830 Thus $D \not\le C$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 831
 832 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \isin Y$:
 833 $D \le Y$ so $D \in \pancsof{Y}{\py}$ so by Removal Merge Ends
 834 and Transitive Ancestors $D \in \pancsof{M}{\py}$ so $D \le M$.
 835 Thus $D \isin M$.  By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 836
 837 Consider $D \neq C, M \haspatch P, D \not\isin Y$:
 838 By $\merge$, $D \not\isin C$.  OK.
 839
 840 $\qed$
 841
 842 \subsection{Base Acyclic}
 843
 844 This applies when $C \in \pn$.
 845 $C \in \pn$ when $L \in \pn$ so by Merge Acyclic, $R \nothaspatch \p$.
 846
 847 Consider some $D \in \py$.
 848
 849 By Base Acyclic of $L$, $D \not\isin L$.  By the above, $D \not\isin
 850 R$.  And $D \neq C$.  So $D \not\isin C$.
 851
 852 $\qed$
 853
 854 \subsection{Tip Contents}
 855
 856 We need worry only about $C \in \py$.
 857 And $\patchof{C} = \patchof{L}$
 858 so $L \in \py$ so $L \haspatch \p$.  We will use the Unique Base
 859 of $C$, and its Coherence and Patch Inclusion, as just proved.
 860
 861 Firstly we show $C \haspatch \p$: If $R \in \py$, then $R \haspatch
 862 \p$ and by Coherence/Inclusion $C \haspatch \p$ .  If $R \not\in \py$
 863 then by Tip Merge $M = \baseof{L}$ so by Base Acyclic and definition
 864 of $\nothaspatch$, $M \nothaspatch \p$.  So by Coherence/Inclusion $C
 865 \haspatch \p$ (whether $R \haspatch \p$ or $\nothaspatch$).
 866
 867 We will consider an arbitrary commit $D$
 868 and prove the Exclusive Tip Contents form.
 869
 870 \subsubsection{For $D \in \py$:}
 871 $C \haspatch \p$ so by definition of $\haspatch$, $D \isin C \equiv D
 872 \le C$.  OK.
 873
 874 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \not\in \py$:}
 875
 876 $D \neq C$.  By Tip Contents of $L$,
 877 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$, and by Tip Merge condition,
 878 $D \isin L \equiv D \isin M$.  So by definition of $\merge$, $D \isin
 879 C \equiv D \isin R$.  And $R = \baseof{C}$ by Unique Base of $C$.
 880 Thus $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 881
 882 \subsubsection{For $D \not\in \py, R \in \py$:}
 883
 884 $D \neq C$.
 885
 886 By Tip Contents
 887 $D \isin L \equiv D \isin \baseof{L}$ and
 888 $D \isin R \equiv D \isin \baseof{R}$.
 889
 890 If $\baseof{L} = M$, trivially $D \isin M \equiv D \isin \baseof{L}.$
 891 Whereas if $\baseof{L} = \baseof{M}$, by definition of $\base$,
 892 $\patchof{M} = \patchof{L} = \py$, so by Tip Contents of $M$,
 893 $D \isin M \equiv D \isin \baseof{M} \equiv D \isin \baseof{L}$.
 894
 895 So $D \isin M \equiv D \isin L$ and by $\merge$,
 896 $D \isin C \equiv D \isin R$.  But from Unique Base,
 897 $\baseof{C} = R$ so $D \isin C \equiv D \isin \baseof{C}$.  OK.
 898
 899 $\qed$
 900
 901 \subsection{Foreign Inclusion}
 902
 903 Consider some $D$ s.t. $\patchof{D} = \bot$.
 904 By Foreign Inclusion of $L, M, R$:
 905 $D \isin L \equiv D \le L$;
 906 $D \isin M \equiv D \le M$;
 907 $D \isin R \equiv D \le R$.
 908
 909 \subsubsection{For $D = C$:}
 910
 911 $D \isin C$ and $D \le C$.  OK.
 912
 913 \subsubsection{For $D \neq C, D \isin M$:}
 914
 915 Thus $D \le M$ so $D \le L$ and $D \le R$ so $D \isin L$ and $D \isin
 916 R$.  So by $\merge$, $D \isin C$.  And $D \le C$.  OK.
 917
 918 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \isin X$:}
 919
 920 By $\merge$, $D \isin C$.
 921 And $D \isin X$ means $D \le X$ so $D \le C$.
 922 OK.
 923
 924 \subsubsection{For $D \neq C, D \not\isin M, D \not\isin L, D \not\isin R$:}
 925
 926 By $\merge$, $D \not\isin C$.
 927 And $D \not\le L, D \not\le R$ so $D \not\le C$.
 928 OK
 929
 930 $\qed$
 931
 932 \subsection{Foreign Contents}
 933
 934 Only relevant if $\patchof{L} = \bot$, in which case
 935 $\patchof{C} = \bot$ and by Foreign Merges $\patchof{R} = \bot$,
 936 so Totally Foreign Contents applies.  $\qed$
 937
 938 \end{document}