energy.c

   1 /*
   2  * We try to find an optimal triangle grid
   3  */
   4
   5 #include "common.h"
   6 #include "minimise.h"
   7 #include "mgraph.h"
   8 #include "parallel.h"
   9
  10 double vertex_areas[N], vertex_mean_edge_lengths[N], edge_lengths[N][V6];
  11
  12 static double best_energy= DBL_MAX;
  13
  14 static void addcost(double *energy, double tweight, double tcost, int pr);
  15
  16 /*---------- main energy computation, weights, etc. ----------*/
  17
  18 typedef double CostComputation(const Vertices vertices, int section);
  19 typedef void PreComputation(const Vertices vertices, int section);
  20
  21 typedef struct {
  22   double weight;
  23   CostComputation *fn;
  24 } CostContribution;
  25
  26 #define NPRECOMPS ((sizeof(precomps)/sizeof(precomps[0])))
  27 #define NCOSTS ((sizeof(costs)/sizeof(costs[0])))
  28 #define COST(weight, compute) { (weight),(compute) },
  29
  30 static PreComputation *const precomps[]= {
  31   compute_edge_lengths,
  32   compute_vertex_areas
  33 };
  34
  35 static const CostContribution costs[]= {
  36
  37 #if XBITS==3
  38 #define STOP_EPSILON 1e-6
  39     COST(  3e3,   vertex_displacement_cost)
  40     COST( 0.4e3,  rim_proximity_cost)
  41     COST(  1e7,   edge_angle_cost)
  42                   #define EDGE_ANGLE_COST_CIRCCIRCRAT (0.2/1.7)
  43     COST(  1e2,   small_triangles_cost)
  44     COST(  1e12,   noncircular_rim_cost)
  45 #endif
  46
  47 #if XBITS==4
  48 #define STOP_EPSILON 1.2e-3
  49     COST(  3e3,   vertex_displacement_cost)
  50     COST(  3e3,   vertex_edgewise_displ_cost)
  51     COST( 0.2e3,  rim_proximity_cost)
  52     COST( 1e6,  rim_twist_cost)
  53     COST(  1e12,   noncircular_rim_cost)
  54     COST(  10e1,   nonequilateral_triangles_cost)
  55 //    COST(  1e1,   small_triangles_cost)
  56 //    COST(  1e6,   edge_angle_cost)
  57                   #define EDGE_ANGLE_COST_CIRCCIRCRAT (0.5/1.7)
  58 #endif
  59
  60 #if XBITS==5
  61 #define STOP_EPSILON 1.2e-4
  62     COST(  3e3,   vertex_displacement_cost)
  63     COST(  3e3,   vertex_edgewise_displ_cost)
  64     COST(  2e-1,  rim_proximity_cost)
  65     COST(  1e12,   noncircular_rim_cost)
  66     COST(  10e1,   nonequilateral_triangles_cost)
  67 //    COST(  1e1,   small_triangles_cost)
  68 //    COST(  1e6,   edge_angle_cost)
  69                   #define EDGE_ANGLE_COST_CIRCCIRCRAT (0.5/1.7)
  70 #endif
  71
  72 #if XBITS==6
  73 #define STOP_EPSILON 1.2e-4
  74     COST(  3e3,   vertex_displacement_cost)
  75     COST(  3e3,   vertex_edgewise_displ_cost)
  76     COST( 0.02e0,  rim_proximity_cost)
  77     COST(  1e12,   noncircular_rim_cost)
  78     COST(  10e1,   nonequilateral_triangles_cost)
  79 //    COST(  1e1,   small_triangles_cost)
  80 //    COST(  1e6,   edge_angle_cost)
  81                   #define EDGE_ANGLE_COST_CIRCCIRCRAT (0.5/1.7)
  82 #endif
  83
  84 #if XBITS>=7 /* nonsense follows but never mind */
  85 #define STOP_EPSILON 1e-6
  86     COST(  3e5,   line_bending_cost)
  87     COST( 10e2,   edge_length_variation_cost)
  88     COST( 9.0e1,  rim_proximity_cost) // 5e1 is too much
  89                                       // 2.5e1 is too little
  90     // 0.2e1 grows compared to previous ?
  91     // 0.6e0 shrinks compared to previous ?
  92
  93     COST(  1e12,   edge_angle_cost)
  94                   #define EDGE_ANGLE_COST_CIRCCIRCRAT (0.5/1.3)
  95     COST(  1e18,   noncircular_rim_cost)
  96 #endif
  97
  98 };
  99
 100 const double edge_angle_cost_circcircrat= EDGE_ANGLE_COST_CIRCCIRCRAT;
 101
 102 void energy_init(void) {
 103   stop_epsilon= STOP_EPSILON;
 104 }
 105
 106 /*---------- energy computation machinery ----------*/
 107
 108 void compute_energy_separately(const struct Vertices *vs,
 109                          int section, void *energies_v, void *totals_v) {
 110   double *energies= energies_v;
 111   int ci;
 112
 113   for (ci=0; ci<NPRECOMPS; ci++) {
 114     precomps[ci](vs->a, section);
 115     inparallel_barrier();
 116   }
 117   for (ci=0; ci<NCOSTS; ci++)
 118     energies[ci]= costs[ci].fn(vs->a, section);
 119 }
 120
 121 void compute_energy_combine(const struct Vertices *vertices,
 122                          int section, void *energies_v, void *totals_v) {
 123   int ci;
 124   double *energies= energies_v;
 125   double *totals= totals_v;
 126
 127   for (ci=0; ci<NCOSTS; ci++)
 128     totals[ci] += energies[ci];
 129 }
 130
 131 double compute_energy(const struct Vertices *vs) {
 132   static int bests_unprinted;
 133
 134   double totals[NCOSTS], energy;
 135   int ci, printing;
 136
 137   printing= printing_check(pr_cost,0);
 138
 139   if (printing) printf("%15lld c>e |", evaluations);
 140
 141   for (ci=0; ci<NCOSTS; ci++)
 142     totals[ci]= 0;
 143
 144   inparallel(vs,
 145              compute_energy_separately,
 146              compute_energy_combine,
 147              sizeof(totals) /* really, size of energies */,
 148              totals);
 149
 150   energy= 0;
 151   for (ci=0; ci<NCOSTS; ci++)
 152     addcost(&energy, costs[ci].weight, totals[ci], printing);
 153
 154   if (printing) printf("| total %# e |", energy);
 155
 156   if (energy < best_energy) {
 157     FILE *best_f;
 158     int r;
 159
 160     if (printing) {
 161       printf(" BEST");
 162       if (bests_unprinted) printf(" [%4d]",bests_unprinted);
 163       bests_unprinted= 0;
 164     } else {
 165       bests_unprinted++;
 166     }
 167
 168     best_f= fopen(best_file_tmp,"wb");  if (!best_f) diee("fopen new out");
 169     r= fwrite(vs->a,sizeof(vs->a),1,best_f); if (r!=1) diee("fwrite");
 170     if (fclose(best_f)) diee("fclose new best");
 171     if (rename(best_file_tmp,best_file)) diee("rename install new best");
 172
 173     best_energy= energy;
 174   }
 175   if (printing) {
 176     putchar('\n');
 177     flushoutput();
 178   }
 179
 180   evaluations++;
 181   return energy;
 182 }
 183
 184 static void addcost(double *energy, double tweight, double tcost, int pr) {
 185   double tenergy= tweight * tcost;
 186   if (pr) printf(" %# e > %# e* |", tcost, tenergy);
 187   *energy += tenergy;
 188 }
 189
 190 /*---------- Precomputations ----------*/
 191
 192 void compute_edge_lengths(const Vertices vertices, int section) {
 193   int v1,e,v2;
 194
 195   FOR_EDGE(v1,e,v2, OUTER)
 196     edge_lengths[v1][e]= hypotD(vertices[v1],vertices[v2]);
 197 }
 198
 199 void compute_vertex_areas(const Vertices vertices, int section) {
 200   int v0,v1,v2, e1,e2;
 201 //  int k;
 202
 203   FOR_VERTEX(v0, OUTER) {
 204     double total= 0.0, edges_total=0;
 205     int count= 0;
 206
 207     FOR_VEDGE(v0,e1,v1) {
 208       e2= (e1+1) % V6;
 209       v2= EDGE_END2(v0,e2);
 210       if (v2<0) continue;
 211
 212       edges_total += edge_lengths[v0][e1];
 213
 214 //      double e1v[D3], e2v[D3], av[D3];
 215 //      K {
 216 //      e1v[k]= vertices[v1][k] - vertices[v0][k];
 217 //      e2v[k]= vertices[v2][k] - vertices[v0][k];
 218 //      }
 219 //      xprod(av, e1v, e2v);
 220 //      total += magnD(av);
 221
 222       count++;
 223     }
 224     vertex_areas[v0]= total / count;
 225     vertex_mean_edge_lengths[v0]= edges_total / count;
 226   }
 227 }
 228
 229 /*---------- displacement of vertices across a midpoint ----------*/
 230
 231   /*
 232    * Subroutine used where we have
 233    *
 234    *        R - - - - - - - M . -  -  -  -  R'
 235    *                            ` .
 236    *                                ` .
 237    *                                    S
 238    *
 239    * and wish to say that the vector RM should be similar to MS
 240    * or to put it another way S = M + RM
 241    *
 242    * NB this is not symmetric wrt R and S since it divides by
 243    * |SM| but not |RM| so you probably want to call it twice.
 244    *
 245    * Details:
 246    *
 247    *   Let  R' = M + SM
 248    *        D  = R' - R
 249    *
 250    * Then the (1/delta)th power of the cost is
 251    *      proportional to |D|, and
 252    *      inversely proportional to |SM|
 253    * except that |D| is measured in a wierd way which counts
 254    * distance in the same direction as SM 1/lambda times as much
 255    * ie the equipotential surfaces are ellipsoids around R',
 256    * lengthened by lambda in the direction of RM.
 257    *
 258    * So
 259    *                                                               delta
 260    *                [       -1                                    ]
 261    *   cost      =  [ lambda  . ( D . SM/|SM| ) + | D x SM/|SM| | ]
 262    *       R,S,M    [ ------------------------------------------- ]
 263    *                [                      |SM|                   ]
 264    *
 265    */
 266
 267 static double vertex_one_displ_cost(const double r[D3], const double s[D3],
 268                                     const double midpoint[D3],
 269                                     double delta, double inv_lambda) {
 270   const double smlen2_epsilon= 1e-12;
 271   double sm[D3], d[D3], ddot, dcross[D3];
 272   int k;
 273
 274   K sm[k]= -s[k] + midpoint[k];
 275   K d[k]= midpoint[k] + sm[k] - r[k];
 276   ddot= dotprod(d,sm);
 277   xprod(dcross, d,sm);
 278   double smlen2= magnD2(sm);
 279   double cost_basis= inv_lambda * ddot + magnD(dcross);
 280   double cost= pow(cost_basis / (smlen2 + smlen2_epsilon), delta);
 281
 282   return cost;
 283 }
 284
 285 /*---------- displacement of vertices opposite at a vertex ----------*/
 286
 287   /*
 288    *   At vertex Q considering edge direction e to R
 289    *   and corresponding opposite edge to S.
 290    *
 291    *   This is vertex displacement as above with M=Q
 292    */
 293
 294 double vertex_displacement_cost(const Vertices vertices, int section) {
 295   const double inv_lambda= 1.0/1; //2;
 296   const double delta= 4;
 297
 298   int si,e,qi,ri;
 299   double total_cost= 0;
 300
 301   FOR_EDGE(qi,e,ri, OUTER) {
 302     si= EDGE_END2(qi,(e+3)%V6); if (si<0) continue;
 303
 304     total_cost += vertex_one_displ_cost(vertices[ri], vertices[si], vertices[qi],
 305                                         delta, inv_lambda);
 306   }
 307   return total_cost;
 308 }
 309
 310 /*---------- displacement of vertices opposite at an edge ----------*/
 311
 312   /*
 313    *   At edge PQ considering vertices R and S (see diagram
 314    *   below for overly sharp edge cost).
 315    *
 316    *   Let  M  = midpoint of PQ
 317    */
 318
 319 double vertex_edgewise_displ_cost(const Vertices vertices, int section) {
 320   const double inv_lambda= 1.0/1; //2;
 321   const double delta= 4;
 322
 323   int pi,e,qi,ri,si, k;
 324   double m[D3];
 325   double total_cost= 0;
 326
 327   FOR_EDGE(pi,e,qi, OUTER) {
 328     si= EDGE_END2(pi,(e+V6-1)%V6);  if (si<0) continue;
 329     ri= EDGE_END2(pi,(e   +1)%V6);  if (ri<0) continue;
 330
 331     K m[k]= 0.5 * (vertices[pi][k] + vertices[qi][k]);
 332
 333     total_cost += vertex_one_displ_cost(vertices[ri], vertices[si], m,
 334                                         delta, inv_lambda);
 335   }
 336   return total_cost;
 337 }
 338
 339
 340 /*---------- at-vertex edge angles ----------*/
 341
 342   /*
 343    * Definition:
 344    *
 345    *    At each vertex Q, in each direction e:
 346    *
 347    *                                  e
 348    *                           Q ----->----- R
 349    *                      _,-'\__/
 350    *                  _,-'       delta
 351    *               P '
 352    *
 353    *                      r
 354    *       cost    = delta          (we use r=3)
 355    *           Q,e
 356    *
 357    *
 358    * Calculation:
 359    *
 360    *      Let vector A = PQ
 361    *                 B = QR
 362    *
 363    *                   -1   A . B
 364    *      delta =  tan     -------
 365    *                      | A x B |
 366    *
 367    *      which is always in the range 0..pi because the denominator
 368    *      is nonnegative.  We add epsilon to |AxB| to avoid division
 369    *      by zero.
 370    *
 371    *                     r
 372    *      cost    = delta
 373    *          Q,e
 374    */
 375
 376 double line_bending_cost(const Vertices vertices, int section) {
 377   static const double axb_epsilon= 1e-6;
 378   static const double exponent_r= 4;
 379
 380   int pi,e,qi,ri, k;
 381   double  a[D3], b[D3], axb[D3];
 382   double total_cost= 0;
 383
 384   FOR_EDGE(qi,e,ri, OUTER) {
 385     pi= EDGE_END2(qi,(e+3)%V6); if (pi<0) continue;
 386
 387 //if (!(qi&XMASK)) fprintf(stderr,"%02x-%02x-%02x (%d)\n",pi,qi,ri,e);
 388
 389     K a[k]= -vertices[pi][k] + vertices[qi][k];
 390     K b[k]= -vertices[qi][k] + vertices[ri][k];
 391
 392     xprod(axb,a,b);
 393
 394     double delta= atan2(magnD(axb) + axb_epsilon, dotprod(a,b));
 395     double cost= pow(delta,exponent_r);
 396
 397     total_cost += cost;
 398   }
 399   return total_cost;
 400 }
 401
 402 /*---------- edge length variation ----------*/
 403
 404   /*
 405    * Definition:
 406    *
 407    *    See the diagram above.
 408    *                                r
 409    *       cost    = ( |PQ| - |QR| )
 410    *           Q,e
 411    */
 412
 413 double edge_length_variation_cost(const Vertices vertices, int section) {
 414   double diff, cost= 0, exponent_r= 2;
 415   int q, e,r, eback;
 416
 417   FOR_EDGE(q,e,r, OUTER) {
 418     eback= edge_reverse(q,e);
 419     diff= edge_lengths[q][e] - edge_lengths[q][eback];
 420     cost += pow(diff,exponent_r);
 421   }
 422   return cost;
 423 }
 424
 425 /*---------- proportional edge length variation ----------*/
 426
 427   /*
 428    * Definition:
 429    *
 430    *    See the diagram above.
 431    *                                r
 432    *       cost    = ( |PQ| - |QR| )
 433    *           Q,e
 434    */
 435
 436 double prop_edge_length_variation_cost(const Vertices vertices, int section) {
 437   const double num_epsilon= 1e-6;
 438
 439   double cost= 0, exponent_r= 2;
 440   int q, e,r, eback;
 441
 442   FOR_EDGE(q,e,r, OUTER) {
 443     eback= edge_reverse(q,e);
 444     double le= edge_lengths[q][e];
 445     double leback= edge_lengths[q][eback];
 446     double diff= le - leback;
 447     double num= MIN(le, leback);
 448     cost += pow(diff / (num + num_epsilon), exponent_r);
 449   }
 450   return cost;
 451 }
 452
 453 /*---------- rim proximity cost ----------*/
 454
 455 static void find_nearest_oncircle(double oncircle[D3], const double p[D3]) {
 456   /* By symmetry, nearest point on circle is the one with
 457    * the same angle subtended at the z axis. */
 458   oncircle[0]= p[0];
 459   oncircle[1]= p[1];
 460   oncircle[2]= 0;
 461   double mult= 1.0/ magnD(oncircle);
 462   oncircle[0] *= mult;
 463   oncircle[1] *= mult;
 464 }
 465
 466 double rim_proximity_cost(const Vertices vertices, int section) {
 467   double oncircle[3], cost=0;
 468   int v;
 469
 470   FOR_VERTEX(v, OUTER) {
 471     int y= v >> YSHIFT;
 472     int nominal_edge_distance= y <= Y/2 ? y : Y-1-y;
 473     if (nominal_edge_distance==0) continue;
 474
 475     find_nearest_oncircle(oncircle, vertices[v]);
 476
 477     cost +=
 478       vertex_mean_edge_lengths[v] *
 479       (nominal_edge_distance*nominal_edge_distance) /
 480       (hypotD2(vertices[v], oncircle) + 1e-6);
 481   }
 482   return cost;
 483 }
 484
 485 /*---------- noncircular rim cost ----------*/
 486
 487 double noncircular_rim_cost(const Vertices vertices, int section) {
 488   int vy,vx,v;
 489   double cost= 0.0;
 490   double oncircle[3];
 491
 492   FOR_RIM_VERTEX(vy,vx,v, OUTER) {
 493     find_nearest_oncircle(oncircle, vertices[v]);
 494
 495     double d2= hypotD2(vertices[v], oncircle);
 496     cost += d2*d2;
 497   }
 498   return cost;
 499 }
 500
 501 /*---------- rim contact angle rotation ----------*/
 502
 503 /*
 504  *
 505  *               vq ---- vs
 506  *              /       /
 507  *           e0/       /e1
 508  *           vp 0--- vr
 509  *
 510  */
 511
 512 double rim_twist_cost(const Vertices vertices, int section) {
 513   const double our_epsilon=1e-6;
 514   int vpy,vpx,vpi, vqi,vri,vsi, e0,e1, k;
 515   double total_cost= 0.0;
 516   double pq[D3], rs[D3], pq_x_rs[D3];
 517
 518   FOR_RIM_VERTEX(vpy,vpx,vpi, INNER) {
 519     FOR_VPEDGE(e0) {
 520       if (e0==0 || e0==3) continue;
 521       vqi= EDGE_END2(vpi,e0);  if (vqi<0) continue;
 522       vri= EDGE_END2(vpi,0);  assert(vri>=0);
 523       e1= !vertices_span_join_p(vpi,vri) ? e0 : V6 - e0;
 524       vsi= EDGE_END2(vri,e1);  assert(vsi>=0);
 525
 526       K pq[k]= -vertices[vpi][k] + vertices[vqi][k];
 527       K rs[k]= -vertices[vri][k] + vertices[vsi][k];
 528
 529       xprod(pq_x_rs, pq,rs);
 530       double magndiv= edge_lengths[vpi][e0] * edge_lengths[vri][e1];
 531
 532       double cost= magnD2(pq_x_rs) / (magndiv*magndiv + our_epsilon);
 533
 534 //fprintf(stderr,"rimtwist P=%03x Q=%03x R=%03x S=%03x e0=%d e1=%d %f\n",
 535 //      vpi,vqi,vri,vsi,e0,e1, cost);
 536
 537       total_cost += cost;
 538     }
 539   }
 540
 541   return total_cost;
 542 }
 543
 544 /*---------- overly sharp edge cost ----------*/
 545
 546   /*
 547    *
 548    *                Q `-_
 549    *              / |    `-_                           P'Q' ------ S'
 550    *             /  |       `-.                      _,' `.       .
 551    *            /   |           S                 _,'     :      .
 552    *           /    |      _,-'                _,'        :r    .r
 553    *          /     |  _,-'                R' '           `.   .
 554    *         /    , P '                        ` .   r     :  .
 555    *        /  ,-'                                  `  .   :
 556    *       /,-'                                          ` C'
 557    *      /'
 558    *     R
 559    *
 560    *
 561    *
 562    *  Let delta =  angle between two triangles' normals
 563    *
 564    *  Giving energy contribution:
 565    *
 566    *                                   2
 567    *    E             =  F   .  delta
 568    *     vd, edge PQ      vd
 569    */
 570
 571 double edge_angle_cost(const Vertices vertices, int section) {
 572   double pq1[D3], rp[D3], ps[D3], rp_2d[D3], ps_2d[D3], rs_2d[D3];
 573   double a,b,c,s,r;
 574   const double minradius_base= 0.2;
 575
 576   int pi,e,qi,ri,si, k;
 577 //  double our_epsilon=1e-6;
 578   double total_cost= 0;
 579
 580   FOR_EDGE(pi,e,qi, OUTER) {
 581 //    if (!(RIM_VERTEX_P(pi) || RIM_VERTEX_P(qi))) continue;
 582
 583     si= EDGE_END2(pi,(e+V6-1)%V6);  if (si<0) continue;
 584     ri= EDGE_END2(pi,(e   +1)%V6);  if (ri<0) continue;
 585
 586     K {
 587       pq1[k]= -vertices[pi][k] + vertices[qi][k];
 588       rp[k]=  -vertices[ri][k] + vertices[pi][k];
 589       ps[k]=  -vertices[pi][k] + vertices[si][k];
 590     }
 591
 592     normalise(pq1,1,1e-6);
 593     xprod(rp_2d, rp,pq1); /* projects RP into plane normal to PQ */
 594     xprod(ps_2d, ps,pq1); /* likewise PS */
 595     K rs_2d[k]= rp_2d[k] + ps_2d[k];
 596     /* radius of circumcircle of R'P'S' from Wikipedia
 597      * `Circumscribed circle' */
 598     a= magnD(rp_2d);
 599     b= magnD(ps_2d);
 600     c= magnD(rs_2d);
 601     s= 0.5*(a+b+c);
 602     r= a*b*c / sqrt((a+b+c)*(a-b+c)*(b-c+a)*(c-a+b) + 1e-6);
 603
 604     double minradius= minradius_base + edge_angle_cost_circcircrat*(a+b);
 605     double deficit= minradius - r;
 606     if (deficit < 0) continue;
 607     double cost= deficit*deficit;
 608
 609     total_cost += cost;
 610   }
 611
 612   return total_cost;
 613 }
 614
 615 /*---------- small triangles cost ----------*/
 616
 617   /*
 618    * Consider a triangle PQS
 619    *
 620    * Cost is 1/( area^2 )
 621    */
 622
 623 double small_triangles_cost(const Vertices vertices, int section) {
 624   double pq[D3], ps[D3];
 625   double x[D3];
 626   int pi,e,qi,si, k;
 627 //  double our_epsilon=1e-6;
 628   double total_cost= 0;
 629
 630   FOR_EDGE(pi,e,qi, OUTER) {
 631 //    if (!(RIM_VERTEX_P(pi) || RIM_VERTEX_P(qi))) continue;
 632
 633     si= EDGE_END2(pi,(e+V6-1)%V6);  if (si<0) continue;
 634
 635     K {
 636       pq[k]= vertices[qi][k] - vertices[pi][k];
 637       ps[k]= vertices[si][k] - vertices[pi][k];
 638     }
 639     xprod(x, pq,ps);
 640
 641     double cost= 1/(magnD2(x) + 0.01);
 642
 643 //double cost= pow(magnD(spqxpqr), 3);
 644 //assert(dot>=-1 && dot <=1);
 645 //double cost= 1-dot;
 646     total_cost += cost;
 647   }
 648
 649   return total_cost;
 650 }
 651
 652 /*---------- nonequilateral triangles cost ----------*/
 653
 654   /*
 655    * Consider a triangle PQR
 656    *
 657    * let edge lengths a=|PQ| b=|QR| c=|RP|
 658    *
 659    * predicted edge length p = 1/3 * (a+b+c)
 660    *
 661    * compute cost for each x in {a,b,c}
 662    *
 663    *
 664    *      cost      = (x-p)^2 / p^2
 665    *          PQR,x
 666    */
 667
 668 double nonequilateral_triangles_cost(const Vertices vertices, int section) {
 669   double pr[D3], abc[3];
 670   int pi,e0,e1,qi,ri, k,i;
 671   double our_epsilon=1e-6;
 672   double total_cost= 0;
 673
 674   FOR_EDGE(pi,e0,qi, OUTER) {
 675     e1= (e0+V6-1)%V6;
 676     ri= EDGE_END2(pi,e1);  if (ri<0) continue;
 677
 678     K pr[k]= -vertices[pi][k] + vertices[ri][k];
 679
 680     abc[0]= edge_lengths[pi][e0]; /* PQ */
 681     abc[1]= edge_lengths[qi][e1]; /* QR */
 682     abc[2]= magnD(pr);
 683
 684     double p= (1/3.0) * (abc[0]+abc[1]+abc[2]);
 685     double p_inv2= 1/(p*p + our_epsilon);
 686
 687     for (i=0; i<3; i++) {
 688       double diff= (abc[i] - p);
 689       double cost= diff*diff * p_inv2;
 690       total_cost += cost;
 691     }
 692   }
 693
 694   return total_cost;
 695 }